3.2 复数的四则运算
课时目标 1.理解复数四则运算的定义.2.掌握复数四则运算法则，能够熟练地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念．
1．复数的加减法
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.则z1＋z2＝__________.z1－z2＝__________.
它们类似于多项式的合并同类项．
(2)复数的加法满足交换律与结合律，即
z1＋z2＝________.
(z1＋z2)＋z3＝____________.
(3)复数减法是加法的__________．
2．复数的乘除法
(1)z1·z2＝________________，
＝＝________________.
(2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律，即
z1z2＝__________.
(z1z2)z3＝__________.
z1(z2＋z3)＝__________.
3．共轭复数
若z＝a＋bi，则记z的共轭复数为，即＝________.
共轭复数的性质
①z∈R，z＋∈R；
②z＝?z∈R.
一、填空题
1．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2＝__________.
2．已知a是实数，是纯虚数，则a＝________.
3．复数i3(1＋i)2＝________.
4．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
5．设i是虚数单位，则＝________.
6．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是________．
7．已知复数z＝1＋i，则－z＝________.
8．若＝a＋bi (a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.
二、解答题
9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3)6＋.
10．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．
能力提升
11．已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．
1．复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项．
2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.
3．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．
4．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．
3.2 复数的四则运算
答案
知识梳理
1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i
(2)z2＋z1 z1＋(z2＋z3) (3)逆运算
2．(1)(ac－bd)＋(bc＋ad)i ＋i
(2)z2·z1 z1·(z2z3) z1z2＋z1z3
3．a－bi
作业设计
1．4＋2i
解析 z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.
2．1
解析 ＝＝
＝－i，
因为该复数为纯虚数，所以a＝1.
3．2
解析 i3(1＋i)2＝i3·2i＝2i4＝2.
4．1
解析 ∵＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.
5．－1
解析 ∵＝＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.
6．x＝－1，y＝1
解析 x－2＝3x，y＝－(－1)，即x＝－1，y＝1.
7．－2i
解析 －z＝－1－i＝－1－i＝－2i.
8．2
解析 由＝a＋bi，得2＝(a＋bi)·(1－i)，
∴2＝a＋b＋(b－a)i，(a，b∈R)，
由复数相等的定义，知a＋b＝2.
9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2
＝－3＋4i.
(3)方法一 原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
方法二 (技巧解法)
原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
10．解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴∴或
或或
∴或
或或
11．解 设z＝a＋bi (a，b∈R)，则＝a－bi，
由题意得(a＋bi)(a－bi)＋2(a＋bi)i＝4＋2i，
∴a2＋b2－2b＋2ai＝4＋2i，
∴ ∴或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
12．解 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，
由复数相等的充要条件得，
解得或，
∴方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
3.2 复数的四则运算习题课
课时目标 1.进一步理解复数的四则运算.2.了解解复数问题的基本思想．
1．复数乘方的性质：对任何z，z1，即z∈C及m、n∈N*，有zm·zn＝________
(zm)n＝zmn
(z1z2)n＝zz
2．n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
一、填空题
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是____________．
2．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则＝______.
3．设C，R，I分别表示复数集、实数集、纯虚数集，取C为全集，下列命题正确的是____________(请填写相应的序号)．
①R∪I＝C；②R∩I＝{0}；③C∩I＝?IR；④R∩I＝?.
4．表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
5．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i (x∈R)，若z1·z2为实数，则x＝________.
6．已知复数z满足＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝________.
7．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则＝________.
8．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.
二、解答题
9．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
10．解方程x2－(2＋3i)x＋5＋3i＝0.
能力提升
11．已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．
12．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
1．对于复数运算中的分式，要先进行分母实数化．
2．充分利用复数相等的条件解方程问题．
习题课
答案
知识梳理
1．zm＋n
作业设计
1．3－3i
解析 3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，故所求复数为3－3i.
2．±i
解析 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则＝x－yi，
依题意2x＝4且x2＋y2＝8，
解之得x＝2，y＝±2.
∴＝＝＝±i.
3．④
解析 复数的概念，纯虚数集和实数集都是复数集的真子集，但其并集不是复数集，当ab≠0时，a＋bi不是实数也不是纯虚数，利用韦恩图可得出结果．
4．1
解析 ∵＝＝i，∴a＝0，b＝1，
因此a＋b＝1.
5．－2 6.9＋5i
7．2＋i
解析 z＝＝＝＝2－i.
∴＝2＋i.
8． 2i
解析 设y＝bi (b≠0)，∴，∴x＝.
9．解 设z＝a＋bi (a，b∈R)，
则＝a－bi (a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
10．解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，
则有a2－b2＋2abi－[(2a－3b)＋(3a＋2b)i]＋5＋3i＝0，根据复数相等的充要条件得
解得或
故方程的解为x＝1＋4i或x＝1－i.
11．证明 设z＝a＋bi (a、b∈R)，于是
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝a＋＋i.
∵z＋∈R，∴b－＝0.
∵z是虚数，∴b≠0，∴a2＋b2＝1且a≠±1.
∴＝
＝
＝
＝＝i.∵b≠0，a≠－1，a、b∈R，
∴i是纯虚数，即是纯虚数．
12．解 设存在虚数z＝x＋yi (x、y∈R且y≠0)．
因为z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
由已知得
因为y≠0，所以
解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
