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课题：认识二元一次方程组
教学目标：
知识与技能目标：
能正确说出二元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；
会根据实际问题列出简单的二元一次方程或二元一次方程组。
过程与方法目标：
通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。
能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。21教育网
重点：
掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
难点：
从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。
教学流程：
课前回顾
通过简单的例子复习一元一次方程中“元”和“次”的概念
判断下列式子是否是一元一次方程：
不是 是
情境引入
探究1：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？（在课本的两个引入问题中，此问题较为简单，所以将其前提置于情境引入环节）21cnjy.com
同学们，你们能否用所学的数学知识解决呢？
追问：同学们，大家仔细看看，这个问题中我们可以找到几个等量关系？
（老师引导学生分析其中的等量关系）
答案：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.
追问：那么大家结合以前所学的方程知识想一想，这两个等量关系我们应该怎样用数学符号表示出来呢？（引导学生设出两个未知量，列出方程）21·cn·jy·com
答案：设他们中有x个成年人，有y个儿童
分析：这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程www.21-cn-jy.com
x+y=8
5x+3y=34
探究2：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”2·1·c·n·j·y
同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
分析：这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得等量关系老牛驮的包裹-小牛驮的包裹＝2，得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得等量关系老牛驮的包裹+1=2（小牛驮的包裹-1），得方程：x+1=2(y-1)
x-y=2
x+1=2(y-1)
三、自主思考
思考：这些方程是一元一次方程吗？如果不是，请说明理由。
答案：这些方程不是一元一次方程，因为它们都含有两个未知数。
归纳：想一想它们都有什么共同的特点：
整式方程
未知个数数2个
含有未知数项的次数1次
追问：那参照一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1。
我们应该把这些方程叫做什么呢？
答案：二元一次方程
得出定义：
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1的方程.
归纳：一元一次方程与二元一次方程的相同点与不同点：
方程 不同点 相同点
一元一次方程 未知个数数1个 含有未知数项的次数1次 整式方程
二元一次方程 未知个数数2个 含有未知数项的次数1次
练习:下列方程中,哪些是二元一次方程 不是的说明理由.
是
不是，不是整式方程
(3)3pq=-8 不是，整式的次数为2
(4)2y2-6y=1 不是，y的次数为2
(5)5(x-y)+2(2x-3y)=4 是
(6)7x+2=3 不是，只有一个未知数
议一议：在上面的方程 与
答：相同，X代表成人的人数，y代表儿童的人数
分析：x与y代表的对象相同，因而想，x与y必须同时满足这两个方程，所以可将它们联立起来
得出结论：
像这样，共含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
四、合作探究
探究3：把下列各对数代入二元一次方程x+y=8，哪些能使方程两边的值相等？
答案：（1）（3）能，（2）（4）不能
得出结论：
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
记作：
练习：(1)二元一次方程2x-y=3中，当x=2时，y=___1___
(2)二元一次方程中，当y= -2时，x=___6___
变式题：
已知是方程2x+ay=5的解，则a=__1___
.
探究4：已知方程2x+3y=10
（1）填写下表
x -1 2
y -2 0 4
追问：方程2x+3y=10有多少个解？
得出结论：
二元一次方程有无数个解
（2）你能用关于x的代数式表示y吗
解：移项，得：
3y=10-2x
y=
分析：要用x的代数式表示y，只要把方程2x+3y看作未知数是y的一元一次方程。
想一想：
（1）x=5，y=3是方程x+y=8的解吗？ 是
（2）x=5，y=3是方程5x+3y=34的解吗？ 是
（3）你能找出一组x，y同时是方程x+y=8与5x+3y=34的解吗？ x=5，y=3
得出结论:
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
五、达标测评
1.根据下列语句,分别设适当的未知数,列出二元一次方程:
1. 甲数比乙数大3. 设甲数为 x 乙数为 y
x-y=3
2.一个长方形的周长是20cm.设这个长方形的长是x cm，宽是y cm;
2x+2y=20
3.甲、乙两人各工作5天，共生产零件80件．设甲每天生产零件x件，乙每天生产零件y件．
5x+5y=80
2.甲种铅笔每枝0.2元，乙种铅笔每枝0.5元，现在某人买了x枝甲种铅笔，y枝乙种铅笔，共花了7元．21世纪教育网版权所有
列出关于x ,y的二元一次方程．
0.2x+0.5y=7
如果x＝5，那么y的值是多少？
12
如果乙种铅笔买了10枝，那么甲种铅笔买了多少枝？
10
六、应用提高
杜步中学举办了学生篮球比赛，在八3班和八1班的对抗赛结束后，分数牌显示:
八3班比八1班的总分少两分
八3班和八1班的总分之和为28分
那么八3班与八1班各得了多少分呢？
解：设八3班的分数为x分，八一班的分数为y分
y-x=2 ①
x+y=28 ②
由①得：y=2+x ③
将③ 代入 ② 中得;
x+2+x=28
2x=26
x=13
将x=13代入③中得;
y=15
所以，八3班的分数为15分，八一班的分数为13分
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是二元一次方程
2.一元一次方程与二元一次方程的区别
3.根据题意列出二元一次方程
4.什么是二元一次方程的解
5.什么是二元一次方程组
七、布置作业
教材106页习题第4、5题。
中，x所代表的对象相同吗？y呢？
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二元一次方程第一课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.已知的值：① ② ③④其中，是二元一次方程 的解的是（ ）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④
3.已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组是（ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
4.已知方程组的解是，则2m+n的值为 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、0
5.若a－b＝2，a－c＝，则3（b－c）－（b－c）＋＝ （ ）
A、0 B、 C、2 D、－
6.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）21世纪教育网版权所有
二、填空题(每小题6分，共24分)
1．买支铅笔和本练习本，其中铅笔每支元，练习本每本y元，共需用元．①列出关于的二元一次方程为_____；②若再买同样的铅笔支和同样的练习本本，价钱是元，列出关于的二元一次方程为_____；③若铅笔每支元，则练习本每本_____元．21cnjy.com
2．在二元一次方程中，当时，ｙ＝_____．
3．已知是二元一次方程的一个解，则_____．
4. 写出一个解为的二元一次方程组__________．
三、解答题(每小题20分，40分)
1.若是方程2x+y=2的解，求8a+4b-3的值。
2．方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________．
参考答案
一、选择题
1.C
【解析】含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1的方程叫做二元一次方程。C选项xy=0的次数为2 21教育网
故选C.
2. B
【解析】将各项解依次代入二元一次方程中验算，只有B选项能使等式成立
故选B.
3.D
【解析】同上题，各项解依次代入二元一次方程中验算，但有A、D两个选项能使等式成立，此时需注意，题目中这组解是二元一次方程的组解，而A选项并非二元一次方程组
故选：D.
4.C
【解析】将x=1、y= -2代入方程中得，m=2、n= -1,所以2m+n=3
故选：C.
5.D
【解析】（a-c）- (a-b)= (b-c)=-2 =－，将（b-c）代入得－
故选：D.
6.B
【解析】根据题意找出相等关系即可列出方程
故选：B.
二、填空题
1. ①12x+5y=4.9 ②6x+2y=2.2 ③0.5
【解析】根据题意找出相等关系即可列出方程
2. 2
【解析】将解x=5代入二元一次方程中，即可得到答案
3. 2.8
【解析】将解集代入二元一次方程中，可得关于b的一元一次方程
4.错.
【解析】由课本上的计量水、油、饮料等液体的多少，通常用升作单位，也可以用毫升。
8.错.
【解析】由生活常识得一瓶牛奶较少而250L单位是升，250升是非常多的所以这道题错误。
9.对.
【解析】由生活常识得一瓶果汁较少，而500mL比较符合所以这道题正确。
10.对.
【解析】计量较多的液体通常用升作单位，而计量较少的液体通常用毫升作单位所以这道题正确。
11.将代入方程2x+y=2中，得2a+b=2
8a+4b-3
=4(2a+b)-3
=4*2-3
=5
12. mx-x-2y=5
(m-1)x-2y=5
因为方程mx－2y=x+5是二元一次方程
所以 m-1≠0
m≠1
A
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认识二元一次方程组
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
一元一次方程
未知量
未知量的最高次幂
一个未知量
未知量的最高次幂是1
提示
判断下列式子是否是一元一次方程：
×
√
每张成人票5元，每张儿童票3元.
昨天，我们8个人去红山公园玩，买门票花了34元.
情境引入
到底去了几个成人，几个儿童呢？
探究1
分析等量关系
8个人去红山公园玩
，买门票花了34元.
每张成人票5元，每
张儿童票3元.
成人人数＋儿童人数＝8
成人票款＋儿童票款＝34
你能找出几个等量关系呢？
成人人数＋儿童人数＝8
成人票款＋儿童票款＝34
探究1
列出方程
你能用数学符号将两个等式表示出来吗？
解：设成人的人数为x人，儿童的人数为y人
先想一想这两个式子的特点哟！
你还累？这么大的个，才比我多驮了2个.
累死我了！
哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
真的！
它们各驮了多少包裹呢？
探究2
等量关系 老牛驮的包裹-小牛驮的包裹＝2
老牛驮的包裹+1=2（小牛驮的包裹-1）
探究2
参照上一个例子找出问题中的等量关系并列出方程
设老牛驼的包裹为x个，小牛驮的包裹为y个
这些方程是一元一次方程吗？如果不是，请说明理由。
这些方程不是一元一次方程，因为它们都含有两个未知数。
思考
想一想它们都有什么共同点：
整式方程
未知个数数2个
含有未知数项的次数1次
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1的方程。
二元一次方程的定义：
归纳
方程 不同点 相同点
一元一次方程 未知个数数1个 含有未知数项的次数1次
整式方程
二元一次方程 未知个数数2个 含有未知数项的次数1次
一元一次方程与二元一次方程的相同点与不同点：
归纳
二元一次方程
未知量
未知量的最高次幂
两个未知量
未知量的最高次幂是1
练习1
在横线上分别填上“元”、“次”、“二元”、“一次”的含义
下列方程中,哪些是二元一次方程？
(3)3pq=-8
(4)2y2-6y=1
(5)5(x-y)+2(2x-3y)=4
(6)7x+2=3
√
×
×
×
×
√
练习2
经典例题
若方程
是二元一次方程，求m、n的值。
=1
=1
2m-1=1
3n-2=1
n=1
m=1
议一议
在上面的方程
中，x所代表的对象相同吗？y呢？
与
答：相同，X代表成人的人数，y代表儿童的人数
x与y代表的对象相同，因而想，x与y必须同时满足这两个方程，所以可将它们联立起来
议一议
结论：像这样，共含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
练习3
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A.
A.
（有三个未知数）
（最高次幂为2）
（最高次幂为2）
探究3
把下列各对数代入二元一次方程
哪些能使方程两边的值相等？
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
记作：
(1)二元一次方程2x-y=3中，当x=2时， y=____
(2)二元一次方程 中，当y=-2时，x=____
1
6
练习4
已知 是方程2x+ay=5的解，则a=____
1
变式题
将解 代入方程2x+ay=5中，得
4+a=5
a=1
探究4
已知方程2x+3y=10
（1）填写下表
x -1 2
y -2 0 4
8
5
2
4
-1
方程2x+3y=10有多少个解？
结论：二元一次方程有无数个解
探究4
（2）你能用关于x的代数式表示y吗
2x+3y=10
解：移项，得：
3y=10-2x
y=
分析：要用x的代数式表示y，只要把方程2x+3y看作未知数是y的一元一次方程。
想一想
（1）x=5，y=3是方程x+y=8的解吗？
（2）x=5，y=3是方程5x+3y=34的解吗？
（3）你能找出一组x，y同时是方程x+y=8与5x+3y=34的解吗？
x=5，y=3
是
是
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
练习5
方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A.
C
1.根据下列语句,分别设适当的未知数,列出二元一次方程:
(1)甲数比乙数大3.设甲数为x,乙数为y;
(2).一个长方形的周长是２０cm.设这个长方形的长是xcm，宽是ycm;
(3).甲、乙两人各工作５天，共生产零件８０件．设甲每天生产零件x件，乙每天生产零件y件．
x-y=3
5x+5y=80
2x+2y=20
达标测评
2.甲种铅笔每枝０．２元，乙种铅笔每枝０．５元，现在某人买了x枝甲种铅笔，y枝乙种铅笔，共花了７元．
（１）列出关于x , y的二元一次方程．
（２）如果x＝５，那么y的值是多少？
（３）如果乙种铅笔买了１０枝，那么甲种铅笔买了多少枝？
0.2x+0.5y=7
12
10
杜步中学举办了学生篮球比赛，在八3班和八1班的对抗赛结束后，分数牌显示:
那么八3班与八1班各得了多少分呢？
八3班比八1班的总分少两分
八3班和八1班的总分之和为28分
应用提高
解：设八3班的分数为x分，八一班的分数为y分
y-x=2 ①
x+y=28 ②
由①得：y=2+x ③
将③ 代入 ② 中得;
x+2+x=28 2x=26 x=13
将x=13代入③中得;
y=15
所以，八3班的分数为15分，八一班的分数为13分
1.什么是二元一次方程
2.一元一次方程与二元一次方程的区别
3.根据题意列出二元一次方程
4.什么是二元一次方程的解
5.什么是二元一次方程组
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
布置作业
教材106页习题第4、5题。
