28.2.1 解直角三角形 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.2.1 解直角三角形 巩固练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（ ）
A． B． C．10 D．8
2．如图，在中，，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C．12 D．12
4．如图，菱形的一边在轴上，，，将菱形绕原点逆时针方向旋转75°，得到菱形，则顶点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，则sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，则tanC sinC=cosC．其中正确的命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在△中，，,.则边的长为 .
10．在ΔABC中，AB=AC，BC＝6，SΔABC=3，那么sinB= ．
11．在如图所示的正方形网格中，的三个顶点都在格点处，则的值等于 ．

12．如图 中，，点D 在 AC上， ．若AC=4 ，，则CD 的 长度为 ．
13．如图，△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝14，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿着DE翻折，点B的对应点B' 恰好落在AC中点，连接BB' ，交DE于点F，则DF＝ ．
14．如图，在矩形中，，，在上，且，在的延长线上，且，则线段的长度为 ．
三、解答题
15．在锐角中，，求：

(1)的值．
(2)的值．
16．在中，，求的长．
17．如图，在Rt中，，求和的值．
18．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，）
（1）求、之间的距离；
（2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．
19．已知：如图，是的高，，，．
(1)求和的长；
(2)求的值．
20．如图，在中，，，，，，交．求：
(1)的长；
(2)的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B D A C D A
1．D
【分析】设BC＝4x，BD＝5x，则CD＝3x，由BC＝4即可求x，进而求出BC．
【详解】∵∠C＝90°，
设BC＝4x，BD＝5x，
∴CD＝3x，
∵
∴x=1，故BD＝5，CD=3
∵的垂直平分线交于点，
∴AD＝BD＝5，
∴AC＝AD+CD=8，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．D
【分析】利用锐角三角函数进一步求解即可.
【详解】由题意得：，
∴，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.
错因分析 容易题.失分原因是：对正弦和余弦的比例关系混淆.
3．B
【分析】根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△ABD是等边三角形，可求出AD的长，再根据特殊角的锐角三角函数值求出AO的长即可解决问题．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，
∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝6，∠DAC＝30°，
∴AO＝6×cos30°＝ ，
∴AC＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，求出AO的长是解题关键．
4．D
【分析】如图所示，连接AC交OB于D，过点作⊥y轴于E，先解直角三角形求出，再由旋转的性质，，则，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AC交OB于D，过点作⊥y轴于E，
∵四边形OABC是菱形，∠OAB=120°，
∴∠AOC=60°，∠ODA=90°，OA=OC=2，CD=AD，OB=2OD，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，旋转的性质，菱形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE=，BE=，
∴CE=BC+BE=3a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．
6．C
【分析】根据锐角三角函数的定义判断所有的锐角三角函数值都是正数；根据锐角三角函数的概念结合勾股定理可以证明sin2A+cos2A=1，tanC sinC=cosC．
【详解】①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；
②两个元素中，至少得有一条边，故错误；
③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得则 = =1，故正确；
④根据锐角三角函数的概念，得tanC=，sinC=，cosC=，则tanC cosC=sinC，故错误．
故选C．
【点睛】解直角三角形．
7．D
【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值．
【详解】解：如图，连接．则，．
都是正方形的对角线，
．
∴，．
，是直角三角形．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
8．A
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．由反比例函数的比例系数的几何意义得△OAF的面积，再证明△OAF∽△BOE，由相似三角形的性质得△BOE的面积，进而得k的值；
【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．
∵OA⊥OB，
∴∠BOE+∠AOF＝90°．
又∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE，
∴△OAF∽△BOE．
∴，
∵，
设OB=，AB=,
OA=，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴S△AOF＝，
∴S△BOE＝，
又点B在反比例函数y＝的图象上，且点B在第二象限，
∴k＝﹣；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数中|k|的几何意义以及相似三角形的判定与性质，解题关键是通过相似比求出面积比，利用几何意义求解．
9．
【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
【详解】过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.
10．
【详解】试题分析：根据题意画出图形，过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一得BD=DC=3，再根据三角形的面积求出AD，在Rt△ABD中根据勾股定理求出AB，最后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．
解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
∵S△ABC=3，∴BC AD=3，∴AD=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB=,
∴sinB===.
故答案为.
11．
【分析】过点A作于点D.，设每个小正方形的边长为1，通过勾股定理算出求出AB，AC，BC的长，再设BD为x，列出方程求出x的值，即可求出的值.
【详解】如图，过点A作于点D.，设每个小正方形的边长为1，
由勾股定理可知，，，
设，
，
在中，，
在中，，
即，解得，
，
，
故答案为.

【点睛】本题是对格点问题的考查，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数是解决本题的关键.
12．1
【分析】在△ABC中，由三角函数求得BC，再由勾股定理求得AB，最后在△BCD中由三角函数求得CD．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，，
∴BC=AC×tanA=2，
∴AB==，
∵∠DBC=∠A，
∴tan∠DBC=tan∠A==，
∴CD=BC×tan∠DBC=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形的熟练运用．
13．
【分析】过作H⊥AB与H，可得AH＝2，B'H=2，设BD=x，则B'D=x，利用勾股定理，列出方程，求出x的值，结合折叠的性质，即可求解．
【详解】解： 过作H⊥AB与H，
∴∠A＝60°，AC＝8，将△BDE沿着DE翻折，点B的对应点B' 恰好落在AC中点，
∴A B' =4，AH＝A B'×cos60°=4×=2，B'H= A B'×sin60°=4×=2，
设BD=x，则B'D=x，
∵在中，，
∴，解得：x=，即：BD=，DH=14-2-=，
∴BH=BD+DH=12，
∴，
由折叠的性质，可知：BF=，DF⊥，
∴DF＝
故答案是：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．
【分析】延长至，使得，连接，根据三角形中位线的性质，平行四边形的性质，证明三点共线，解直角三角形，求得，根据即可求解．
【详解】如图，延长至，使得，连接，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
三点共线，
过点作，
，
，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与的，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，证明三点共线是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）过作于点，利用面积公式求出高的长，利用勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可．
（2）先求出，再利用勾股定理求出，继而利用正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：过作于点．
，
．
又，
．
；

（2）∵，，
∴，又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．
16．
【分析】由，求解 再利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解： ，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
17．图（1）中，；图（2）中，
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可．
（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可．
【详解】解：（1）在中，，
∴，
∴，
．
（2）在中，，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键．
18．（1）27m；（2）这辆汽车超速，见解析
【分析】（1）根据AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【详解】（1）在中，∵,
，
在中，,
,
，
（2）结论：这辆汽车超速.
理由：，
∴汽车速度.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)，；
(2)．
【分析】（1）本题考查解直角三角形，根据，进行计算，即可解题．
（2）本题考查求角的正切值，掌握正切的定义，并根据进行计算，即可解题．
【详解】（1）解：是的高，，，
，
；
（2）解：，
，
．
20．(1)
(2)1
【分析】（1）由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出的长即可；
（2）先利用勾股定理求得，从而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函数值得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
由（1）知，
由勾股定理得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
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