2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 直接证明(一)
课时目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解这两种方法的思考过程、特点．
1．直接证明
(1)直接从________________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．
(2)直接证明的一般形式
?A?B?C?…?本题结论．
2．综合法
(1)定义
从____________出发，以已知的________、________、________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．
(2)综合法的推理过程
?…?…?.
3．分析法
(1)定义
从问题的________出发，追溯导致________成立的条件，逐步上溯，直到________________________________________为止，这种证明方法称为分析法．
(2)分析法的推理过程
?…?…?.
一、填空题
1．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为____________．
2．设a，b是两个正实数，且a
①a>>>b；②b>>>a；
③b>>>a；④b>a>>.
3．已知xy＝，04．如果x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是________．
5．要证明＋<＋ (a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是________．
6．设a＝＋2，b＝2＋，则a、b的大小关系为________．
7．已知a、b、u均为正实数，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是__________．
二、解答题
8．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
9．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.
能力提升
10．a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
11．已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．
2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
3．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充．
2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 直接证明(一)
答案
知识梳理
1．(1)原命题的条件 (2)已知定义 已知公理
已知定理
2．(1)已知条件 定义 公理 定理
3．(1)结论 结论 使结论成立的条件和已知条件吻合
作业设计
1．a>c>b
解析 ∵(＋)2＝9＋2，
(＋)2＝9＋2.
∴＋<＋，∴－<－，即b又2>，∴>－，即a>c.
∴a>c>b.
2．③
3．(0,1)
解析 logx>0，logy>0，
logx·logy≤＝log(xy)
＝×2＝1.∴04．2－2
解析 由x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，
则2－(x＋y)＝xy≤2，
∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，
∴x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2.
∵x>0，y>0，∴x＋y的最小值为2－2.
5．分析法
解析 要证＋<＋，
只要证a＋a＋7＋2
只要证<，
只要证a2＋7a只要证0<12.
由此可知，最合理的是分析法．
6．a解析 a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显<，故a7．(－∞，16]
解析 ∵a＋b＝(a＋b)
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝即3a＝b时取等号，
若a＋b≥u恒成立，则u≤16.
8．证明 ∵＋＝
＝，
又∵a>0，b>0，
∴a2－ab＋b2－ab＝(a－b)2≥0，
∴a2－ab＋b2≥ab，∴≥1，
∴(a＋b)·≥a＋b.
∴＋≥a＋b.
9．证明 ①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2.
即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，
综合①、②知，命题得证．
10．4
解析 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
若＋≥恒成立，
即＋≥n恒成立．
＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴当且仅当a－b＝b－c时取等号．
∴n的最大值为4.
11．证明 要证logx＋logx＋logx
只需要证明logx由已知0只需证明··>abc
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx2.2.1 直接证明(二)
课时目标 1.进一步理解综合法和分析法.2.利用综合法、分析法解决一些数学问题和简单的应用问题．
1．综合法证题由因导果，分析法是____________．
2．分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路，综合法条理清晰，重于表述．
一、填空题
1．已知a、b均为正数，且a＋b＝1－ab，则a＋b的取值范围是________．
2．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为____________．
3．已知函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
4．关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根，则a的取值范围为________．
5．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P1P2P3一定是____________三角形．
6．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy的最大值为______．
7．已知tan＝2，则的值为________．
8．已知函数f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1)．当2二、解答题
9．如果3sin β＝sin(2α＋β)．求证：tan(α＋β)＝2tan α.
10．已知△ABC的三条边分别为a，b，c.
用分析法证明：<.
能力提升
11．用综合法证明：＋＋<2.
12．已知a>0，b>0，用两种方法证明：＋≥＋.
1．在审题时，要尽可能的挖掘题目条件提供的信息，熟练地对文字语言、符号语言、图形语言进行转换．
2．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．
2．2.1 直接证明(二)
答案
知识梳理
1．执果索因
作业设计
1．[2－2,1)
解析 a＋b＝1－ab≥1－2，设a＋b＝t，
则有t2＋4t－4≥0，∴t≥2－2或t≤－2－2(舍)，又a＋b＝1－ab<1，∴a＋b∈[2－2,1)．
2．A解析 ＋>＋
＝.
3．(－∞，4]
解析 y＝x＋，当a≤0时，显然在[2，＋∞)上是增函数；
当a>0时，y＝x＋在[，＋∞)上是增函数，
∴≤2，得04．[－3,0)
5．等边
解析 ∵＋＋＝0，∴O是△P1P2P3的重心．又∵||＝||＝||，
∴O是△P1P2P3的外心，
∴△P1P2P3是等边三角形．
6．3
解析 ∵1＝＋≥2＝.
∴xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时等号成立．
7．
解析 由tan＝＝2，
可得tan x＝，∴tan 2x＝.
∴＝×＝.
8．2
解析 根据f(2)＝loga2＋2－bf(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－4＝0，
而函数f(x)在(0，＋∞)上连续，且单调递增，故函数f(x)的零点在区间(2,3)内，故n＝2.
9．证明 ∵3sin β＝sin(2α＋β)，
∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α.
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.
10．证明 依题意a>0，b>0，
所以1＋>0,1＋a＋b>0，
所以要证<，
只需证(1＋a＋b)<(1＋)(a＋b)，
只需证只需证a2＋b2＋ab>0，
因为a2＋b2＋ab＝2＋b2>0成立，
所以<成立．
11．证明 因为logab＝，
所以左边＝log195＋2log193＋3log192
＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
12．证明 方法一 (综合法)：
因为a>0，b>0，
所以＋－－
＝＋
＝＋＝(a－b)
＝≥0，
所以＋≥＋.
方法二 (分析法)：
要证＋≥＋，
只需证a＋b≥a＋b，
即证(a－b)(－)≥0，
因为a>0，b>0，a－b与－同号，
所以(a－b)(－)≥0成立，
所以＋≥＋成立．
2.2.2 间接证明
课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种______________________的方法通常称为间接证明．__________就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有__________、__________等．
2．反证法
(1)反证法证明过程
反证法的证明过程可以概括为“__________—推理—________”，即从__________开始，经过__________，导致______________，从而达到____________(即肯定原命题)的过程．
→→→
(2)反证法证明命题的步骤
①________——假设____________不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从________和____________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由____________，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
一、填空题
1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设__________________．
2．设x、y、z>0，则三数x＋，y＋，z＋的值______．
①都大于2 ②都不小于2
③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________________________．
4．“实数a、b、c不全为0”的含义是_________________________________________．
5．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________________．
6．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为____________．
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
二、解答题
9．已知三个正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：，，不可能成等差数列．
10．如图所示，已知△ABC为锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，H为垂足，求证：H不可能是△SBC的垂心．
能力提升
11．已知数列{an}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数．求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
12．已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．
3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
2．2.2 间接证明
答案
知识梳理
1．不是直接证明 反证法 同一法 枚举法
2．(1)否定 否定 否定结论 正确的推理 逻辑矛盾
新的否定 否定结论q (2)①反设 命题结论
②反设 已知条件 ③矛盾结果
作业设计
1．至少有两个钝角
2．③
解析 假设三个数都小于2，
则＋＋≤6
而＋＋
＝＋＋≥6矛盾，
故③正确．
3．a，b，c都不是偶数
4．a、b、c中至少有一个不为0
5．{a|a≤－2或a≥－1}
6．x＝a或x＝b
解析 否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
7．③①②
解析 考查反证法的一般步骤．
8．丙
解析 若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．
9．证明 假设，，成等差数列，
则＝＋＝.
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴＝?b2＝ac.
∴2＝ac?(a＋c)2＝4ac?(a－c)2＝0?a＝c.
又2b＝a＋c，∴a＝b＝c.
因此，d＝b－a＝0，这与d≠0矛盾．
所以，，不可能成等差数列．
10．证明 假设H是△SBC的垂心，
连接BH并延长BH与SC相交，则BH⊥SC.
又∵AH⊥平面SBC，
∴AH⊥SC，
∴SC⊥平面ABH，
∴SC⊥AB.
又∵SA⊥平面ABC，
∴AB⊥SA.
∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.
即∠BAC＝90°，这与三角形ABC为锐角三角形矛盾，所以H不可能是△SBC的垂心．
11．证明 假设存在一个实数λ，使数列{an}是等比数列，则有a＝a1a3，
即2＝λ，
即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，上式显然不成立，所以假设不成立，所以数列{an}不是等比数列．
12．证明 假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.
∴ax0＋＝0?ax0＝－.
∵a>1，∴0解上述不等式，得这与假设x0<0矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．
