3.1 数系的扩充 学案（含答案）

第3章　数系的扩充与复数的引入
3.1　数系的扩充
课时目标　1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________．
2．复数的分类
.
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?________________.
一、选择题
1．(1＋)i的实部与虚部分别是__________．
2．a＝________时，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i表示纯虚数．
3．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i (x，y∈R)，则x，y的值分别为____________．
4．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝________.
5．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，M∩P＝{3}，则实数m＝________.
6．已知复数z1＝(3m＋1)＋(2n－1)i，z2＝(n＋7)－(m－1)i，若z1＝z2，实数m、n的值分别为__________、________.
7．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝______.
8．使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．
二、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
10．已知＋(x2－2x－3)i＝0 (x∈R)，求x的值．
能力提升
11．设a，b∈R，若a＋b＋i＝10＋abi(i为虚数单位)，则(－)2＝________.
12．如果m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z11．利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部虚部应满足的条件，求参数时，可由此列出方程组求解．但注意考虑问题要全面．
2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
3.1　数系的扩充
答案
知识梳理
1．(1)－1　(2)实部　虚部
3．a＝c且b＝d
作业设计
1．0,1＋
解析　(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．0
解析　由已知得
∴a＝0时，z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i为纯虚数．
3．1,2
解析　(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i
??
即x，y的值分别为1,2.
4．5　5.－1
6．2,0
解析　两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．
故有，解得m＝2，n＝0.
7．－4
解析　若4－3a－a2i＝a2＋4ai，
则?
?.
∴a＝－4.
8．{3}
解析　∵若使复数可以比较大小，
∴两个数必须为实数．
∴∴
∴m＝3.
9．解　(1)当z为实数时，则有：
　∴∴a＝6.
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有：
∴
∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有：
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
10．解　由复数相等的定义得

解得：x＝3，∴x＝3为所求．
11．8
解析　由复数相等的充要条件得，
?(－)2＝a＋b－2＝10－2＝8.
12．解　由z1>z2，z1∴当z1>z2时，有
由①②解得m＝0，不能满足③式，
∴使z1>z2的m的值的集合为空集．
由以上可知，m＝0时，m2＋1<4m＋2，
∴使z1