2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．
1．抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向
________．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向
________．
(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向
________．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向
________．
一、填空题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是_______________________．
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在曲线－＝1上，则抛物线方程为________．
3．与抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是________．
4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有________条．
5．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，BF＝2，则△BCF与△ACF的面积之比为________．
6．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为____________．
8．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐 标的取值范围是____________________．
二、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
10.求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．
能力提升
11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
12．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．
2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
2.4 抛物线
2．4.1 抛物线的标准方程
知识梳理
1．相等 焦点 准线
2．(1)标准 (2)(，0) x＝－ 向右
(3)(－，0) x＝ 向左
(4)(0，) y＝－ 向上
(5)(0，－) y＝ 向下
作业设计
1.
解析 因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.
2．y2＝±8x
解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3．(0，)
解析 y2＝x关于直线x－y＝0对称的
抛物线为x2＝y，∴2p＝，p＝，
∴焦点为.
4．2
解析 容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在M点上与抛物线相切．
5.
解析 如图所示，
设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，
得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，则x1＋x2＝.
因为BF＝2，所以BB′＝2.
不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，
可得k2＝，所以x1＝2.
＝＝＝＝＝.
6．y＝3
解析 抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
7．x＝－1
解析 ∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
8．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，
又A(-1,0),PAPQ, ∴·＝0，
即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，
也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.∵x1≠x2，且x1≠－1，
∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，
由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
9．解 设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，
则焦点F，由题意，
得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
10．解 设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)．①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则AB＝ ＝.
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
11．2
解析 方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
方法二 作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
所以－＝－1，p＝2.
12．解 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式
，∴PM＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，
∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，
∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x.
当x<0时，PM＝3－x，
动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，
当x＝0时，不符合题意，舍去．
∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x<0)．
2.4.2 抛物线的几何性质
课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为______．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为______．
2．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程__________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有______个公共点．
3．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线相切．
(2)AB＝2(x0＋)(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)AB＝x1＋x2＋p.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2.
一、填空题
1．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为______．
2.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，若·＝－4，则点A的坐标为______________．
3．已知点Q(4,0)，P为y2＝x＋1上任意一点，则PQ的最小值为________．
4．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B 两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为____________．
5．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点．设FA>FB，则＝______.
6．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积为________．
7．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则此直线的斜率是_________________________________．
8．若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上一动点，则PA＋PF取最小值时，点P的坐标是________．
二、解答题
9．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
10．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．
能力提升
11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________.
12.
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若AF＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．
2．4.2 抛物线的几何性质
知识梳理
1．(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴
(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p
2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 两 一 没有 平行或重合 一
作业设计
1.
解析 由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝.
2．(1,2)或(1，－2)
解析 设A(x0，y0)，F（1,0），＝(x0，y0)，
＝(1－x0，－y0)， ＝x0(1－x0)－y
＝－4.
∵y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0
即x＋3x0－4＝0，x0＝1或x0＝－4(舍)．
∴x0＝1，y0＝±2.
3.
解析 设点P(x，y)．∵y2＝x＋1，∴x≥－1.
∴PQ＝＝
＝＝ .
∴当x＝时，PQmin＝.
4．y2＝4x
解析 设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.
∴抛物线方程为y2＝4x.
5．3
解析
如图所示，抛物线的准线设为l，AA1⊥l，BB1⊥l垂足分别为A1和B1，由抛物线定义得FA＝AA1，FB＝BB1.
又AB的斜率为，
∴∠AFx＝60°，
在梯形AA1B1B中，∠BAA1＝60°，
AB＝2(AA1－BB1)，
即FA＋FB＝2(FA－FB)，得FA＝3FB.
6．2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．
∴AB＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
7．2
解析 由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
因直线与抛物线有两交点，所以有Δ>0，
即16(k＋2)2－16k2>0，化简得k>－1，
设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝4，所以＝4，
即k2－k－2＝0，所以k＝2，或k＝－1(舍去)．
8．(2,2)
解析
如图所示，点A在抛物线内部．由抛物线定义知：PF等于P到准线x＝－的距离．根据几何关系易知，PA＋PF的最小值是由A点向抛物线的准线x＝－作垂线(B为垂足)时垂线段AB的长度．从而求得AB与抛物线的交点为(2,2)．
9．解 由y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
10．解 方法一 设以Q为中点的弦AB端点坐标为
A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y＝8x1，①
y＝8x2，②
∵Q(4,1)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④
将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二 设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.
由消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，
得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.
11.
8
解析 如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴PF＝x0＋2＝8.
12．解 由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，AF＝x1＋，
从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
AB＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时AB＝4，
所以，AB≥4，即线段AB的长的最小值为4.
