湖南省长沙市长沙县第一中学2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷(含解析)

高 三 数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数满足，则
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，则集合
A. B.
C. D.
3. 函数的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
4. 已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知是数列的前项和，是等差数列，若，，则
A.18 B.24 C.32 D.42
6. 若变量，线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是
A. B.
C. D.
7. 已知等差数列，公差为，，则下列命题正确的是
A. 函数可能是奇函数
B. 若函数是偶函数，则
C. 若，则函数是偶函数
D. 若，则函数的图象是轴对称图形
8. 某医院分三批共派出六位年龄互不相同的医务人员支援六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人. 第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者的年龄为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者的年龄为，则满足的分配方案的概率为
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一动点，则下列说法正确的是
A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为
D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
10. 已知函数，则下列说法正确的是
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递增
C. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到
D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为
11. 已知在矩形中，，，为线段的中点，将，分别沿，翻折，使得，两点重合于点，则
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 存在半径为的球，使得，，，四点均在球的球面上
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中项的系数为______.
13. 在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______.
14. 已知内角，，的对边分别为，，，，分别为，上一点，为上一点，与关于对称. 若，，，则______.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
已知数列的前项和为，且，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求.
16.（本题满分15分）
如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，， ，，线段 的中点 满足 平面 。
（1）求 的长；
（2）若 ，，求二面角 的余弦值。
17.（本题满分15分）
某靶场有A，B两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A，B两种型号的步枪的命中率分别为，.
（1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用B型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率；
（2）现在A，B两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用A，B两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用A种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记X为射击的次数，求X的分布列与数学期望.
18.（本题满分17分）
已知，是椭圆上的两个动点，在轴上方，在轴下方，直线与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点。
（1）若直线与的斜率之积为，证明：为定值；
（2）点关于轴的对称点为，设，的面积分别为，，且。
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）是否存在直线，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
19.（本题满分17分）
已知函数（其中为自然对数的底数，）。
（1）当时，求处的切线方程；
（2）若函数在其定义域上不单调，求证：；
（3）若对任意恒
成立，求实数的取值范围。
高三数学参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B C D D A
1.A 【解析】由可得，，所以，故选A。
2.C 【解析】由，，则。故选C。
3.C 【解析】由题意得，，即，
在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，
由图象可得两函数的图象有2个交点，
∴函数的零点个数为2。故选C。
4.B 【解析】当时，平面内的直线不一定与平面垂直；当直线垂直于平面时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“”是“”的必要不充分条件。故选B。
5.C 【解析】由题设是等差数列，，，得的公差为2，所以，所
以，所以。故选C。
6.D 【解析】由回归直线过样本中心点，得，
∵，，代入，得，
方程两边同时乘5，得。故选D。
7.D 【解析】对于A，若函数是奇函数，则，
可得，所以，此时，，
此时函数是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，，所以，
f(-x) = || + || = || + ||(x)，函数是偶函数，
但，故B错误；
对于C，若，则，则，所以，
则，所以函数不是偶函数，故C错误；
对于D，若，则，
，所以，
所以函数的图象关于直线对称，是轴对称图形，故D正确。故选D。
8.A 【解析】假设6位医务人员按年龄排序为，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下：
①第一批派，第二批年龄最大者为，第三批年龄最大者为，剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批，有种方案；
②第一批派，第二批年龄最大者为或，第三批年龄最大者为，当第二批年龄最大者为，则有种方案，当第二批年龄最大者为，则有种方案，共种方案；
③第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为，当第二批年龄最大者为，则有种方案，当第二批年龄最大者为，则有种方案，当第二批年龄最大者为，则有1种方案，共种方案；
④第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为，当第二批最大者为，则有种方案，当第二批年龄最大者为，则有种方案，当第二批年龄最大者为，则有1种方案，共种方案；
（注：此处原答案可能存在重复或排版问题，按照原始内容进行还原）
种方案，
种方案，而总派遣方案有种，
∴满足的分配方案的概率为. 故选A.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.）
题 号 9 10 11
答 案 ABD BC AC
9.ABD 【解析】
对于A，双曲线，则，，故渐近线方程为，即，
双曲线，，，故渐近线方程为，即，故A正确；
对于B，由题意得，，，由双曲线的定义得，，
∵，∴，，故的周长为，故B正确；
对于C，不妨设点在右支上，设，则，，
因为，所以，解得或（舍去），
所以的面积为，故C错误；
对于D，若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，故D正确. 故选ABD.
10.BC 【解析】
.
对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A不正确；
对于B，若，则，所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C，向右平移个单位长度，
得，故C正确；
对于D，由，得，而在区间上有极大值点和极小值点，
则，解得，所以实数的取值范围为. 故D不正确. 故选BC.
11.AC 【解析】
对于A，，，，有，故，故A正确；
对于B，由，故，，又，平面，，故平面，
故，故B错误；
对于C，设点到平面的距离为，则由可得，
，则，故C正确；
对于D，设三棱锥外接球球心为，半径为，
由，平面，取的中点，则，且，则，
则有，即，故D错误. 故选AC.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 【解析】的展开式中项的系数为.
13. 【解析】当点在点左侧时，设，，，，
则，当时，的最小值为；
同理，当点在点右侧时，设，，
求得，当时，的最小值为.
14. 【解析】如图，由得。
令，，。
令，，
在上单调递减，，，在上单调递减，
，，，
由题意知，
，，，
，。
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15.【解析】（1）由题意得，当，时，， ①
当，时，， ②
将①代入②得：，
所以，又，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. ………………………………………………… 6分
（2）由（1）知，即，
所以，
所以
，
所以. ……………………………………………………………………………… 13分
16.【解析】（1）取的中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，，
因为在四边形中，，
所以，即，，，四点共面.
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又，所以四边形是平行四边形，则，
所以，则. ……………………………………………………………………………… 6分
（2）因为平面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，所以，
因为，所以，
所以，，两两垂直，故以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间
直角坐标系。
在梯形中，，所以，
由题可知，，，，
则，，
设为平面的法向量，则
即 令，可得。
同理求得平面的法向量。
设二面角的平面角为，
则，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角A-CP-D的余弦值为357。 15分
17.【解析】（1）设事件“甲获得奖品”，
方法一：获得奖品是5次击中3次、4次、5次，且不能连续两次不中，即3次击中中去除第一枪、第二枪不中，
第二枪、第三枪不中，第三枪、第四枪不中三种情况，
即P(M)=C53-3125+C54125+C55125=1332。 6分
方法二：记事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”，
事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”，
则，
所以，
所以P(M)=1-P(M )=1-1932=1332。 6分
（2）由题意，的所有可能取值为，，，，
设事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”，
事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”，
则，
，
，
。
所以的分布列为
所以X的数学期望为E(X)=2×13+3×29+4×518+5×16=5918。 15分
18.【解析】（1）证明：设，，
由题意得，所以，
又点，在椭圆上，所以，，
得，，
代入得，
所以|OM|2+|ON|2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+3\Big(1-x124\Big)+3\Big(1-x224\Big)=7 5分
（2）（ⅰ）因为，
所以，即.
所以直线与关于直线对称，所以，
整理得，
由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为，
与椭圆联立得，
所以，，，
代入
，
整理得，解得或（直线不过点，舍去），
所以直线MN的斜率为12 10分
（ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为，
联立与椭圆，得，
，，
且应满足，，解得.
如图，过，两点分别向轴作垂线，垂足分别为，，
则
，
得，解得（舍）或，
所以存在直线MN，其方程为y=12x+105或y=12x-105 17分
19.【解析】（1）当时，，则，，所以，
所以f(x)在x=1处的切线方程为y+e=(1-e)(x-1)，即(1-e)x-y-1=0 4分
（2）因为，所以，
当时，，在上单调递减，不合题意；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，
此时， 7分
要证，只需证，即证。
不等式等价于，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故。 10分
（3）由题意得，
，
令，则原不等式等价于恒成立，
令，则，
当时，，，则，在上单调递减；
当时，令，则，故在上单调递增，
又，，所以存在唯一的，使得，
且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，故存在唯一，使得，
从而。
①当时，是减函数，故的值域为，此时恒成立，符合题意；
②当时，是减函数，故的值域为，此时存在，不符合题意；
③当时，由（2）知，又当时，，
故的值域为，
若，即时，，此时恒成立，符合题意，
若，即时，取，此时存在，不符合题意。
综上所述，实数的取值范围为。 17分