3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 单调性
课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．导函数的符号与函数的单调性的关系：
如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则函数y＝f(x)这个区间上是增函数；
如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则函数f(x)这个区间上是__________．
2．函数的单调性决定了函数图象的大致形状．
一、填空题
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的____________条件．
2．函数f(x)＝2x－ln x的单调增区间为________．
3．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是________．(填序号)
4．函数f(x)＝ln x－ax (a>0)的单调增区间为__________．
5．函数y＝ax－ln x在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为__________．
6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．
7．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．
8．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．
二、解答题
9．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．
10．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．
(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
能力提升
11．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．
12．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．
2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．
3.3 导数在研究函数中的应用
3．3.1 单调性
知识梳理
1．f′(x)>0 减函数
作业设计
1．充分不必要
解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1
2．(，＋∞)
解析 f′(x)＝2－＝，
∵x>0，f′(x)＝>0，∴x>.
3．①
解析 ∵f(x)＝xcos x，∴f′(x)＝cos x－xsin x.
∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，
∴函数图象关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除③、④.
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，
从而观察图象即可得到答案为①.
4.
解析 函数的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－a，
由f′(x)>0，得>0，∴<0，
∴x<，故f(x)的单调增区间为.
5．[2，＋∞)
解析 ∵y′＝a－，∴在(，＋∞)上y′≥0，
即a－≥0，∴a≥.
由x>得<2，要使a≥恒成立，只需a≥2.
6．(－1,11)
解析 ∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11)．
由f′(x)<0，得－1∴f(x)的单调减区间为(－1,11)．
7．(－∞，－3]
解析 f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立
?，即，∴a≤－3.
8．[1，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝cos x＋a≥0，∴a≥－cos x，
又－1≤cos x≤1，∴a≥1.
9．解 由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝4x－＝，
由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0∴函数f(x)＝2x2－ln x的单调增区间为，单调减区间为.
10．解 (1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题设知－1∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，
∴－1＋2＝－b，(－1)×2＝，
即b＝－，c＝－6.
(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.
∴a的取值范围为(－∞，0)．
11．解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－1解得x＝，
则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－112．解 (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.
(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．
因为－1当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
3.3.2 极大值与极小值
课时目标 1.了解极大(小)值的概念.2.结合图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．
1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________．
我们把f(a)叫做函数的__________；f(b)叫做函数的__________．极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在______________的大小情况，刻画的是函数的________性质．
2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．
3．一般地，求函数f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；
(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．
一、填空题
1．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处f(x)存在极小值，则成立的结论为________．(填序号)
①当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；
②当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
③当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
④当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
2．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝______.
3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围为________．
4．函数f(x)＝x＋在x>0时有________．(填序号)
①极小值；
②极大值；
③既有极大值又有极小值；
④极值不存在．
5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．
6．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.
7．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
二、解答题
9．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.
10.设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
能力提升
11．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.
1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．
3．3.2 极大值与极小值
知识梳理
1．f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0
极小值 极大值 极值 某一点附近 局部
2．导数为零 不一定
3．(1)f′(x0)>0 f′(x0)<0 极大值 (2)f′(x0)<0 f′(x0)>0 极小值 (3)不是极值
作业设计
1．③
解析 ∵f(x)在x＝1处存在极小值，
∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，
故③成立．
2．－3 －9
解析 由题意y′＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为－1和3，∴由根与系数的关系得，
－1＋3＝－，－1×3＝，∴a＝－3，b＝－9.
3．(0,1)
解析 f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，即，解得04．①
解析 ∵f′(x)＝1－，
由得x>1，即在(1，＋∞)内f′(x)>0，
由得0∴f(x)在(0，＋∞)有极小值．
5．(－∞，－3)，(6，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a2－12(a＋6)>0时，图象与x轴的左交点两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f′(x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．
∴4a2－12(a＋6)>0得a>6或a<－3.
6．3
解析 f′(x)＝＝.
∵f′(1)＝0，∴＝0，∴a＝3.
7．1 －3
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
8.
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．
由题意得：，解得a>.
9．解 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.
10．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6.
因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；
当1当x>2时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，
故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a<2或a>.
11．(1)解 当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，
故f′(2)＝1，又f(2)＝0，
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.
(2)证明 因为f′(x)＝3(x－a)(x－)，
由于a所以f(x)的两个极值点为x＝a，x＝.
不妨设x1＝a，x2＝，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，
故x3＝b.又因为－a＝2(b－)，
x4＝(a＋)＝，
此时a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4＝.
3.3.3 最大值与最小值
课时目标 1.理解函数最值的概念.2.了解函数最值与极值的区别和联系.3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在______________的最大值．
2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断．函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的．
3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)上的________；
(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
一、填空题
1．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；
②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；
③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；
④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有________个．
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为______．
3．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c＝________.
4．若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则在区间[a，b]上有f(x)与g(x)的大小关系为____________．
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a＝________.
6．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．
7．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．
二、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
10．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
11．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
12．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．
1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．
2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．
3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值最小值问题．
3．3.3 最大值与最小值
知识梳理
1．f(x)≤f(x0) 定义域上
3．(1)极值
作业设计
1．0
解析 因为函数的最值可以在区间[a，b]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a，b)内的单调函数，它在(a，b)内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真．
2.
解析 ∵f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2，
令f′(x)＝0，得x＝±，∵f(0)＝0，f(1)＝0，
f＝，f＝－.
∴f(x)max＝.
3．4
解析 ∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.
4．f(x)≥g(x)
解析 ∵f′(x)>g′(x)，∴f(x)－g(x)单调递增．
∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)，
即f(x)－g(x)≥0.
5．－
解析 y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－16．－1
解析 f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得01，∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.
7.
解析 ∵x∈，∴f′(x)＝excos x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.
8．20
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，
得x＝1，(x＝－1舍去)．
∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.
∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.
9．解 (1)f′(x)＝＋cos x.
令f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π，
∴x＝或x＝.
∴f＝＋，f＝－，
又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.
10．解 由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，
知m>f(x)max，
f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝1.
因为f(－)＝，
f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.
所以f(x)的最大值为5，
故m的取值范围为(5，＋∞)．
11．解 (1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，
由x(x＋2)<0，得－2∴(－2,0)为f(x)的减区间．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；
单调减区间为(－2,0)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0,2e2]，
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
12．解 ∵f(x)＝ax3－6ax2＋b，
∴f′(x)＝3ax2－12ax.
令f′(x)＝0，解得x＝0或4.
∵4D∈/[－1,2]，故舍去，
∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，
f(2)＝－16a＋b.
当a>0时，最大值为b＝3，
最小值为－16a＋b＝－29，
解得
当a<0时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29，
解得，
综上所述：或.
