第1章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
课时目标 1.会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系．
1．命题的定义
__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做______命题．
2．命题的结构
在数学中，“若p则q”这种形式的命题是常见的，其中p是命题的条件，q是命题的结论．
3．四种命题的概念
一般地，设“若p则q”为原命题，“若q则p”就叫做原命题的__________，“若非p则非q”就叫做原命题的__________，“若非q则非p”就叫做原命题的______________．
4．四种命题的真假性
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
一、填空题
1．下列语句中命题的个数为________．
①空集是任何非空集合的真子集．
②三角函数是周期函数吗？
③若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
④指数函数的图象真漂亮！
2．在空间中，下列命题正确的是________．(填序号)
①平行直线的平行投影重合；
②平行于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两个平面平行；
④垂直于同一平面的两条直线平行．
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
4．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是________．(填序号)
①它的逆命题是真命题；
②它的否命题是真命题；
③它的逆否命题是假命题；
④它的否命题是假命题．
5．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是________________________________．
6．有下列四个命题，其中真命题有________．(填序号)
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
7．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是_______________________________________；逆命题是____________；否命题是________________________．
8．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中真命题有________．(填序号)
二、解答题
9．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
10．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
能力提升
11．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；
③若l＝，则－≤m≤0.
其中正确命题的序号为________．
12．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.证明：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
1．命题的最主要的特征是能够判断真假．
2．互为逆否的命题真假性相同．
3．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
课时作业答案解析
第1章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
知识梳理
1．能够判断真假的语句 假
3．逆命题 否命题 逆否命题
4．(1)相同
作业设计
1．2
解析 ①是命题；②是疑问句，故不是命题；③是命题；④是感叹句，所以不是命题．
2．④
3．2
解析 由a>－3?a>－6，但由a>－6a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题．
4．④
5．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
6．①③
解析 ①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．
7．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
8．①③
9．解 逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
10．解 若命题p为真命题，则m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，
有p真q假或p假q真，即或
故m的取值范围是1
11．①②③
解析 ①m＝1时，l≥m＝1且x2≥1，
∴l＝1，故①正确．
②m＝－时，m2＝，故l≥.
又l≤1，∴②正确．
③l＝时，m2≤且m≤0，则－≤m≤0，
∴③正确．
12．证明 要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．
原命题的否命题为“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)1.1.2 充分条件和必要条件
课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的____________，q是p的______________．
2．如果p?q，且q?p，就记作__________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________________条件．
一、填空题
1．“x>0”是“x≠0”的____________条件．
2．对于三个集合A，B，C，条件A?B，B?C，C?A是A＝B＝C的________条件．
3．设集合M＝{x|04．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的____________条件．
5．a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的____________条件．
6．α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的____________条件．
7．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－28．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
二、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
10.已知P＝{x|a－4能力提升
11．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的____________条件．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A?B证明了必要性；B?A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A?B证明了充分性；B?A证明了必要性．
1.1.2 充分条件和必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．充分不必要
解析 对于“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．
2．充要
解析 由A?B，B?C，得A?C；又因C?A，
所以A＝C，同理得A＝B.
由A＝B＝C，得A?B，B?C，C?A.
3．必要不充分
解析 因为NM.所以a∈M是a∈N的必要而不充分条件．
4．充分不必要
解析 把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件．
5．充分不必要
解析 当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的充分不必要条件．
6．充分不必要
解析 ∵当α＝＋2kπ(k∈Z)时，
cos 2α＝cos＝，
∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的充分条件．而当α＝－时，cos 2α＝，
但不存在k∈Z使得－＝＋2kπ，
∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”不是“cos 2α＝”的必要条件．
7．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
8．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
9．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要不充分条件．
10．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
11．必要不充分
解析 当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．
12．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1.
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
