3.4 导数在实际生活中的应用 学案（含答案）

3.4　导数在实际生活中的应用
课时目标　通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的最值问题．
1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．
2．解决优化问题的基本思路是：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程．
一、填空题
1．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6 点到9点，车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________．
2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________ cm.
4．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．
5.
如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．
6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式为R＝则总利润最大时，每年生产的产品件数是________．
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
二、解答题
9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
10.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
能力提升
11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
12．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大．
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．
3.4　导数在实际生活中的应用
作业设计
1．8
解析　由题意知，所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值，
y′＝－t2－t＋36，令y′＝0，
得3t2＋12t－36×8＝0，
∴t1＝8，t2＝－12(舍)．
当t∈(6,8)时．y′>0，t∈(8,9)时，y′<0，
所以t＝8时，y有最大值．
2.
解析　设底面边长为a，直三棱柱高为h.
体积V＝a2h，所以h＝，
表面积S＝2·a2＋3a·＝a2＋，
S′＝a－，由S′＝0，得a＝.
当a＝时，表面积最小．
3.
解析　设高为x cm，则底面半径为 cm，
体积V＝x·(202－x2) (0V′＝(400－3x2)，由V′＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈时，V′>0，当x∈时，V′<0，所以当x＝时，V取最大值．
4．25
解析　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200 (x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
5．1∶1
解析　设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，所以窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，
x∈时，L′>0，
所以当x＝ 时，L取最小值，
此时＝＝－＝－＝1.
6．300
解析　设总成本为C，则C＝20 000＋100x，
所以总利润
P＝R－C＝
P′＝
令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．
7．5
解析　依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，
令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
8．3
解析　设半径为r，则高h＝＝.
∴水桶的全面积S(r)＝πr2＋2πr·＝πr2＋.
S′(r)＝2πr－，令S′(r)＝0，得r＝3.
∴当r＝3时，S(r)最小．
9．解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1 (0所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256 (0(2)由 (1)知，f′(x)＝－＋m
＝(－512)．
令f′(x)＝0，得＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
10．解　(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
11．解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－，令f′(x)＝0得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；当0因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
12．解　收入R＝q·p＝q＝25q－q2.
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100 (0L′＝－q＋21，
令L′＝0，即－q＋21＝0，解得q＝84.
因为当00；
当84所以当q＝84时，L取得最大值．
所以产量q为84时，利润L最大．