28.1 锐角三角函数（第2课时 余弦和正切） 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.1 锐角三角函数（第2课时 余弦和正切） 巩固练
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ）
A． B． C． D．1
4．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）

A．3 B． C． D．
5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．10
6．如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米
A． B． C． D．
7．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
8．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
9．中，，，，则的长为 ．
10．如图，在中，，，，则 ．
11．如图，在中，，，，，则线段的长 ．
12．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示）
13．已知菱形，，，点E是线段上的一个三等分点，将沿折叠至，连接，延长相交于点P，则的长度为 ．
三、解答题
14．在中，于D，如果，且．求的长．
15．在中，，，为直线上任意一点（不与，重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段，与的数量关系并说明理由；
(3)若，请直接写出的值．
16．如图，在钝角中，（，且），于点是的中点．
(1)求证：．
(2)若的三边长是连续整数（是最短边），求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B D C A A C
1．B
【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可．
【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边，
∴；
故成立的是选项B；
故选B．
2．B
【分析】本题考查求余弦以及勾股定理，熟练掌握余弦的定义是解题关键．
先通过勾股定理求得，再通过角度关系得到，再通过余弦定义求出即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵矩形中，，
，
，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案．
【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，，
，，
，
，
，
故选C．
6．A
【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．
【详解】解：由题意，在中，，
故地毯的长度为，
故地毯的面积至少需要（平方米），
故选：A．
7．A
【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．
本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．
【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形及等边三角形的性质，根据题意，得出，再令正三角形的边长为，用k分别表示出及即可解决问题．
【详解】解：因为图中的三角形都是正三角形，
所以四边形为菱形，
则，
所以．
令正三角形的边长为，
则．
在中，，
所以．
在中，．
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
11．/
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键；过点B作，垂足为E，交于点F，由题意易得，，然后可根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点B作，垂足为E，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值．
【详解】解：在中，，
，海里，
（海里），
故答案为：．
13．或
【分析】由题意知，分①点是靠近点的线段上三等分点，②点是靠近点的线段上三等分点，两种情况求解；①当点是靠近点的线段上三等分点，如图1，连接，作于，则，，证明，则，，如图1，作于，于，则，，，由勾股定理得，，设，，则，，，由勾股定理得，，即；，即；由，可求，则，进而可得；②当点是靠近点的线段上三等分点，如图2，连接，作于，同理①求解即可．
【详解】解：由题意知，分①点是靠近点的线段上三等分点，②点是靠近点的线段上三等分点，两种情况求解；①当点是靠近点的线段上三等分点，如图1，连接，作于，
图1
∵菱形，，，
∴，，
∴，
由翻折的性质可得，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
如图1，作于，于，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
设，，则，，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴，
∴；
②当点是靠近点的线段上三等分点，如图2，连接，作于，
图2
同理①，可得，，，
同理①，，
∴，，
如图2，作于，于，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
设，，则，，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，余弦，正弦，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，余弦，正弦，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键．
14．5
【分析】
首先根据，求得的长，然后利用勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：在中，
，，
∴，
，
，
，
∵，
，
∴在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够从题目中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解，难度不大．
15．(1)见解析；
(2)，证明见解析；
(3)或．
【分析】（1）根据同角的余角相等求解即可；
（2）如图所示，过点E作于点F，连接，证明出，得到，，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可；
（3）设，则，根据题意两种情况讨论：点D在点A左边和点D在点A右边，然后证明出，分别表示出，，然后根据勾股定理表示出，然后根据余弦的概念求解即可．
【详解】（1）∵，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴
∴
∴；
（2），理由如下：
如图所示，过点E作于点F，连接
同（1）可得，
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，即
∴
又∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴；
（3）设，则
如图所示，当点D在点A左边时，过点E作于点F，
同（2）可证，
∴，
∴
∴
∴；
如图所示，当点D在点A右边时，过点E作于点F，
同（2）可证，
∴，
∴
∴
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，求角的余弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可得证；
（2）根据题意设的长为，则的长为的长为．根据勾股定理建立方程，解方程，进而可得，根据（1）可得，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）解：证明：如图，取的中点，连接．
，
，
．
是斜边上的中线，
，
．
，
，
，
．
（2）设的长为，则的长为的长为．
根据勾股定理，得，
解得．
，
，
，
．
由（1）知，
．
是的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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