2.1.2 演绎推理
课时目标 1.通过生活中的实例和已学过的数学中的实例，体会演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．
1．演绎推理
由__________的命题推演出____________命题的推理方法，通常称为演绎推理．
演绎推理是根据______________和______________(包括________、________、________等)，按照严格的______________得到新结论的推理过程．________________是演绎推理的主要形式．
2．三段论
(1)三段论的组成
①大前提——提供了一个________________．
②小前提——指出了一个______________．
③结论——揭示了____________与______________的内在联系．
(2)三段论的常用格式为
M－P(________)
S－M(________)
S－P(________)
3．演绎推理的特点
(1)演绎的前提是________________，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的________、______________，结论完全蕴涵于________之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在________的联系．
(3)演绎推理是一种__________的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的__________和__________．
一、填空题
1．下面几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°；
②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，
(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；
③由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；
④在数列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式．
2．“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提________________________________________________________________________．
3．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是________．
4．有一段演绎推理是这样的，“整数都是有理数，0.5是有理数，则0.5是整数”．
这个演绎推理的结论显然是错误的，是因为_____________________________________．
5．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2 (x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；
④f<.
当f(x)＝lg x时，上述结论中正确结论的序号是__________________________________．
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．
7．已知f(x)＝x，求证：f(x)是偶函数．
证明：f(x)＝x·，其定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝(－x)＝(－x)
＝x·＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
此题省略了__________．
8．补充下列推理的三段论：
(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.
(2)因为________，又因为e＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e是无理数．
二、解答题
9．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.
能力提升
11．在数列{an}中，已知a1＝1，Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________________，由此猜想Sn＝__________.
12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
1．用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
2．应用三段论解决问题时，首先要明确什么是大前提和小前提．如果大前提是显然的，则可以省略．有时，对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．
2．1.2 演绎推理
答案
知识梳理
1．一般性 特殊性 已有的事实 正确的结论
定义 公理 定理 逻辑法则 三段式推理
2．(1)①一般性的原理 ②特殊对象 ③一般原理 特殊对象 (2)大前提 小前提 结论
3．(1)一般性原理 个别 特殊事实 前提
(2)必然 (3)收敛性 理论化 系统化
作业设计
1．①
解析 ①为演绎推理，②④为归纳推理，③为类比推理．
2．矩形都是对角线相等的四边形
3．②
解析 ①是大前提，②是小前提，③是结论．
4．推理形式错误
5．②③
6．②
解析 ①是大前提，②是小前提，③是结论．
7．大前提
解析 此处省略了“偶函数的定义”这一大前提．
8．(1)a＝－8
(2)无限不循环小数是无理数
9．解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y＝tan α是三角函数，小前提
y＝tan α是周期函数．结论
10．证明 三角形的中位线平行于底边大前提
点E、F分别是AB、AD的中点小前提
所以EF∥BD结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD小前提
EF∥平面BCD.结论
11.，，
12．证明 设x10，
f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)
＝(x－x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)
＝(x2－x1).
因为2＋x＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
于是根据“三段论”，得函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
2.1.3 推理案例赏析
课时目标 1.了解和认识合情推理和演绎推理的含义.2.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.3.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理．
1．数学命题推理的分类
数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和____________是常用的合情推理．从推理形式上看，____________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，__________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
2．合情推理的作用
合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有______________、______________、______________的作用．
合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．
3．演绎推理的作用
演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了________，而且可以________________________和________，从而为调控探索活动提供依据．
一、填空题
1．下面几种推理是合情推理的是________．
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)×180°.
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33＝_____________________________.
3．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 011(x)＝________.
4．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是______________．
5．如图所示，图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝______________.
6．f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N＋)．计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有__________．
7．已知两个圆：x2＋y2＝1， ①
与x2＋(y－3)2＝1. ②
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．
二、解答题
9．已知＋＋＋…＋，写出n＝1，2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？
10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
能力提升
11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．
1．归纳推理和类比推理都具有猜测的性质，要注意观察所给资料的规律性或两类事物具有的属性，得到可靠的结论．
2．三段论是演绎推理的常用形式，在实际应用时往往省略大前提．
2．1.3 推理案例赏析
答案
知识梳理
1．归纳 类比 归纳 类比 合情推理 演绎推理
2．提出猜想 发现结论 提供思路
3．前提 对猜想作出“判决” 证明
作业设计
1．①②④
2．3
解析 a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.
3．－cos x
解析 由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…
可以归纳出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，
f4n＋3(x)＝－cos x (n∈N＋)，
∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.
4．an＝2·3n
解析 当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6，
由Sn＝an－3，当n≥2时，Sn－1＝an－1－3，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝3an－1.
∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.
猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.
5．
6．f(2n)>
7．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ③
(x－c)2＋(y－d)2＝r2 ④
其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程
8．125
解析 第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋＝27－3＝125.
9．解 n＝1时，＝；
n＝2时，＋＝＋＝；
n＝3时，＋＋＝＋＝；
n＝4时，＋＋＋＝＋＝.
观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.
所以猜想＋＋＋…＋
＝.
证明如下：
由＝1－，＝－，…，
＝－.
∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝.
10．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D?A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
11．n2＋n
解析 由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n2＋n.
12．解 猜想正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，
则S＋S＋S＝S”．
事实上，本题还需要严格意义上的证明：
如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，故O为△BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2＝EO·ED，
S＝BC2·AE2
＝
＝S△OBC·S△BCD，
同理S＝S△BCD·S△OCD，S＝S△BCD·S△OBD，
故S＋S＋S＝S.
