2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
课时目标 了解双曲线的定义、几何图象和标准方程；会识别双曲线标准方程并求简单的双曲线方程．
1．焦点在x轴上的双曲线的标准方程是__________________，焦点F1__________，
F2__________.
2．焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F1____________，
F2__________.
3．双曲线中a、b、c的关系是________________．
4．已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为Ax2＋By2＝1(A≠0，B≠0，A·B______0)
5．双曲线的标准方程中，若x2项的系数为正，则焦点在____轴上，若y2项的系数为正，则焦点在____轴上．
一、填空题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：|MF1－MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的____________条件．
2．方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________________．
3．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为_ _____________．
4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k的值为________．
5．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是______________．
6．双曲线－＝1的焦距为________．
7.设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则PF1·PF2＝______.
8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
二、解答题
9．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
10.在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A，求动点A的轨迹方程．
能力提升
11.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )
12．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．
1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．
2.3 双曲线
2．3.1 双曲线的标准方程
知识梳理
1.－＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)
2.－＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c)
3．c2＝a2＋b2
4．<
5．x y
作业设计
1．必要不充分
解析 根据双曲线的定义，乙?甲，但甲D?/乙，
只有当2a
2．k>1或k<－1
解析 由题意得(1＋k)(1－k)<0
即(k＋1)(k－1)>0，∴k>1或k<－1.
3．双曲线的一支
解析 由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4，0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则OO1＝r＋1，OO2＝r＋2，∴OO2－OO1＝14．－1
解析 原方程可化为－＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c＝3，且焦点在y轴上，由于c2＝(－)＋(－)＝－＝9，所以k＝－1.
5．x2－＝1
解析 设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.
6．4
解析 ∵双曲线方程为－＝1，∴a2＝10，b2＝2.
∴c＝＝2.∴2c＝4.
7．2
解析 ∵|PF1－PF2|＝4，
又PF1⊥PF2，F1F2＝2，
∴PF＋PF＝20，∴(PF1－PF2)2
＝20－2PF1·PF2＝16，∴PF1·PF2＝2.
8.
解析 因为方程－＝1表示双曲线，
所以(1＋2k)(3－k)>0.所以(2k＋1)(k－3)<0.
所以－9．解 方法一 设双曲线的标准方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得
A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．解 设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R，
代入sin B－sin C＝sin A，
得－＝·，又BC＝8，
所以AC－AB＝4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，
所以a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为－＝1 (x>2)．
11．[3＋2，＋∞)
解析 由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P(x，y)(x≥)，
·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝x2＋2x－1(x≥)．
令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g()＝3＋2.
∴·的取值范围为[3＋2，＋∞)．
12．解 设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，且＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
2.3.2 双曲线的几何性质
课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．
双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长
实轴长＝______，虚轴长＝______
离心率
渐近线
一、填空题
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为______．
2．下列曲线中离心率为的是________．(填序号)
①－＝1； ②－＝1；
③－＝1； ④－＝1.
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为________．
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为______．
5．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
6．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.
7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程为________________．
8．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为_____________．
二、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
10.过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于点A、B.
(1)求证：点P在直线x＝上；
(2)求双曲线的离心率e的取值范围；
能力提升
11．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
12．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．
2．3.2 双曲线的几何性质
知识梳理
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
作业设计
1．2
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，
∴点F到y－x＝0的距离为＝2.
2．②
解析 ∵e＝，∴e2＝，即＝.
∴＝.∴＝.
3．2y2－4x2＝1
解析 由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.
4.
解析 设双曲线方程为－＝1，其中一条渐近线方程为y＝x，∴＝＝，即4a2＝c2－a2，∴5a2＝c2，∴e2＝5，e＝.
5.
解析 |PF1－PF2|＝2a，即3PF2＝2a，
所以PF2＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则≤.
6.
解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.
7.－＝1(x>3)
解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而AB－AC＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
8.－＝1
解析 ∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，
∴λ＝－＝.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
9．解 (1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，
由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
因为PF1⊥PF2，且OP＝6，
所以2c＝F1F2＝2OP＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝OP·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
10．(1)证明 设双曲线的右焦点为F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为y＝x.
则l的方程为y＝－(x－c)，从而点P坐标为.因此点P在直线x＝上．
(2)解 由
消去y得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0.
∵A、B两点分别在双曲线左、右两支上，设A、B两点横坐标分别为xA、xB.
由b4－a4≠0且xAxB<0.
即<0，得b2>a2.
即>1，∴e＝ >.
故e的取值范围为(，＋∞)．
11.
解析 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－，
∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
12．解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－又∵a>0，∴0∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∵0且e≠.
∴双曲线C的离心率e的取值范围是
∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，
且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，
即a2＝.
又∵a>0，∴a＝.
