28.2.2 应用举例 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.2.2 应用举例 巩固练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）．

A．3 B．5 C．2 D．4
2．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为（ ）
A． B． C． D．
3．将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与地面的距离BD的长为（　　　）米．
A．6cos55° B． C．6sin55° D．
4．如图，为了测量山高AC，在水平面B处测得山顶A的仰角是（　　）
A．∠A B．∠ABC C．∠ABD D．以上都不对
5．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了60米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ）
A．30米 B．米 C．米 D．35米
6．如图，为测河两岸相对两抽水泵的距离，在距点的处，测得，则间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（ ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、填空题
9．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
10．小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为 ．（结果精确到．参考数据：）
11．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为 米．
12．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和．则该电线杆的高度是 （结果可保留根号）．
13．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．

14．如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是 海里．
三、解答题
15． “神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为，取，结果取整数）？
16．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼楼底的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（，结果取整数）？
17．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位，，，）．
18．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（结果保留小数点后一位，cos50°＝0.6428）？
19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
20．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

21．如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比．根据图中数据．
求：（1）坡角和的度数；
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B A A C B
1．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：滑坡的坡度是，
在中，，，
，
故选：C．
2．A
【分析】根据锐角三角函数的正弦定义解题即可．
【详解】解：在中，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．C
【分析】在Rt△BCD中，根据∠BCD=55°，CD=6米，解直角三角形求出BD的长度．
【详解】解：如图
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=90°，∠BCD=55°，CD=6米，
∴BD=CD×sin∠BCD=6sin55°．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用的知识，解答本题的关键是根据已知条件构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
4．B
【分析】由仰角的定义，仰角就是视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫做仰角
【详解】解：由仰角的定义，得在上图中∠ABC为B处测得山顶A的仰角.
所以选B.
【点睛】本题考查了仰角，熟记仰角、俯角等的定义是基础.
5．A
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米.
根据勾股定理可得：x2+(x)2=602．
解得x=30．
即此时该小车离水平面的垂直高度为30米．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一坡度问题，解题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan a（i)=垂直高度÷水平宽度．
6．A
【分析】
在中，，由此可以求出之长．
【详解】
解：在中，
，
．
又，，
．
故选：．
【点睛】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来．
7．C
【分析】先在Rt△ABC和Rt△ADC中，求出AB＝、AD＝，再求长度之比即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC，利用正弦函数的定义求解是解答的关键．
8．B
【分析】首先由方向角的定义及已知条件可以得出∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°，再根据AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°，然后解Rt△ABP，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°，
∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=50°．
在Rt△ABP中，
∵∠ABP=90°，∠A=50°，PA=2海里，
∴AB海里．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，还有平行线的性质和三角函数的定义．
9．/30度
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【详解】解：如图，

由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
10．11m
【分析】过D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解决问题．
【详解】如图，过D作DE⊥AB，则四边形BCDE是矩形，
∴BC=DE，BE=CD，
∵ 在D处测得旗杆顶端A的仰角为52 ，
∴∠ADE=52 ，
∵BC=DE=8m，
∴AE=DE tan52 ≈8×1.28≈10.24m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.
∴AB约为：11m.
故答案为：11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键．
11．3
【分析】根据AB的坡度即为BC：AC，从而求出BC的长.
【详解】解：∵AB的坡度为i＝1：2.5， BC⊥AC，大厅水平距离AC的长为7.5m，
∴BC：AC＝1：2.5，
则BC＝7.5÷2.5＝3（m）．
故答案为3．
【点睛】此题考查的是坡度，熟知坡度的公式：坡面的垂直高度和水平距离的比，是解决此题的关键.
12．
【分析】延长交直线于点，设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在中，利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
【详解】延长交直线于点，设米，
在中，
∵，
∴米，
在中，
∵，米，
∴米．
∵米，
∴，
∴米，
∴米．
在中，
∵，，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是解本题的关键．
13．
【分析】在图中共有三个直角三角形，即、，利用、以及坡度比，分别求出、、，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【详解】解：作于点，于点，
在中，，，
（米）．
设米，
，
．
在中，，，，
，
，
解得．
答：此人所在位置点的铅直高度米，
故答案为：．

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
14．30
【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【详解】根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°-30°=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=60×0.5=30，
∴AC=BC=30（海里）．
故答案为30．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
15．当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约
【分析】从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点，可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长，需先求出（即）的度数．
【详解】解：如图：
设，在图中，FQ是的切线，是直角三角形．
∵，
∴．
∴的长为：．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，弧长公式，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出圆心角的度数．
16．这栋楼有米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，根据题意得出 ，解得出，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
依题意可得，
∴，，
∴，
∴．
答：这栋楼有米．
17．旗杆的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键．
如图所示，连接，过点作于点，，在中，，在中，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴旗杆的高度为．
18．334.3米
【分析】先判断出BED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【详解】解：∵∠ABD＝140°，
∴∠DBE＝180°﹣140°＝40°，
又∵∠D＝50°，
∴∠E＝180°﹣∠DBE﹣∠D
＝180°﹣40°﹣50°
＝90°，
∴RtBED中， cosD＝，
∴cos50°＝＝0.6428，
解得：DE＝334.3m．
答：另一边开挖点E离D334.3米正好使A，C，E三点在一直线上．
【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，涉及到三角形内角和定理及锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
19．当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约
【分析】在中，根据求得，在中，根据 即可求得．
【详解】解：如图，在中，
．
在中，，
∵，
∴．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方位角的表示方法，解直角三角形是解题的关键．
20．渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险.理由见解析.
【详解】解：如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12海里，
∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，
∴CD=AD=6海里，
由勾股定理得：AC=≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．

21．（1），；（2）
【分析】（1）根据坡度的定义计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB即可得解；
【详解】（1）∵斜面AB坡度，
斜面CD坡度，
∴，，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了坡度的知识点求解和勾股定理计算，准确计算是解题的关键．
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