28.1 锐角三角函数（第3课时 求锐角的三角函数值） 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.1 锐角三角函数（第3课时 求锐角的三角函数值） 巩固练
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．的值为（　　）
A． B． C． D．
2．若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）

A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡
C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
8．在中，若， ，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
二、填空题
9． ．
10．王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ．
11．关于x的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则 ．
12．在中，若，为锐角，且，的形状是 三角形．
13．在中，，都是锐角，且，则的度数为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．计算：．
16．如图，在中，．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
17．已知中，与满足．
(1)试判断的形状；
(2)求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A D A A C
1．C
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
解得，
故选：．
3．D
【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；
C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；
D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．
【详解】∵，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．
5．D
【分析】可根据三角函数的定义解答；亦可运用互为余角的锐角三角函数关系式：tanA=cotB；sin2A+sin2B=1（∠A+∠B=90°）解答．
【详解】解：如图所示，
Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．
根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA==cotB．正确；
B、sin2A+cos2A=()2+()2==1．正确；
C、sin2A+sin2B=()2+()2==1．正确；
D、tanA cotB= ，只有当∠A=∠B=45°时，tanA cotB=1．错误．
故选D．
【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值；
或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
6．A
【分析】根据得出，代入即可．
【详解】解：如下图，
∵，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知，能推出，，，．
7．A
【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键．
【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意；
B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
8．C
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．
【详解】解：∵， ，
∴，，
∴，
∴是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数值求角度是解题的关键．
9．
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
10．/20度
【分析】本题考查了根据角的三角函数值求角，由题意可得，即得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
又∵是锐角三角形的一个内角，
∴．
故答案为：．
12．等边
【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
，，
，
的形状是等边三角形，
故答案为：等边．
13．/75度
【分析】本题主要考查偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值，熟练掌握偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为．
14．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
【详解】解：
．
15．
【分析】此题主要考查了三角函数的混合运算．代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可．
（1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可；
（2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出．
【详解】（1）解：证明如下：
∵中，，
∴，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．(1)锐角三角形
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，三角形的分类．
（1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案．
（2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算．
【详解】（1）解：由题意，得，．
∴，
∴，
∴是锐角三角形；
（2）解：原式
．
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