2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程
课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程．
椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______________ (a>b>0)，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．
注：(1)以上方程中a，b的大小为a>b>0，其中c2＝__________；
(2)在＋＝1和＋＝1两个方程中都有a>b>0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的大小即可．例如椭圆＋＝1 (m>0，n>0，m≠n)，当m>n时表示焦点在______轴上的椭圆；当m一、填空题
1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．
2．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．
3．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为
________________________________________________________________________．
4．设α∈，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围为
________．
5．方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．
7．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．
8．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2的大小为______．
二、解答题
9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点.
10.已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且PM＝PA，求动点P的轨迹方程．
能力提升
12.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
12.
如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F1F2时轨迹才是椭圆，如果2a＝F1F2，轨迹是线段F1F2，如果2a2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．
2.2 椭 圆
2．2.1 椭圆的标准方程
知识梳理
＋＝1 F1(－c，0)，F2(c,0) 2c ＋＝1
(1)a2－b2 (2)x y
作业设计
1．线段
解析 ∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．
2．16
解析 由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a＝8，
BF1＋BF2＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.
3．椭圆或线段或无轨迹
解析 当2a>F1F2时，点M的轨迹是椭圆，当2a＝F1F2时，点M的轨迹是线段，
当2a4.
解析 因椭圆的焦点在x轴上，
所以sin α>cos α>0，
又因为α∈，所以<α<.
5.
解析 据题意，
解之得06．m－n
解析 设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则，则2c＝m－n.
7．x＋2y－4＝0
解析 设弦的两个端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则，
两式相减，得＋＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kMN＝，
∴kMN＝－，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y＝－(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.
8．2 120°
解析
∵PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF2＝6－PF1＝2.
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
9．解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
由椭圆的定义知，2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．解 ∵PM＝PA，PM＋PO1＝4，
∴PO1＋PA＝4，又∵O1A＝2<4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c＝，a＝2，b＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
11．6
解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值为6.
12.
解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则BD＋CE＝30.
由重心性质可知GB＋GC
＝(BD＋CE)＝20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．
∴2c＝BC＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1 (x≠±10)．
去掉(10,0)、(－10,0)两点．
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1.
即＋＝1 (x≠±30)．
2.2.2 椭圆的几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
1．若椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
(1)方程中x、y的取值范围分别为______________．
(2)椭圆关于________、________和________都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做________________．
(3)椭圆的四个顶点坐标为________________________________________．长轴长为________，短轴长为________．
2．椭圆的焦距与长轴长的比e＝________，叫做椭圆的离心率，离心率e的范围
________．当e越接近1，椭圆________，当e越接近于______，椭圆就越接近于圆．
一、填空题
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
2．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则PF1·PF2的最大值与最小值之差一定是________．
3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围为________．
4．设05．如图所示，A、B、C分别
为椭圆＋＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为________．
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．
7．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为______．
8．椭圆上＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．
二、解答题
9.
如图，已知P是椭圆＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－ (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
10.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升
11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
12．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
2．2.2 椭圆的几何性质
知识梳理
1．(1)[－a，a]、[－b，b] (2)x轴 y轴 原点 椭圆的中心 (3)A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0，－b)、B2(0，b) 2a 2b
2. 0作业设计
1.
解析 由题意可得2＝2×2，解得m＝.
2．c2
解析 由椭圆的几何性质得PF1∈[a－c，a＋c]，
PF1＋PF2＝2a，
所以PF1·PF2≤2＝a2，当且仅当PF1＝PF2时取等号．
PF1·PF2＝PF1(2a－PF1)＝－PF＋2aPF1＝－(PF1－a)2＋a2≥－c2＋a2＝b2，
所以PF1·PF2最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.
3.
解析 ∵·＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.
又∵04．焦距
解析 由05.
解析 由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，得b2＝ac，
又∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
6.＋＝1
解析 设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得＋＝1，
又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，
故椭圆的方程为＋＝1.
7.
解析 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
8．(±3,0)
解析 设椭圆上的动点为P，由椭圆定义可知
PF1＋PF2＝2a＝10，
所以PF1×PF2≤2
＝2＝25，
当且仅当PF1＝PF2时取等号；
由
解得PF1＝PF2＝5＝a，此时点P恰好是椭圆短轴的两个端点，即P(±3,0)．
9．解 依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.
∵010．解 (1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.
解得－≤m≤.
故m的取值范围为.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2，
∴d＝＝
＝
＝
＝.
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
11.
解析 由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.
∴e＝或e＝－1(舍去)．
12．解 (1)∵a＝2，c＝，∴b＝＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得 ∴
又∵＋y＝1，∴＋2＝1，
即为中点M的轨迹方程．
