2.5 圆锥曲线的共同性质 学案（含答案）

2.5　圆锥曲线的共同性质
课时目标　1.掌握圆锥曲线的共同性质，并能进行简单应用.2.会写出圆锥曲线的准线方程．
1．圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是____________．__________时，它表示椭圆；________时，它表示双曲线；________时，它表示抛物线．
2．对于椭圆＋＝1 (a>b>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：__________，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：________；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为：________.
一、填空题
1．中心在原点，准线方程为y＝±4，离心率为的椭圆的标准方程是________________．
2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1＝3PF2，则P
点到左准线的距离是________．
3．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程
是__________．
4．若双曲线－＝1的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是
________．
5．双曲线的焦点是(±，0)，渐近线方程是y＝±x，则它的两条准线间的距离是____．
6．椭圆＋＝1上点P到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．
7．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝，则a＝______，该双曲线的离心
率为______．
8．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．
二、解答题
9．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．
10．已知椭圆中心在原点，长轴在x轴上，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，两条准线间的距离为8.
(1)求椭圆方程；
(2)若直线y＝kx＋2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB(O为坐标原点)?
能力提升
11.如图，已知点F（1,0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且  = 
求动点P的轨迹C的方程.???????????
12．设椭圆＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，点F2到右准线l的距离为.
(1)求a、b的值；
（2）设M、N是l上的两个动点，·＝0，
证明：当||取最小值时，＋＋＝0.
1．圆锥曲线的共同性质揭示了三类曲线的联系，使焦点、离心率、准线构成一个和谐的整体．
2．对直线和圆锥曲线的交点问题，可利用联立方程，设而不求，充分利用韦达定理来解决．
2.5　圆锥曲线的共同性质
知识梳理
1．一个常数e　01　e＝1
2．x＝　x＝－　y＝±
作业设计
1.＋＝1
解析　由题意＝4，＝，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，c＝1，b＝.
2．6
解析　a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴准线x＝＝＝4，
两准线间距离为8，设P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2.∵PF1∶PF2＝3∶1.
又∵＝e，＝e，∴d1∶d2＝3∶1.
又d1＋d2＝8，∴d1＝8×＝6.
3.＋＝1或＋＝1
解析　由＝，＝，a2＝b2＋c2
得a＝5，c＝4，b＝3.
4.
解析　由题意知＝，即＝，左边分子、分母同除以a2，得＝，解得e＝.
5.
解析　由c＝，＝，c2＝a2＋b2，
易求a＝2，
∴d＝2×＝2×＝.
6．9,1
解析　由＝e推得PF＝a－ex0，
又－a≤x0≤a，故PF最大值为a＋c，最小值为a－c.
7.　
解析　由已知得＝，
化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.
又∵a>0，∴a＝，
离心率e＝＝＝.
8.
解析　由双曲线和抛物线的对称性可知，双曲线的两条渐近线都与抛物线相切．再由双曲线方程可知其渐近线方程为y＝±x，将一条渐近线方程与抛物线方程联立得x2－x＋1＝0，令Δ＝0得，＝4，所以双曲线的离心率e＝＝.
9．解　设M(x0，y0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离MN，即MF2＝MN，
由双曲线定义可知＝e，∴＝e.
由焦点半径公式得＝e.
∴x0＝.而x0≥a，∴≥a.
即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤＋1.
但e>1，∴110．解　(1)设椭圆方程为：＋＝1 (a>b>0)
由题意得：，解得.
又a2＝b2＋c2，
∴c＝1，b2＝3，a2＝4.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程：
化简得：(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
∴(1＋k2)＋2k·＋4＝0.
解得：k2＝，∴k＝±.
经检验满足Δ>0.
∴当k＝±时，OA⊥OB.
11．解　设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·得
(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
化简得C：y2＝4x.
12．(1)解　因为e＝，F2到l的距离d＝－c，
所以由题设得
解得c＝，a＝2.
由b2＝a2－c2＝2，得b＝.
(2)证明　由c＝，a＝2得F1(－，0)、F2(，0)，l的方程为x＝2，
故可设M(2，y1)、N(2，y2)．
·＝0知
(2＋，y1)(2－，y2)＝0，
得y1y2＝－6，所以y1y2≠0，y2＝－.
||＝|y1－y2|＝
＝|y1|＋≥2，
当且仅当y1＝±时，上式取等号，此时y2＝－y1，
所以，＋＋
＝(－2，0)＋(，y1)＋(，y2)
＝(0，y1＋y2)＝0.