1.2 直观图 教案2
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文档简介
1.2
直观图
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识．(2)掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图．
2．过程与方法
通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养学生转化与化归的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过画直观图培养学生的探究精神和意识，通过把空间图形在平面上反映，体会现实与抽象的关系，体会数学的科学价值、应用价值．
●重点难点
重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．
难点：直观图与原图形之间的转化关系．
(教师用书独具)
●教学建议
通过观察正方体的直观图，让学生感受一下直观图的立体感，教师引导学生认识斜二测画法的规则，在教师的指导下画出平面图形的直观图进而过渡到立体图形的直观图，让学生在画图中体会斜二测画法．
●教学流程
创设问题情境引出问题：用什么方法画图使的图形立体感强，引出斜二测画法 通过例1及其变式训练，使学生掌握用斜二测画法画平面图形的直观图 通过例2及互动探究，使学生掌握立体几何图形的直观图的画法 通过例3及变式训练，使学生掌握直观图与原图形之间的转化 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识．2．掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图．(重点).
知识1
斜二测画法
【问题导思】
下面都是经典的图画与照片，反映着大自然、古今建筑、航空航天等真实、美丽、壮观、祥和、有意义的场景．从数学的角度看，它们都是空间图形在平面上的反映．我们怎样利用手中的纸和笔将空间几何体画为平面图形且不失真实感受呢？
一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那么它的直观图还是正方形吗？
【提示】 不再是正方形，是平行四边形．
斜二测画法规则
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
知识2
空间立体图形的直观图画法
【问题导思】
如何由画平面图形直观图过渡到画立体图形的直观图？
【提示】 画完水平放置的平面图形的直观图后，多画一条表示高度的数轴z轴．
立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.
类型1
水平放置的平面图形直观图的画法
图1－2－1
如图1－2－1是正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．
【思路探究】
首先在所给图形中建立一个直角坐标系xOy
→再对应画出x′O′y′→按斜二测画法
规则作图
【自主解答】 (1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系如图(1)，建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°(图(2))．
(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB，分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC.在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接A′E′，E′D′，E′C′，C′D′，B′C′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图(图(3))．
1．本题原图形中没有坐标系，则选取适当的坐标系是解决本题的关键．
2．在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段的端点的对应点比较简单，对原图中不在坐标轴上或者不在与坐标轴平行的线段上的点，常过这些点作坐标轴的平行线，以确定这些点在直观图中对应点的位置．
图1－2－2
如图1－2－2所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0,0)，A(1,3)，B(3,1)，C(4,6)，D(2,5)．
试画出四边形ABCD的直观图．
【解】 (1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图(1))．
(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1,0)．
(3)在x′轴上截去O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.
(4)同理确定点B′、C′、D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.
(5)连线成图(擦去辅助线)(如图(2))．
类型2
立体图形的直观图画法
画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1
cm、2
cm，高2
cm)．
【思路探究】 画立体图形的直观图与平面图形的直观图有何区别？
【自主解答】 (1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，过O点平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝cm，OD＝cm.
过D作AB∥x轴，且AB＝2
cm，以D为中点，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2
cm，
过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，
在y′轴上量取O′C′＝cm，O′D′＝cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1
cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC－A′B′C′即为所要画的正三棱台的直观图．
1．用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了．
2．若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)．
本例中将正三棱台改为上、下底面边长分别为6
cm、8
cm，高为4
cm的正四棱台呢？
【解】 (1)以底面四边形ABCD的两条对角线交点O为原点，过O点平行于AB的直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系，以上底面四边形A1B1C1D1的两条对角线交点O1与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系．
(2)画下底面，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝8
cm，在y轴上取线段GH，使得GH＝EF，GH的中点为O，再过G、H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB＝EF＝CD＝8
cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD、BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1＝4
cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，则∠x′O1y′＝45°.
建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复步骤(1)的方法画出上底面的直观图A1B1C1D1(图①)．
① ②
(4)再连接AA1、BB1、CC1、DD1，并擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②)．
类型3
直观图与原图形之间的转化
如图1－2－3，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
图1－2－3
【思路探究】 在由直观图转换为平面图形的过程中，要注意直观图中的哪些量不变？哪些量改变？怎么改变？
【自主解答】 如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，
所以取B′A′所在直线为y′轴．
过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．
所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xOy，则O、B重合，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.
连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形．
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，
所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
1．平面图形的直观图与原图形之间的关系要注意以下两个方面：
(1)平行关系的不变性，充分利用与x轴、y轴平行的线段，是解题的关键．
(2)长度关系的规律变化，尤其是与y轴平行的线段计算时应特别注意长度的变化．
2．求原图形的面积，关键是根据直观图还原成实际图形．
如图1－2－4，已知△OBC是△O1B1C1的斜二测画法的直观图，求S△O1B1C1.
图1－2－4
【解】 法一 根据C1E1＝2CE＝2×a＝a，
∴S△O1B1C1＝×2a×a＝a2.
法二 ∵C1E1＝2CE＝2·CD，且OB＝O1B1，
∴S△O1B1C1＝2S△OBC＝2××a×2a＝a2.
忽视斜二测画法的规则致误
画出图1－2－5中四边形OABC的直观图(图中数据已给出)．
图1－2－5
【错解】 以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图甲，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，
过D′作∠B′D′A′＝90°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图乙．
【错因分析】 坐标轴上的点O，B，C画得正确，点A的直观图位置画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A′的位置．
【防范措施】 熟练斜二测画法的规则即平行性与长度问题是解决此类问题的关键．
【正解】 如图所示，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形即为四边形OABC的直观图．
1．斜二测画法的要点是横不变、纵减半、平行位置不改变．
2．无论画平面图形的直观图，还是画空间图形的直观图，都要严格按照斜二测画法．在直观图中，原来与轴平行的线段仍然与轴平行，角的大小一般都会改变，因此已知直观图而计算原图中的有关数据时，首先要将直观图复原．
1．关于斜二测画法画直观图，下列说法不正确的是
( )
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可以是135°
【解析】 平行于y轴的线段在直观图中变为原长的.
【答案】 C
2．如图1－2－6为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
图1－2－6
【解析】 由斜二测画法的规则可知原图形可能为C.
【答案】 C
3．有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为________．
【解析】 直观图的面积S′＝5×4×sin
45°＝5cm2.
【答案】 5
cm2
图1－2－7
4．画出如图1－2－7所示的梯形ABCD的直观图．
【解】 画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线
为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.
(2)如图①所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.如图②所示，在x′轴上取A′B′＝AB，A′E′＝AE；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD.
(3)连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
一、选择题
1．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③梯形的直观图是梯形；④矩形的直观图是矩形；⑤菱形的直观图菱形．
以上结论正确的是( )
A．①② B．①②③
C．①②③④
D．①②③④⑤
【解析】 由斜二测画法的规律知：画出直观图时，平行性不变，垂直性改变，故①②③正确，④⑤错．应选B.
【答案】 B
2．如图1－2－8，直观图所表示的平面四边形ABCD是( )
图1－2－8
A．任意四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．平行四边形
【解析】
) 直角梯形．
【答案】 B
图1－2－9
3．如图1－2－9，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
【解析】 根据斜二测画法知在y轴上的线段为原来的一半，故A正确．
【答案】 A
图1－2－10
4．如图1－2－10所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法得到这个梯形的直观图为四边形O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为( )
A.
B．1
C.
D.
【解析】 按斜二测画法，得到梯形的直观图O′A′B′C′，如右图所示，在原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么C′E′＝C′D′sin
45°＝.
【答案】 C
图1－2－11
5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图1－2－11所示，则原平面图形的面积为( )
A．4
B．4
C．8
D．8
【解析】 由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且它的一组对边长为2，在直观图中O′B′＝2，且∠B′O′A′＝45°，则在原平面图形中，∠BOA＝90°，且OB＝4，因此，原平面图形的面积为2×4＝8.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·广州高一检测)已知菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是________．
【解析】 由已知得BD＝4，AC＝4，且AC⊥BD，
所以其斜二测直观图的面积为S＝×4×4××sin
45°＝2.
【答案】 2
7．已知直角坐标系xOy内有两点B(0,2)，A(4,0)用斜二测画法画AB的直观图A′B′，则A′B′的长度是________．
【解析】 结合直角坐标系xOy中条件知，在新坐标系x′O′y′中O′A′＝4，O′B′＝，
作B′H⊥x′轴于点H，
在Rt△O′B′H中，易知B′H＝1；
由Rt△B′A′H中，
易知A′B′＝＝.
【答案】
图1－2－12
8．如图1－2－12所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
【解析】 先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，∴AD＝DC＝BD.
【答案】 2
三、解答题
9．画水平放置的直角梯形的直观图．
【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直角坐标系，如图(1)所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取O′B′＝OB，在y′轴上取O′D′＝OD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′，使得D′C′＝DC，如图(2)所示．
(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．
10．画出底面边长为2
cm，高为3
cm的正四棱锥的直观图．
【解】 画法如下：
(1)画轴：如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN，在y轴上取线段PQ，分别使MN＝2
cm，PQ＝1
cm，再分别过点M、N作y轴的平行线，过点P、Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD即为正四棱锥的底面ABCD.
(3)画高，在z轴上截取OS＝3
cm.
(4)成图，连接SA，SB，SC，SD，并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得正四棱锥的直观图，如图(2)．
11．在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图1－2－13，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
图1－2－13
【解】 真实图形如图所示．
因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，
所以在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥CB，
因为DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
BC＝2B′C′＝2，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
(教师用书独具)
已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为ɑ的正三角形，那么△ABC的面积为多少？
【思路探究】 以△A′B′C′的边B′C′所在直线为x′轴，B′C′的中点O′为坐标原点建立斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，再建立相应的直角坐标系xOy，画出原图形△ABC，易知BC＝B′C′＝a.关键是求出BC边上的高AM.
【自主解答】 图(1)为直观图，图(2)为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，以过B′C′中点O′与O′x′成45°角的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′，交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，
则在Rt△A′O′M′中，因为O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝O′A′＝a.故A′M′＝a，
在直角坐标系xOy中，在O点左右两侧分别取到y轴距离为的点B、点C，
在O点左侧取到y轴距离为a的点M，
过M作x轴的垂线，在垂线上，且在y轴正方向上取点A，使MA＝a，连接AB，AC，则△ABC为直观图所对应的实际图形，
如图(2)所示，显然S△ABC＝a·a＝a2.
利用直观图求原图形的面积时，首先要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量，然后结合两个坐标系确定数据，计算相应图形的面积．
如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图．在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y′轴平行，若AB＝6，AD＝2，求这个平面图形的实际面积．
【解】 由直观图还原平面图如图，由图可知，平面图形是直角梯形，A1B1与C1D1长度不变，仍为6和4，高为4，故面积为20.
直观图
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识．(2)掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图．
2．过程与方法
通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养学生转化与化归的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过画直观图培养学生的探究精神和意识，通过把空间图形在平面上反映，体会现实与抽象的关系，体会数学的科学价值、应用价值．
●重点难点
重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．
难点：直观图与原图形之间的转化关系．
(教师用书独具)
●教学建议
通过观察正方体的直观图，让学生感受一下直观图的立体感，教师引导学生认识斜二测画法的规则，在教师的指导下画出平面图形的直观图进而过渡到立体图形的直观图，让学生在画图中体会斜二测画法．
●教学流程
创设问题情境引出问题：用什么方法画图使的图形立体感强，引出斜二测画法 通过例1及其变式训练，使学生掌握用斜二测画法画平面图形的直观图 通过例2及互动探究，使学生掌握立体几何图形的直观图的画法 通过例3及变式训练，使学生掌握直观图与原图形之间的转化 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识．2．掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图．(重点).
知识1
斜二测画法
【问题导思】
下面都是经典的图画与照片，反映着大自然、古今建筑、航空航天等真实、美丽、壮观、祥和、有意义的场景．从数学的角度看，它们都是空间图形在平面上的反映．我们怎样利用手中的纸和笔将空间几何体画为平面图形且不失真实感受呢？
一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那么它的直观图还是正方形吗？
【提示】 不再是正方形，是平行四边形．
斜二测画法规则
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
知识2
空间立体图形的直观图画法
【问题导思】
如何由画平面图形直观图过渡到画立体图形的直观图？
【提示】 画完水平放置的平面图形的直观图后，多画一条表示高度的数轴z轴．
立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.
类型1
水平放置的平面图形直观图的画法
图1－2－1
如图1－2－1是正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．
【思路探究】
首先在所给图形中建立一个直角坐标系xOy
→再对应画出x′O′y′→按斜二测画法
规则作图
【自主解答】 (1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系如图(1)，建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°(图(2))．
(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB，分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC.在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接A′E′，E′D′，E′C′，C′D′，B′C′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图(图(3))．
1．本题原图形中没有坐标系，则选取适当的坐标系是解决本题的关键．
2．在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段的端点的对应点比较简单，对原图中不在坐标轴上或者不在与坐标轴平行的线段上的点，常过这些点作坐标轴的平行线，以确定这些点在直观图中对应点的位置．
图1－2－2
如图1－2－2所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0,0)，A(1,3)，B(3,1)，C(4,6)，D(2,5)．
试画出四边形ABCD的直观图．
【解】 (1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图(1))．
(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1,0)．
(3)在x′轴上截去O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.
(4)同理确定点B′、C′、D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.
(5)连线成图(擦去辅助线)(如图(2))．
类型2
立体图形的直观图画法
画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1
cm、2
cm，高2
cm)．
【思路探究】 画立体图形的直观图与平面图形的直观图有何区别？
【自主解答】 (1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，过O点平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝cm，OD＝cm.
过D作AB∥x轴，且AB＝2
cm，以D为中点，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2
cm，
过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，
在y′轴上量取O′C′＝cm，O′D′＝cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1
cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC－A′B′C′即为所要画的正三棱台的直观图．
1．用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了．
2．若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)．
本例中将正三棱台改为上、下底面边长分别为6
cm、8
cm，高为4
cm的正四棱台呢？
【解】 (1)以底面四边形ABCD的两条对角线交点O为原点，过O点平行于AB的直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系，以上底面四边形A1B1C1D1的两条对角线交点O1与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系．
(2)画下底面，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝8
cm，在y轴上取线段GH，使得GH＝EF，GH的中点为O，再过G、H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB＝EF＝CD＝8
cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD、BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1＝4
cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，则∠x′O1y′＝45°.
建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复步骤(1)的方法画出上底面的直观图A1B1C1D1(图①)．
① ②
(4)再连接AA1、BB1、CC1、DD1，并擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②)．
类型3
直观图与原图形之间的转化
如图1－2－3，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
图1－2－3
【思路探究】 在由直观图转换为平面图形的过程中，要注意直观图中的哪些量不变？哪些量改变？怎么改变？
【自主解答】 如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，
所以取B′A′所在直线为y′轴．
过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．
所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xOy，则O、B重合，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.
连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形．
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，
所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
1．平面图形的直观图与原图形之间的关系要注意以下两个方面：
(1)平行关系的不变性，充分利用与x轴、y轴平行的线段，是解题的关键．
(2)长度关系的规律变化，尤其是与y轴平行的线段计算时应特别注意长度的变化．
2．求原图形的面积，关键是根据直观图还原成实际图形．
如图1－2－4，已知△OBC是△O1B1C1的斜二测画法的直观图，求S△O1B1C1.
图1－2－4
【解】 法一 根据C1E1＝2CE＝2×a＝a，
∴S△O1B1C1＝×2a×a＝a2.
法二 ∵C1E1＝2CE＝2·CD，且OB＝O1B1，
∴S△O1B1C1＝2S△OBC＝2××a×2a＝a2.
忽视斜二测画法的规则致误
画出图1－2－5中四边形OABC的直观图(图中数据已给出)．
图1－2－5
【错解】 以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图甲，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，
过D′作∠B′D′A′＝90°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图乙．
【错因分析】 坐标轴上的点O，B，C画得正确，点A的直观图位置画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A′的位置．
【防范措施】 熟练斜二测画法的规则即平行性与长度问题是解决此类问题的关键．
【正解】 如图所示，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形即为四边形OABC的直观图．
1．斜二测画法的要点是横不变、纵减半、平行位置不改变．
2．无论画平面图形的直观图，还是画空间图形的直观图，都要严格按照斜二测画法．在直观图中，原来与轴平行的线段仍然与轴平行，角的大小一般都会改变，因此已知直观图而计算原图中的有关数据时，首先要将直观图复原．
1．关于斜二测画法画直观图，下列说法不正确的是
( )
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可以是135°
【解析】 平行于y轴的线段在直观图中变为原长的.
【答案】 C
2．如图1－2－6为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
图1－2－6
【解析】 由斜二测画法的规则可知原图形可能为C.
【答案】 C
3．有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为________．
【解析】 直观图的面积S′＝5×4×sin
45°＝5cm2.
【答案】 5
cm2
图1－2－7
4．画出如图1－2－7所示的梯形ABCD的直观图．
【解】 画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线
为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.
(2)如图①所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.如图②所示，在x′轴上取A′B′＝AB，A′E′＝AE；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD.
(3)连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
一、选择题
1．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③梯形的直观图是梯形；④矩形的直观图是矩形；⑤菱形的直观图菱形．
以上结论正确的是( )
A．①② B．①②③
C．①②③④
D．①②③④⑤
【解析】 由斜二测画法的规律知：画出直观图时，平行性不变，垂直性改变，故①②③正确，④⑤错．应选B.
【答案】 B
2．如图1－2－8，直观图所表示的平面四边形ABCD是( )
图1－2－8
A．任意四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．平行四边形
【解析】
) 直角梯形．
【答案】 B
图1－2－9
3．如图1－2－9，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
【解析】 根据斜二测画法知在y轴上的线段为原来的一半，故A正确．
【答案】 A
图1－2－10
4．如图1－2－10所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法得到这个梯形的直观图为四边形O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为( )
A.
B．1
C.
D.
【解析】 按斜二测画法，得到梯形的直观图O′A′B′C′，如右图所示，在原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么C′E′＝C′D′sin
45°＝.
【答案】 C
图1－2－11
5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图1－2－11所示，则原平面图形的面积为( )
A．4
B．4
C．8
D．8
【解析】 由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且它的一组对边长为2，在直观图中O′B′＝2，且∠B′O′A′＝45°，则在原平面图形中，∠BOA＝90°，且OB＝4，因此，原平面图形的面积为2×4＝8.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·广州高一检测)已知菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是________．
【解析】 由已知得BD＝4，AC＝4，且AC⊥BD，
所以其斜二测直观图的面积为S＝×4×4××sin
45°＝2.
【答案】 2
7．已知直角坐标系xOy内有两点B(0,2)，A(4,0)用斜二测画法画AB的直观图A′B′，则A′B′的长度是________．
【解析】 结合直角坐标系xOy中条件知，在新坐标系x′O′y′中O′A′＝4，O′B′＝，
作B′H⊥x′轴于点H，
在Rt△O′B′H中，易知B′H＝1；
由Rt△B′A′H中，
易知A′B′＝＝.
【答案】
图1－2－12
8．如图1－2－12所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
【解析】 先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，∴AD＝DC＝BD.
【答案】 2
三、解答题
9．画水平放置的直角梯形的直观图．
【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直角坐标系，如图(1)所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取O′B′＝OB，在y′轴上取O′D′＝OD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′，使得D′C′＝DC，如图(2)所示．
(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．
10．画出底面边长为2
cm，高为3
cm的正四棱锥的直观图．
【解】 画法如下：
(1)画轴：如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN，在y轴上取线段PQ，分别使MN＝2
cm，PQ＝1
cm，再分别过点M、N作y轴的平行线，过点P、Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD即为正四棱锥的底面ABCD.
(3)画高，在z轴上截取OS＝3
cm.
(4)成图，连接SA，SB，SC，SD，并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得正四棱锥的直观图，如图(2)．
11．在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图1－2－13，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
图1－2－13
【解】 真实图形如图所示．
因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，
所以在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥CB，
因为DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
BC＝2B′C′＝2，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
(教师用书独具)
已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为ɑ的正三角形，那么△ABC的面积为多少？
【思路探究】 以△A′B′C′的边B′C′所在直线为x′轴，B′C′的中点O′为坐标原点建立斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，再建立相应的直角坐标系xOy，画出原图形△ABC，易知BC＝B′C′＝a.关键是求出BC边上的高AM.
【自主解答】 图(1)为直观图，图(2)为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，以过B′C′中点O′与O′x′成45°角的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′，交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，
则在Rt△A′O′M′中，因为O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝O′A′＝a.故A′M′＝a，
在直角坐标系xOy中，在O点左右两侧分别取到y轴距离为的点B、点C，
在O点左侧取到y轴距离为a的点M，
过M作x轴的垂线，在垂线上，且在y轴正方向上取点A，使MA＝a，连接AB，AC，则△ABC为直观图所对应的实际图形，
如图(2)所示，显然S△ABC＝a·a＝a2.
利用直观图求原图形的面积时，首先要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量，然后结合两个坐标系确定数据，计算相应图形的面积．
如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图．在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y′轴平行，若AB＝6，AD＝2，求这个平面图形的实际面积．
【解】 由直观图还原平面图如图，由图可知，平面图形是直角梯形，A1B1与C1D1长度不变，仍为6和4，高为4，故面积为20.