第3章 导数及其应用
3.1 导数的概念
3.1.1 平均变化率
课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．
1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．
2．函数y＝f(x)的平均变化率＝的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．
一、填空题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)
①在[x0，x1]上的平均变化率；
②在x0处的变化率；
③在x1处的变化率；
④以上都不对．
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝________.
4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．
5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．
8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．
二、解答题
9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
能力提升
11.
甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？
12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝.
2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率＝.
第3章 导数及其应用
3.1 导数的概念
3．1.1 平均变化率
知识梳理
1. x2－x1 Δx＝x2－x1 增量 x1＋Δx f(x2)－f(x1)
2．斜率
作业设计
1．①
2．f(x0＋Δx)－f(x0)
3．4＋2Δx
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx.
4.
解析 由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以＝＝.
5．－1
解析 ＝＝＝－1.
6．0.41
7．1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
8．4.1
解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由求得，即＝＝＝4.1.
9．解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：
＝＝－6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
＝＝4.
10．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
∴割线PQ的斜率
＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为k，
则k＝＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
∴当Δx＝0.1时割线的斜率为3.31.
11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
12．解 函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为
＝＝a＋2.
函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为
＝＝2.
∵a＋2＝2×2，∴a＝2.
3.1.2 瞬时变化率——导数(一)
课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．
1．瞬时速度的概念
作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．
用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们这个常数称为______________．
2．导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝____________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处________，并称该常数A为______________________________，记作f′(x0)．
3．函数的导数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．
4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝________.
5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝________.
一、填空题
1．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
2．设f(x)在x＝x0处可导，则当Δx无限趋近于0时的值为________．
3．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是________．
4．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是________．
5．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
6．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
7．曲线f(x)＝在点(4,2)处的瞬时变化率是________．
8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
二、解答题
9．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
能力提升
11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．
12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
1．利用定义求函数在一点处导数的步骤：
(1)计算函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)计算函数的增量与自变量增量Δx的比.
(3)计算上述增量的比值当Δx无限趋近于0时，＝无限趋近于A.
2．导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度．
3．1.2 瞬时变化率——导数(一)
知识梳理
1．瞬时速度 瞬时速度
2. 可导 函数f(x)在点x＝x0处的导数
4．S′(t) 5.v′(t)
作业设计
1．3
解析 ＝＝＝3－Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3.
2．－f′(x0)
解析 ∵
＝
＝－，
∴当Δx无限趋近于0时，原式无限趋近于－f′(x0)．
3．at0
解析 ＝＝aΔt＋at0，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
4．－3
解析 ∵＝＝－Δx－3，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－3.
5．0
解析 ＝
＝
＝＝，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于0.
6．1
解析 ∵
＝
＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3a，
即3a＝3，∴a＝1.
7.
解析 ＝＝
＝，
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于.
8．4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
9．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－
＝＝
∴＝，
∴当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于－，∴f′(1)＝－.
10．解 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at
＝at0Δt＋a(Δt)2，
所以＝at0＋aΔt.
所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s，
所以at0＝8×102＝800 (m/s)．
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
11．解 ∵Δy＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－(4a＋2b＋c)
＝4aΔx＋a(Δx)2＋bΔx，
∴＝＝4a＋b＋aΔx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4a＋b.
所以函数在x＝2处的导数为4a＋b.
12．解 ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于v0－gt0.
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
3.1.2 瞬时变化率——导数(二)
课时目标 1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程．
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是：________________________________.
2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
一、填空题
1．曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程是________．
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率为________．
3．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是____________．
4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为______________．
5．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．
6．设函数y＝f(x)在点x0处可导，且f′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________．
7．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为______________．
8．已知直线x－y－1＝0与曲线y＝ax2相切，则a＝________.
二、解答题
9．已知曲线y＝在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为，求直线l的方程．
10．求过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
能力提升
11．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
3．1.2 瞬时变化率——导数(二)
知识梳理
1．曲线y＝f(x)上过点x0的切线的斜率
作业设计
1．x＋y－2＝0
解析 ＝＝＝，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－1，
∴k＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
2．6
解析 ∵y＝2x3，
∴＝
＝
＝2(Δx)2＋6xΔx＋6x2.
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于6x2，
∴点A(1,2)处切线的斜率为6.
3．x－y－2＝0
解析 ＝
＝4－(Δx)2－3x2－3x(Δx)，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4－3x2，
∴f′(－1)＝1.
所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k＝1，
所以切线方程是y＝x－2.
4．4x－y－3＝0
解析 与直线x＋4y－8＝0垂直的直线l为4x－y＋m＝0，即y＝x4在某一点的导数为4，而y′＝4x3，所以y＝x4在(1,1)处导数为4，此点的切线方程为4x－y－3＝0.
5．x＋y－2＝0
解析 ＝2－(Δx)2－3x2－3x(Δx)，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2－3x2，
∴y′＝2－3x2，∴k＝2－3＝－1.
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
6.
解析 k＝f′(x0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈.
7．(1,0)或(－1，－4)
解析 设P(x0，y0)，由f(x)＝x3＋x－2，
＝(Δx)2＋3x2＋3x(Δx)＋1，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2＋1.
∴f′(x)＝3x2＋1，令f′(x0)＝4，
即3x＋1＝4，得x0＝1或x0＝－1，
∴P(1,0)或(－1，－4)．
8.
解析 ＝＝2ax＋aΔx，
当Δx无限趋近于0时，2ax＋aΔx无限趋近于2ax，
∴f′(x)＝2ax.
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2ax0,2ax0＝1，
且y0＝x0－1＝ax，解得x0＝2，a＝.
9．解 ＝＝
＝＝－，
当Δx无限趋近于0时，－无限趋近于－，
即f′(x)＝－.
k＝f′(1)＝－4，切线方程是y－4＝－4(x－1)，
即为4x＋y－8＝0，
设l：4x＋y＋c＝0，则＝，
∴|c＋8|＝17，
∴c＝9，或c＝－25，
∴直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
10．解 (2,0)不在曲线y＝上，
令切点为(x0，y0)，则有y0＝.①
又＝＝－，
当Δx无限趋近于0时，－无限趋近于－.
∴k＝f′(x0)＝－.
∴切线方程为y＝－(x－2)．
而＝－.②
由①②可得x0＝1，
故切线方程为x＋y－2＝0.
11．解 ＝
＝＝4＋2Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4，
∴f′(1)＝4.
∴所求直线的斜率为k＝－.
∴y－2＝－(x－1)，即x＋4y－9＝0.
12．解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.
∴f′(x0)＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
