1.4.2 空间图形的公理 学案（含答案）

1.4.2 空间图形的公理 学案
问题导学
1．公理4的应用
活动与探究1
在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD上的点且，请回答并证明当空间四边形ABCD的四条边及点G，H满足什么条件时，四边形EFGH，
(1)为平行四边形？
(2)为菱形？
迁移与应用
如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD．
空间中证明两直线平行的方法：
(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．
(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．
2．等角定理的应用
活动与探究2
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
迁移与应用
如图，空间图形A－BCD的四个面分别为△ABC，△ACD，△ADB和△BCD，E，F，G分别是线段AB，AC，AD上的点，且满足AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD．求证：△EFG∽△BCD．
1．要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可．
2．空间中证明两个角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等．在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系．
3．异面直线及其所成的角
活动与探究3
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(2)求异面直线AD′与B′C、A′C与AB所成角的正切值．
迁移与应用
已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求：
(1)BC′与CD′所成的角；
(2)AD与BC′所成的角．
由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是：平移→构造三角形→解三角形→作答．在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两异面直线中一条上的一点，或几何体顶点、棱的中点等特殊点．
当堂检测
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝50°，则β等于(　　)．
A．50° B．130° C．40° D．50°或130°
2．空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是(　　)．
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
(第3题图)
4．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
(第4题图)
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．平行　a∥c
预习交流1　提示：(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性．
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法．它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础．
(3)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键．
2．相等或互补
预习交流2　提示：相等；互补．
3．不在
预习交流3　提示：一定不相交．若对角线相交，则四个顶点共面，这与定义中四个顶点不共面相矛盾．
4．锐角　直角　互相垂直
预习交流4　提示：两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1　思路分析：由＝＝，可想到证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，需证明GH＝EF，且GH∥AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成立的情况下，还需证明EH＝EF，进一步可得AC，BD的关系．
解：(1)当＝＝时，
四边形EFGH为平行四边形．
理由：∵＝＝，
∴EF∥AC且EF＝AC.
若＝＝，
则HG∥AC且HG＝AC.
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
(2)当＝＝且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．
理由：由(1)知，若＝＝，
则四边形EFGH为平行四边形，且EF＝AC，EH＝BD.若AC＝BD，则EF＝AC＝BD＝EH.
∴平行四边形EFGH为菱形．
迁移与应用　证明：(1)如题图，在△ABD中，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
又FG是△CBD的中位线，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面．又FG＝EH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.∴AC⊥BD.
活动与探究2　思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明．
证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴MM1＝AA1，MM1∥AA1.
又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，
∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)方法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
方法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
迁移与应用　证明：在△ABD中，
∵AE∶AB＝AG∶AD，
∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.
又∠GEF与∠DBC两组对边方向分别相同，∴∠GEF＝∠DBC.
同理，∠EGF＝∠BDC.
∴△EFG∽△BCD.
活动与探究3　思路分析：(1)按照异面直线的定义进行判断；(2)根据异面直线所成角的定义进行求解．
解：(1)所在直线与BC′是异面直线的棱有：AA′，DD′，A′B′，DC，AD，A′D′.
(2)因为AD′∥BC′，所以AD′与B′C所成的角就是BC′与B′C所成的角，而BC′⊥B′C，所以AD′与B′C所成的角等于90°，其正切值不存在．
因为AB∥CD，所以∠A′CD就是异面直线A′C与AB所成的角．
在△A′CD中，若设正方体棱长为a，则CD＝a，A′D＝a，A′C＝a，
因此△A′CD是直角三角形，
于是tan∠A′CD＝＝.
迁移与应用　解：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
连接A′C′，由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.
即BC′与CD′所成的角为60°.
(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
当堂检测
1．D　2．C　3．60°　4．3