20.2.1 勾股定理的逆定理 教案 初中数学人教版（2024）八年级下册

20.2.1 勾股定理的逆定理
教学目标：
1、了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题。
2、会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系。
3、了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原命题的条件与结论的关系。
4、学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形。
教学重点：会分清一个命题的题设和结论，正确把握勾股定理与其逆定理的关系。
教学难点：勾股定理的逆定理的应用。
教学过程：
一、新课导入
1.复习：勾股定理的内容。
学生：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
教师：课件出示勾股定理的内容。
2.提问：这个命题的条件和结论分别是什么？
学生：条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c .结论：a2+b2=c2。
3.思考：如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？
教师：答案就藏在课本中，我们一起来看一看课本P31的内容。
二、推进新课
知识点一：互逆命题
1.提问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角。这种方法对吗？
教师：围成的三角形三边分别为多少？
学生：三边分别为3，4，5。
教师：三边满足什么数量关系？
学生：满足关系：32+42=52。
教师：按照这种方法画的三角形是个什么三角形？
学生：得到的三角形是直角三角形。
教师：这个三角形的三边分别是3,4,5，如果三角形的三边换成其他的三个量也满足同样的数量关系，那么得到的三角形是否依然是直角三角形？我们接下来通过画一画来探究。
2.探究：
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
（1）2.5，6，6.5；（2） 6，8，10；（3）4，7.5，8.5。
教师：每组的同学分别完成一道题。第一组完成第一题，第二组完成第二题，第三组完成第三题。
学生在纸上画，教师巡视指导。
3.提问：用量角器量一量，它们是什么三角形？由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
学生：直角三角形；如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
教师：那么这个猜想和我们学过的勾股定理的内容有什么不同？我们来观察以下两个命题。
4.观察：
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
提问：这两个命题有什么不同？
学生：两个命题的题设和结论相反。
5.小结：我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
教师：因此命题1是命题2的逆命题，命题2是命题1的逆命题，命题2也正好是勾股定理的逆命题。接下来我们来看看下面几个命题的逆命题是什么，它们是否成立？
6.练习：说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
学生：内错角相等，两直线平行；成立。
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
学生：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；不成立。
（3）全等三角形的对应角相等；
学生：对应角相等的两个三角形全等；不成立。
（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
学生：角平分线上的点到角两边的距离相等；成立。
教师：正如上面这几个命题一样，有些命题的逆命题是成立的，也有些命题的逆命题是不成立的，那么勾股定理的逆命题是否成立呢？
知识点二：勾股定理的逆定理
1.思考：命题2正确吗？如何证明呢？
学生分组讨论，教师指名回答。
学生上台板书，讲解证明方法。
教师总结证明方法和证明过程：
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b。
∵ ∠ C'=90°
∴ A'B'2= a2+b2=c2
∴ A'B' =c。
在△ABC和△A'B'C'中
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'。
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）。
∴ ∠C=∠C'=90°。
教师：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。因此勾股定理的逆命题也称之为勾股定理的逆定理。
2.小结：
勾股定理的逆定理：如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
教师：勾股定理的逆定理有什么作用呢？
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形。
教师：接下来我们用它来判断下面这个三角形是不是直角三角形。
3.例：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15。
教师：如何进行判断？
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。
学生：（1）∵　152+82 =225+64=289，
　 172 =289，
∴　152+82 =172.
∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形。
教师：像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
学生：（2）∵132+142 =169+196=365，
　 152 =225，
∴132+142 ≠152.
∴这个三角形不是直角三角形。
教师：如果三角形的三边不是具体的数字，我们是否也能判断它是否是直角三角形。
4.练习：如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
学生：这三条线段组成的三角形是直角三角形。因为由 a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形。
教师：今天我们学习了勾股定理的逆定理，那么我们如何运用它来解决生活中的实际问题呢？接下来请同学们先思考下面这道题。
三、随堂演练
扩展延伸：
一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？
分析：如图，连接BD.在Rt△ABD中，
在△BCD中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.
教师：正如这道题中3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？接下来我们一起来解决这个问题。
拓广探索：
我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
分析：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数。
因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,
所以（3k）2+（4k）2=（5k）2。
（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数。
因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2
（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2
故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数。
教师：同学们，我们今天主要学习了哪些内容？通过今天的学习，你有哪些收获呢？
四、课堂小结
1.逆命题和逆定理
2.勾股定理的逆定理
3.勾股定理的综合应用
五、课后作业
复习巩固：
1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7,b=24,c=25;（2）a= ,b=4,c=5;
（3）a= ,b=1,c=;（4）a=40,b=50,c=60.
2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
分析：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；成立。
（2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那么它们都是直角”，不成立。
（3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形全等”；成立。
（4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；不成立。
综合应用：
4.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC。
分析：在△ABD中，BD= BC=5，AD=12，AB=13，
因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，
所以BD2+AD2=AB2，所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.因此△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.
课后反思：
本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理”，让学生了解互逆命题、互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人。