1.2 直观图 学案1（含答案）
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文档简介
1.2 直观图 学案
学习目标
重点难点
1.掌握斜二测画法的规则．
2．会用斜二测画法画平面图形的直观图和立体图形的直观图．
3．会根据斜二测画法的规则由直观图还原成平面图并进行计算．
4．采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点.
重点：斜二测画法的规则，平面图形的直观图和立体图形的直观图的画法．
难点：立体图形的直观图的画法．
疑点：斜二测画法的逆向应用，即根据斜二测画法的规则由直观图还原成平面图并进行计算.
1．直观图及斜二测画法．
(1)用来表示空间图形的直观图，叫作空间图形的直观图．
(2)斜二测画法的规则．
①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
温馨提示：立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应z轴的是z′轴，平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．
预习交流1
画直观图建立坐标系时应注意什么原则？
提示：建系时注意两个原则：
①使原图上尽可能多的点落在坐标轴上；
②尽量使用对称关系建系．
预习交流2
关于直观图画法的说法中，不正确的是( )．
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于135°
D．作直观图时，所画直观图可能不同
提示：B
2．平面及其表示．
在几何里所说的平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分来表示平面．一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图，并用希腊字母α，β，γ等来表示(如图所示)．
3．用斜二测画法画的直观图是根据平行投影的原理画出的图形，图中的投影线互相平行．也可以根据中心投影的原理来表示空间图形，此时投影线相交于一点．
预习交流3
(1)一条直线在平面上的平行投影是( )．
A．直线 B．点
C．线段 D．直线或点
(2)如果一个平面图形所在的平面与投影面平行，则中心投影后得到的图形与原图形是________的．
提示：(1)D (2)相似
1．画平面图形的直观图
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的三角形OAB的直观图．
思路分析：按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
解：(1)在三角形中建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图①中作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，在坐标系x′O′y′中，沿x′轴正方向取O′C′＝OC，沿x′轴负方向取O′D′＝OD.
(3)在坐标系x′O′y′中，沿y′轴负方向画C′A′平行于y′轴，且C′A′＝CA；沿y′轴正方向画D′B′平行于y′轴，且D′B′＝DB.
(4)连接O′A′，O′B′，A′B′，去掉辅助线，得到三角形O′A′B′，即为△OAB的直观图．如图③所示．
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
解：第一步：在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xAy，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.第二步：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝ cm≈2.598 cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝ CD＝2 cm.
第三步：连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
画平面图形的直观图的关键点
画水平放置的平面多边形的直观图，关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定．
特别提醒：同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
2．画立体图形的直观图
画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)．
思路分析：先画出上、下底面(正三角形)的直观图，再画出整个正三棱台的直观图．
解：(1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，使∠xOy＝45°，垂直于x轴的直线为z轴．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝ cm，OD＝ cm.
过D作AB∥x轴，AB＝2 cm，且以D为中点，连接AC，BC，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2 cm，
过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′＝ cm，O′D′＝ cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1 cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC-A′B′C′即为所要画的正三棱台的直观图．
画出底面边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
解：画法：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，
∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图(1)．
(2)画底面．以O为中心在x轴上截取线段EF，使EF＝1.2 cm，在y轴上截取线段GH，使GH＝0.6 cm.
分别过E，F作y轴的平行线，过G，H作x轴的平行线，则交点分别为A，B，C，D，即四边形ABCD为底面正方形的直观图．
(3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图(2)．
图(1) 图(2)
画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出z轴．对于图中与x轴、y轴、z轴平行的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴、z′轴，与y轴平行的线段，长度变为原来的，与x轴、z轴平行的线段，长度保持不变．对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决．
3．由直观图还原平面图
一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
思路分析：由直观图确定原来的图形的形状及数量关系，关键要把握“横坐标不变，纵坐标减半”的原理，逆推即可．
解：如图①是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
① ②
又因为梯形为等腰梯形，
所以△E′D′C′为等腰直角三角形，
所以E′C′＝，所以B′C′＝1＋.
再建立一个直角坐标系xBy，如图②所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1，连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形，四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
1．水平放置的△ABC的直观图如右图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为______．
解析：由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.
答案：2.5
2．已知等边△ABC的直观图△A′B′C′的面积为，则等边△ABC的面积是多少？
解：按照斜二测画法的规则，把如图①等边△ABC的直观图△A′B′C′还原为如图②等边△ABC，
设AB＝x，
则B′C′＝x，等边△ABC的高为x，
所以△A′B′C′的高为×x＝x，
所以△A′B′C′的面积为×x×x＝x2＝，
解得x＝1，
所以△ABC的面积为×x×x＝x2＝.
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算．
1．下列命题中，正确命题的个数为( )．
①桌面是平面；
②一个平面长3米，宽2米；
③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；
④在几何里所说的平面是无限延展的．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：③④正确．
答案：C
2．下列说法正确的是( )．
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的平行投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍为这条线段投影的中点
答案：D
3．关于斜二测画法画直观图的说法不正确的是( )．
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是135°
答案：C
4.如右图，直观图(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是( )．
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°，
∴对应的平面图形为直角三角形．
答案：D
5．水平放置的矩形ABCD长为4，宽为2，作出斜二测直观图A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积．
解：以A′B′为O′x′轴，A′D′为O′y′轴，如图，作D′H′⊥x′轴于点H′，则A′B′＝4，A′D′＝1，D′H′＝，
∴S四边形A′B′C′D′＝4×＝2.
学习目标
重点难点
1.掌握斜二测画法的规则．
2．会用斜二测画法画平面图形的直观图和立体图形的直观图．
3．会根据斜二测画法的规则由直观图还原成平面图并进行计算．
4．采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点.
重点：斜二测画法的规则，平面图形的直观图和立体图形的直观图的画法．
难点：立体图形的直观图的画法．
疑点：斜二测画法的逆向应用，即根据斜二测画法的规则由直观图还原成平面图并进行计算.
1．直观图及斜二测画法．
(1)用来表示空间图形的直观图，叫作空间图形的直观图．
(2)斜二测画法的规则．
①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
温馨提示：立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应z轴的是z′轴，平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．
预习交流1
画直观图建立坐标系时应注意什么原则？
提示：建系时注意两个原则：
①使原图上尽可能多的点落在坐标轴上；
②尽量使用对称关系建系．
预习交流2
关于直观图画法的说法中，不正确的是( )．
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于135°
D．作直观图时，所画直观图可能不同
提示：B
2．平面及其表示．
在几何里所说的平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分来表示平面．一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图，并用希腊字母α，β，γ等来表示(如图所示)．
3．用斜二测画法画的直观图是根据平行投影的原理画出的图形，图中的投影线互相平行．也可以根据中心投影的原理来表示空间图形，此时投影线相交于一点．
预习交流3
(1)一条直线在平面上的平行投影是( )．
A．直线 B．点
C．线段 D．直线或点
(2)如果一个平面图形所在的平面与投影面平行，则中心投影后得到的图形与原图形是________的．
提示：(1)D (2)相似
1．画平面图形的直观图
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的三角形OAB的直观图．
思路分析：按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
解：(1)在三角形中建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图①中作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，在坐标系x′O′y′中，沿x′轴正方向取O′C′＝OC，沿x′轴负方向取O′D′＝OD.
(3)在坐标系x′O′y′中，沿y′轴负方向画C′A′平行于y′轴，且C′A′＝CA；沿y′轴正方向画D′B′平行于y′轴，且D′B′＝DB.
(4)连接O′A′，O′B′，A′B′，去掉辅助线，得到三角形O′A′B′，即为△OAB的直观图．如图③所示．
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
解：第一步：在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xAy，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.第二步：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝ cm≈2.598 cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝ CD＝2 cm.
第三步：连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
画平面图形的直观图的关键点
画水平放置的平面多边形的直观图，关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定．
特别提醒：同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
2．画立体图形的直观图
画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)．
思路分析：先画出上、下底面(正三角形)的直观图，再画出整个正三棱台的直观图．
解：(1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，使∠xOy＝45°，垂直于x轴的直线为z轴．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝ cm，OD＝ cm.
过D作AB∥x轴，AB＝2 cm，且以D为中点，连接AC，BC，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2 cm，
过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′＝ cm，O′D′＝ cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1 cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC-A′B′C′即为所要画的正三棱台的直观图．
画出底面边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
解：画法：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，
∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图(1)．
(2)画底面．以O为中心在x轴上截取线段EF，使EF＝1.2 cm，在y轴上截取线段GH，使GH＝0.6 cm.
分别过E，F作y轴的平行线，过G，H作x轴的平行线，则交点分别为A，B，C，D，即四边形ABCD为底面正方形的直观图．
(3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图(2)．
图(1) 图(2)
画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出z轴．对于图中与x轴、y轴、z轴平行的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴、z′轴，与y轴平行的线段，长度变为原来的，与x轴、z轴平行的线段，长度保持不变．对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决．
3．由直观图还原平面图
一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
思路分析：由直观图确定原来的图形的形状及数量关系，关键要把握“横坐标不变，纵坐标减半”的原理，逆推即可．
解：如图①是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
① ②
又因为梯形为等腰梯形，
所以△E′D′C′为等腰直角三角形，
所以E′C′＝，所以B′C′＝1＋.
再建立一个直角坐标系xBy，如图②所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1，连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形，四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
1．水平放置的△ABC的直观图如右图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为______．
解析：由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.
答案：2.5
2．已知等边△ABC的直观图△A′B′C′的面积为，则等边△ABC的面积是多少？
解：按照斜二测画法的规则，把如图①等边△ABC的直观图△A′B′C′还原为如图②等边△ABC，
设AB＝x，
则B′C′＝x，等边△ABC的高为x，
所以△A′B′C′的高为×x＝x，
所以△A′B′C′的面积为×x×x＝x2＝，
解得x＝1，
所以△ABC的面积为×x×x＝x2＝.
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算．
1．下列命题中，正确命题的个数为( )．
①桌面是平面；
②一个平面长3米，宽2米；
③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；
④在几何里所说的平面是无限延展的．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：③④正确．
答案：C
2．下列说法正确的是( )．
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的平行投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍为这条线段投影的中点
答案：D
3．关于斜二测画法画直观图的说法不正确的是( )．
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是135°
答案：C
4.如右图，直观图(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是( )．
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°，
∴对应的平面图形为直角三角形．
答案：D
5．水平放置的矩形ABCD长为4，宽为2，作出斜二测直观图A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积．
解：以A′B′为O′x′轴，A′D′为O′y′轴，如图，作D′H′⊥x′轴于点H′，则A′B′＝4，A′D′＝1，D′H′＝，
∴S四边形A′B′C′D′＝4×＝2.