3.3 复数的几何意义
课时目标 1.理解复平面及相关概念和复数与复平面内的点、向量的对应关系.2.掌握复数加减法的几何意义及应用.3.掌握复数模的概念及其几何意义．
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数与点、向量间的对应
在复平面内，复数z＝a＋bi (a，b∈R)可以用点Z表示，其坐标为__________，也可用向量表示，并且它们之间是一一对应的．
3．复数的模
复数z＝a＋bi (a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝____________.
4．复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是________，与z1－z2对应的向量是________．
两个复数的__________就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
一、填空题
1．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在第______象限．
2．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下说法中正确的有________．(填序号)
①z对应的点在第一象限； ②z一定不是纯虚数；
③z对应的点在实轴上方； ④z一定是实数．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是____________．
4．复数z＝在复平面上对应的点位于第______象限．
5．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝________.
6．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3) (m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________．
7．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是__________．
8．若
二、解答题
9．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数x的取值范围．
10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
能力提升
11．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面中的对应点位于第四象限？位于x轴的负半轴上？
12．已知z＝3＋ai且|z－2|<2，求实数a的取值范围．
1．复数的几何意义包含两种
(1)复数与复平面内点的对应关系；每一个复数都和复平面内的一个点一一对应，两者联系：复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式组)．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点惟一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．
2．复数z＝a＋bi的模即向量的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数的模可以比较大小．
3.3 复数的几何意义
答案
知识梳理
1．实轴 虚轴 原点
2．(a，b)
3．
4． 差的模
作业设计
1．一
解析 ∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，
∴解得
∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
2．③
解析 ∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数．
3．2＋4i
解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，且C为AB的中点，
∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.
4．一
解析 ＝＋i，在第一象限．
5．
6．
解析 log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，
log2＝－1，
＝，m＝±，而m>3，
∴m＝.
7．
解析 根据模的定义得<，∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，
∴－8．四
解析 ∵0，m－1<0，
∴复数对应点位于第四象限．
9．解 ∵复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴x满足
解得210．解 设z＝x＋yi (x，y∈R)．
则x＋yi＋＝2＋8i，
∴∴，
∴z＝－15＋8i.
11．解 当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面上的对应点位于第四象限时，
∴∴－7当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面上的对应点位于x轴的负半轴上时，
由②得m＝－7或m＝4，∵m＝－7不适合①，
∴m＝4.
12．解 方法一 利用模的定义．
∵z＝3＋ai (a∈R)，由|z－2|<2，
即|3＋ai－2|<2，即|1＋ai|<2，
∴<2，∴－方法二
利用复数的几何意义．
由|z－2|<2可知，在复平面内z对应的点Z在以(2,0)为圆心，2为半径的圆内(不包括边界)，如图．由z＝3＋ai可知z对应的点Z在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图知，－3.3 复数的几何意义习题课
课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念.3.将复数的运算和复数的几何意义相联系．
1．复数相等的条件：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)．
2．复数z＝a＋bi (a，b∈R)对应向量，复数z的模|z|＝||＝__________.
3．复数z＝a＋bi (a，b∈R)的模|z|＝__________，在复平面内表示点Z(a，b)到______________．
复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则|z1－z2|＝，在复平面内表示____________．
4．i4n＝______，i4n＋1＝______，i4n＋2＝______，
i4n＋3＝______ (n∈Z)，＝______.
一、填空题
1．复数2＝__________.
2．已知i2＝－1，则i(1－i)＝____________.
3．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则a＝________，b＝______.
4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．
5．若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·＋z＝__________.
6．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．
7．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.
8．若|z－3－4i|＝2，则|z|的最大值是________．
二、解答题
9．已知复平面上的?ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，求向量对应的复数．
10．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
能力提升
11．复数3＋3i，－5i，－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C，求第四个顶点对应的复数．
12．(1)证明|z|＝1?z＝；
(2)已知复数z满足z·＋3z＝5＋3i，求复数z.
1．复数的运算可以和多项式运算类比，出现i2换成－1.
2．复数可以和点、向量建立对应关系．
3．复数问题实数化是解决问题的重要原则．
习题课
答案
知识梳理
1．a＝c，b＝d 2．
3． 原点的距离 点Z1(a，b)，Z2(c，d)两点间的距离
4．1 i －1 －i －i
作业设计
1．－3－4i
解析 2＝2
＝(1－2i)2＝－3－4i.
2．＋i
解析 i(1－i)＝i＋.
3．
4．H
解析 由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
5．6－2i
解析 z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i.
6．2
解析 考查复数的运算、模的性质．z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.
7．＋i
解析 设z＝x＋yi，则z＋|z|＝＋x＋yi＝2＋i，∴，∴，
∴z＝＋i.
8．7
解析 |z－3－4i|≥|z|－|3＋4i|，
∴|z|≤2＋|3＋4i|＝7.
9．解 设?ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由复数加减法的几何意义，得
＝－＝－＝(－)
＝(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i，
所以向量对应的复数为－1－7i.
10．解 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故 解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi (x，y∈R)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|min＝.
11．解 当四点顺序为ABCD时，第四个顶点D对应的复数为1＋9i；当四点顺序为ADBC时，第四个顶点D对应的复数为5－3i；当四点顺序为ABDC时，第四个顶点D对应的复数为－5－7i.
12．(1)证明 设z＝x＋yi (x，y∈R)，
则|z|＝1?x2＋y2＝1，
z＝?z·＝1?(x＋yi)(x－yi)＝1?x2＋y2＝1，
∴|z|＝1?z＝.
(2)解 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋3(x＋yi)
＝(x2＋y2＋3x)＋3yi＝5＋3i，
∴∴或.
∴z＝1＋i或z＝－4＋i.
