1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和存在性命题的真假．
1．全称量词和全称命题
“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为____________，通常用符号“________”表示“对任意x”．含有____________的命题称为全称命题．
通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词和存在性命题
“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为______________，通常用符号“________”表示“存在x”，含有______________的命题称为存在性命题．
存在性命题“存在一个x属于M，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．
一、填空题
1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是______________________________．
2．下列语句是全称命题的是________．(填序号)
①任何一个实数乘以零都等于零；
②自然数都是正整数；
③高二(一)班绝大多数同学是团员；
④每一个向量都有大小．
3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是________．(填序号)
①?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy；
②?x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0；
③?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy；
④?x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0.
4．下列命题中正确的有________．(填序号)
①对所有的正实数t, 为正且
②存在实数x0，使x－3x0－4＝0；
③不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0；
④存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且x>4.
5．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是________．(填序号)
①斜三角形的内角是锐角或钝角；
②至少有一个x∈R，使x2≤0；
③两个无理数的和是无理数；
④存在一个负数，使>2.
6．设直线系M：xcos θ＋(y－2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是__________(写出所有真命题的代号)．
7．下列4个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，x<x；
p2：?x∈(0,1)，logx>logx；
p3：?x∈(0，＋∞)，x>logx；
p4：?x∈，x其中的真命题是__________．
8．将下列命题用含有“?”或“?”的符号语言来表示．
(1)任意一个整数都是有理数， _______________.
(2)实数的绝对值不小于0，__________________.
(3)存在一实数x0，使x＋1＝0，______________.
二、解答题
9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|；
(4)?x0∈R，使x＋1<0.
10．若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对于任意x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
能力提升
11．下列命题中是假命题的有________．(填序号)
①任意x∈R,2x－1>0；
②任意x∈N*，(x－1)2>0；
③存在x∈R，lg x<1；
④存在x∈R，tan x＝2.
12．给定两个命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
1．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一命题就是假命题．
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
知识梳理
1．全称量词 ?x 全称量词
2．存在量词 ?x 存在量词
作业设计
1．?a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
2．①②④
解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是存在性命题．
3．①
4．②
解析 t＝时＝，此时>t，所以①错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x0＝－1或x0＝4时，x－3x0－4＝0，故②正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以③错；由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得x<－2或x>2，所以④错．
5．②
6．B、C
解析 对选项A分别令θ＝0，，得到三条直线，而三条直线不共点，故A不正确；因点(0,2)不在M中的任一条直线上，故存在点P，所以B正确；
对选项C，分别令θ＝，，，其对应直线斜率k＝0，－，，而三直线又不共线，所以三直线能够组成正三角形，故C正确；显然D不正确．
7．p2，p4
解析 取x＝，则logx＝1，logx＝log32<1，则p2正确；当x∈时，x<1，而logx>1，所以p4正确．
8．(1)?x∈Z，x∈Q (2)?x∈R，|x|≥0
(3)?x0∈R，x＋1＝0
9．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题，
(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题．
(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(4)是假命题．
10．解 sin x＋cos x＝sin∈[－，]，
所以，如果对于任意x∈R，r(x)为假命题，即对任意x∈R，不等式sin x＋cos x>m恒不成立，则m≥；
又对于任意x∈R，s(x)为真命题，即对于任意x∈R，不等式x2＋mx＋1>0恒成立，
所以Δ＝m2－4<0，即－2故对于任意x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，应有≤m<2.
11．②
12．解 对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立
?a＝0或?0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根
?1－4a≥0?a≤；
如果p正确，且q不正确，则有
0≤a<4，且a>，∴如果q正确，且p不正确，则有
a<0或a≥4，且a≤.∴a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
课时目标 1.加深对全称命题和存在性命题的意义的理解.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：
全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________，全称命题的否定是
________________．
2．存在性命题的否定
一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：________________，存在性命题的否定是____________．
一、填空题
1．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是________________；否命题是
___________________．
2．“a和b都不是偶数”的否定形式是________．(填序号)
①a和b至少有一个是偶数；
②a和b至多有一个是偶数；
③a是偶数，b不是偶数；
④a和b都是偶数．
3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是______________________________．
4．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则綈p：___________________________.
5．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋1 998”的否定是____________________________．
6．命题r：?x∈R， >0的否定为________________________．
7．命题“存在x0∈R, ≤0”的否定是____________________．
8．命题?x∈R，x2－x＋3>0的否定是______________________________________．
二、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)?x0∈Q，x＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
10.已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
能力提升
11．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是__________________________．
12．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
全称命题和存在性命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
知识梳理
1．?x∈M，綈p(x) 存在性命题
2．?x∈M，綈p(x) 全称命题
作业设计
1．至少存在一个末位数是0或5的整数不能被5整除 所有末位数不是0且不是5的整数，都不能被5整除
2．①
解析 在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶．
3．所有的平行四边形都不是矩形
解析 存在性命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．
4．?x∈R，sin x0>1
5．?整数m，n使得m2≠n2＋1 998
6．?x∈R，x2＋4x－5≤0
解析 命题可等价转化为：?x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：?x∈R，x2＋4x－5≤0.
7．?x∈R,2x>0
解析 存在性命题的否定是全称命题，方法是“改变条件，否定结论”．
8．?x0∈R，x－x0＋3≤0
9．解 (1)“有些质数是奇数”是存在性命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“?x0∈Q，x＝5”是存在性命题，其否定为“?x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
10．解 方法一 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m (m>0)．
∴綈p：A＝{x|x>10或x<－2}，
綈q：B＝{x|x>m＋1或x<1－m}．
∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴AB，
∴，解得0方法二 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.
由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m (m>0)．
∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m} (m>0)．
∵綈p是綈q的充分不必要条件．
∴q是p的充分不必要条件，∴BA.
∴，∴0∴实数m的取值范围为(0,3]．
能力提升
11．存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析 全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任意”改为存在量词“存在”，并把结论否定．
12．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a| 