28.1 锐角三角函数（第1课时正弦） 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.1 锐角三角函数（第1课时正弦） 巩固练
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，方格纸中小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
4．如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（ ）
A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大
5．如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，AD=10，点E是边BC上一点， sin∠AEB=，若ED平分∠AEC，则CE的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
二、填空题
9．在中，，则的值为 ．
10．中，，，那么顶角的正弦值等于 ．
11．下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为 ．
12．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是 ．
13．第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为 ．
图1 图2
三、解答题
14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
15．如图，四边形内接于，是的直径， ，交的延长线于点E，平分 ，连接．
(1)求证：为 的切线；
(2)若，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D C A C A
1．D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
A、在中，故A正确；
B、在中，故B正确；
C、在中，故C正确；
D、在中，故D错误；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查解直角三角形．过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，
∴，，，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的值为．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵，
∴的对边与斜边的比，
∵的三边都缩小5倍，
∴的对边与斜边的比不变，
∴的值不变．
故选：C．
4．D
【分析】本题的考点是特殊三角形的三角函数，方法是熟记特殊三角形的三角函数，根据正弦的定义：对边比斜边即可解答．
【详解】解：栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，升高的高度为，
在中，，为定值，随旋转角的增大而增大，
的值随的增大而增大，
的值一直变大
故选：D．
5．C
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后再根据正弦的定义即可解答；运用勾股定理求得斜边是解题的关键．
【详解】解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，
∴每个直角三角形的斜边长为，
∵直角三角形的较小的锐角为，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边可得AE=AD，在Rt△ABE中，利用三角函数和勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
又∵∠DEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=10，
在Rt△ABE中，，
∴
∴
∴CE=BC BE=AD BE=10 8=2.
故选：A.
【点睛】本题考查了矩形中三角函数的运用，根据角平分线和平行线的性质得到∠ADE=∠AED是解题的关键.
7．C
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．A
【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．
本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．
【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，难度适中．通过作高构造包含顶角的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，作于D，于E．

∵，
∴．
在直角三角形中，
∵，
∴．
∵，
∴
在直角三角形中，
∵，
∴．
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查求解一个角的正弦值．作边上的高，根据算出，由即可求解．
【详解】解：由图可知：，，
，
作边上的高，如图：

则，
∴，
，
故答案为：．
12．
【分析】过点C作于D，过点B作于E，的延长线交直线c于点F，设间的距离为a，得到，根据同角的余角相等求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点C作于D，过点B作于E，的延长线交直线c于点F，设间的距离为a，
∵，
∴，
设间的距离为a，
∴
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
13．/
【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判定．
（1）连接，得出，证明，根据，是的半径，即可证明结论；
（2）连接并延长交于点F，连接，先证明四边形是矩形，得出，进而求出及，求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接并延长交于点F，连接，
是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点O是中点，
∴是中位线，
∴，
∴，
，
是的直径，
∴
∴．
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