28.1 锐角三角函数 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 28.1 锐角三角函数 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 765.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 00:00:00 | ||
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文档简介
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28.1 锐角三角函数 巩固练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．在Rt△ABC中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A． B． C． D．或
3．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则下列三角函数值正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝2 C．cosB＝2 D．sinB＝
5．如图，在中为直径，点为弧的中点，点在弧上，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图 ，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A．a B． a C． D．
二、填空题
7．在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ．
8．已知抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线上一点，若，则点P的坐标为 ．
9．如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 ．
10．如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．则点B的坐标为 ； ．
11．正方形内接于，点为的中点，连接并延长交于点，连接，则 ．
12．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
三、解答题
13．计算：．
14．计算：4cos30°
15．计算：.
16．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．
(1)判定与的位置关系，为什么？
(2)若，，
①求、的值；
②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证．
17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．
18．如图，在中，，是的中点，，．
(1)求的长；
(2)求与的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B D C C
1．B
【分析】先根据勾股定理求出得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．
【详解】如图，
根据勾股定理得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可．
【详解】解：，
锐角的度数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理及正弦，根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
，
故选B．
4．D
【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．
5．C
【分析】过C作直径CE，连接DE、CD，过C点作CF⊥AD于F，在Rt△CDE中，求得CD的长，在Rt△ACF中，求得CF、AF 的长，再在Rt△CDF中，求得DF的长，从而求得AD的长．
【详解】过C作直径CE，连接DE、CD，
∵CE为直径，= ，
∴∠CDE=90，∠CAD=∠E，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AB，即∠AOC=90，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=，
过C点作CF⊥AD于F，
在Rt△ACF中，
∴，
∴CF=，
AF=，
在Rt△CDF中，CF，，
∴DF=，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，作出辅助线利用圆周角定理得到是解题的关键．
6．C
【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴=CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°=a.
故选C.
【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
7．/
【分析】如图，作，垂足为D，结合网格利用勾股定理求出，最后根据代入计算即可．
【详解】解：如图，作，垂足为D，
由图可知，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形．
8．或
【分析】当在x轴上方抛物线上时，过点作于点C，根据抛物线解析式，结合，列等式计算即可，当在x轴下方抛物线上时，过点作于点D，根据抛物线解析式，结合，列等式计算即可．
【详解】∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为，
设点，
当在x轴上方抛物线上时，过点作于点C，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴，
故；’
当在x轴下方抛物线上时，过点作于点D，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴，
故；’
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，正切值的计算，分类计算，熟练掌握待定系数法，三角函数值的计算是解题的关键．
9．
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设的长是x，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去负值），
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
10． /
【分析】①由题意，过点B作于H，根据，，可得，即可得出；
②根据题意，，可得，所以，在中，可得．
【详解】解：①如图，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴点B的坐标为；
故答案为：；
②∵，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
11．
【分析】由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，设正方形的边长为2a，根据F为CD的中点得到FD＝a，然后由勾股定理得AF的长，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，
设正方形的边长为2a，
∵F为CD的中点，
∴FD＝a，
由勾股定理得：AF＝，
∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正弦的定义，解题的关键是利用圆周角定理进行转化，难度不大．
12．
【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，将数值代入求得结果．
【详解】解：由题意可得，
BC2＝AB2＋AC2﹣2AB AC cosA
＝32＋42﹣2×3×4cos60°
＝13，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．
13．﹣2．
【分析】按照各部分的运算法则分别计算，再求解即可．
【详解】解：原式=
=﹣2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值，特殊角的三角函数，算术平方根，零次幂的运算是解题关键．
14．-1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式==-1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．
【分析】分别进行绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等运算，然后合并即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等知识．
16．(1)相切，原因见解析
(2)①，；②，验证见解析
【分析】（1）连接OD，根据角之间的关系可推断出，即可求得的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；
（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出，的值；②先表示出来、和的关系，进而猜测与，的关系，然后将代入进去加以验证．
【详解】（1）解：连接OD，如图所示
∵BD为的角平分线
∴
又∵过点B、D，设半径为r
∴OB=OD=r
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
∵
∴AC与的位置关系为相切．
（2）①∵BC=3，
∴
∴
过点D作交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，
∴即
∴
∵
∴
∴
∴；
②
∴
∴
猜测
当时
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果．
17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴和是直角三角形，
∵，
∴设，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得（舍），，
∴，，
即点A的坐标为：，点B的坐标为：．
18．(1)的长为
(2)，
【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知识点．熟记相关几何结论是解题关键．
（1）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，根据勾股定理即可求解；
（2）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，可推出，结合三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：，是的中点，，
.
，
，
（2）解：由（1）得，
，
，
.
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28.1 锐角三角函数 巩固练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．在Rt△ABC中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A． B． C． D．或
3．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则下列三角函数值正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝2 C．cosB＝2 D．sinB＝
5．如图，在中为直径，点为弧的中点，点在弧上，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图 ，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A．a B． a C． D．
二、填空题
7．在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ．
8．已知抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线上一点，若，则点P的坐标为 ．
9．如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 ．
10．如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．则点B的坐标为 ； ．
11．正方形内接于，点为的中点，连接并延长交于点，连接，则 ．
12．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
三、解答题
13．计算：．
14．计算：4cos30°
15．计算：.
16．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．
(1)判定与的位置关系，为什么？
(2)若，，
①求、的值；
②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证．
17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．
18．如图，在中，，是的中点，，．
(1)求的长；
(2)求与的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B D C C
1．B
【分析】先根据勾股定理求出得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．
【详解】如图，
根据勾股定理得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可．
【详解】解：，
锐角的度数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理及正弦，根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
，
故选B．
4．D
【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．
5．C
【分析】过C作直径CE，连接DE、CD，过C点作CF⊥AD于F，在Rt△CDE中，求得CD的长，在Rt△ACF中，求得CF、AF 的长，再在Rt△CDF中，求得DF的长，从而求得AD的长．
【详解】过C作直径CE，连接DE、CD，
∵CE为直径，= ，
∴∠CDE=90，∠CAD=∠E，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AB，即∠AOC=90，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=，
过C点作CF⊥AD于F，
在Rt△ACF中，
∴，
∴CF=，
AF=，
在Rt△CDF中，CF，，
∴DF=，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，作出辅助线利用圆周角定理得到是解题的关键．
6．C
【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴=CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°=a.
故选C.
【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
7．/
【分析】如图，作，垂足为D，结合网格利用勾股定理求出，最后根据代入计算即可．
【详解】解：如图，作，垂足为D，
由图可知，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形．
8．或
【分析】当在x轴上方抛物线上时，过点作于点C，根据抛物线解析式，结合，列等式计算即可，当在x轴下方抛物线上时，过点作于点D，根据抛物线解析式，结合，列等式计算即可．
【详解】∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为，
设点，
当在x轴上方抛物线上时，过点作于点C，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴，
故；’
当在x轴下方抛物线上时，过点作于点D，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴，
故；’
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，正切值的计算，分类计算，熟练掌握待定系数法，三角函数值的计算是解题的关键．
9．
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设的长是x，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去负值），
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
10． /
【分析】①由题意，过点B作于H，根据，，可得，即可得出；
②根据题意，，可得，所以，在中，可得．
【详解】解：①如图，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴点B的坐标为；
故答案为：；
②∵，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
11．
【分析】由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，设正方形的边长为2a，根据F为CD的中点得到FD＝a，然后由勾股定理得AF的长，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，
设正方形的边长为2a，
∵F为CD的中点，
∴FD＝a，
由勾股定理得：AF＝，
∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正弦的定义，解题的关键是利用圆周角定理进行转化，难度不大．
12．
【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，将数值代入求得结果．
【详解】解：由题意可得，
BC2＝AB2＋AC2﹣2AB AC cosA
＝32＋42﹣2×3×4cos60°
＝13，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．
13．﹣2．
【分析】按照各部分的运算法则分别计算，再求解即可．
【详解】解：原式=
=﹣2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值，特殊角的三角函数，算术平方根，零次幂的运算是解题关键．
14．-1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式==-1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．
【分析】分别进行绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等运算，然后合并即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等知识．
16．(1)相切，原因见解析
(2)①，；②，验证见解析
【分析】（1）连接OD，根据角之间的关系可推断出，即可求得的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；
（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出，的值；②先表示出来、和的关系，进而猜测与，的关系，然后将代入进去加以验证．
【详解】（1）解：连接OD，如图所示
∵BD为的角平分线
∴
又∵过点B、D，设半径为r
∴OB=OD=r
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
∵
∴AC与的位置关系为相切．
（2）①∵BC=3，
∴
∴
过点D作交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，
∴即
∴
∵
∴
∴
∴；
②
∴
∴
猜测
当时
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果．
17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴和是直角三角形，
∵，
∴设，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得（舍），，
∴，，
即点A的坐标为：，点B的坐标为：．
18．(1)的长为
(2)，
【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知识点．熟记相关几何结论是解题关键．
（1）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，根据勾股定理即可求解；
（2）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，可推出，结合三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：，是的中点，，
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，
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（2）解：由（1）得，
，
，
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