第二十八章 锐角三角函数 章末综合测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数 章末综合测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二十八章 锐角三角函数 章末综合测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．如图所示，在中，是直角边上一点，于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的高．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
6．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
7．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴，交反比例函数图象于点，点在轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，点是边上一点，，则（ ）
A．5 B． C．7 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题
13．中，，，，则 ．
14．如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．
15．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ．
16．如图，把一个长方形卡片放在每行宽度为的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上，已知，则的长约为 （参考数据：）．
17．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图，，，，延长至点，使，连接，得，．类比这种方法得 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，在中，，，，求，的长．
20．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号）
21．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．
22．向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和，且．求灯杆的长度．
23．如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
(1)求小山的高度；
(2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
24．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．
(1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ；
(2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，）
25．阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：．
证明：过点作于点．
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，的对边分别为．求证：
(2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
26．某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，）
(1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）；
(2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C B B A A D B
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据特殊角三角函数值求出的度数，进而求出的度数，再根据正弦的定义即可得到答案．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴．
故选D．
3．D
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是恰当选择三角函数．利用正弦定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵米，坡角，
∴米，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，根据解直角三角形、相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查解直角三角形与三角形的高，证明，由可得，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，是的高，
∴，
∵，，
∴，，
，
，
∴的面积为．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．
【详解】解：∵，，，
∴，故式子①错误；
∵，
又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大，
∴，
即，故式子②正确；
∵，，，
∴，故式子③错误；
∵，故式子④正确，
综上，正确的式子有②④．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案．
【详解】如图，连接，连接
由图可知：
∴四边形是平行四边形
在中，有，
∴为直角三角形，
故选：A
8．A
【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形解答即可．
【详解】解：∵直线与函数交于点Ａ，
∴，
解得，，
∴，
∵直线与轴交于点Ｂ，
令，得，
∴，
过点作轴，交反比例函数图象于点C，过点作轴于点Ｅ，过点D作于点F，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴,
∵,
∴,
∴，
∴，
∴,
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握三角函数的计算方法是解题的关键．
过点作于点，如图，在中利用正切的定义得到，则可设，所以，再在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用正切的定义得到，，所以，从而可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
在中，，
∴设，
∴，
在中，，
解得（舍去），
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得．
故选：D．
10．B
【分析】由每次旋转，每旋转6次为一个循环，确定第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，再有点的坐标和特殊角三角函数值，确定，继而可得出菱形和点旋转后的位置，根据图像求解即可．
【详解】解：∵每次旋转，，
∴每旋转6次为一个循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，即菱形绕原点顺时针旋转，
∵点的坐标为，，，
∴与轴的夹角为，，
∴，
∴第2024次旋转结束时点（）的位置如图所示：
∵点的坐标为，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵点是对角线的中点，
∴点的坐标为，即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，点的坐标与图形的旋转，根据特殊角三角函数值求角的度数，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2024次旋转后点的位置是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正方形的性质，作于，由题意可得证明，得出，设，，则，，由全等三角形的性质可得，由正方形的性质，证明，得出，最后再由正切的定义求解即可．
【详解】解：如图：作于，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∵中间为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图2知：，设，当点M在上时，则，利用，即，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出的长，即可解答．
【详解】解：由图2知：，设，
如图所示，当点M在上时，则，
∵，则，
∴
∴，即，
即，
解得，
则函数的对称轴为，
∵，y有最大值，
当时，y取得最大值，则，
解得（舍去负值），
∴，
∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a，
则，
故选：C．
13．/60度
【分析】由，从而可得答案．
【详解】解：如图，，，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数求解锐角的大小，熟记锐角的正切的含义是解本题的关键．
14．
【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可．
【详解】解：由题意，得：海里，
∴海里；
∴渔船每小时航行海里；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
15．75°/75度
【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，关键是熟练应用知识点解题；通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形．
【详解】解：如图分别过作于，于，
∴，
∵每行宽度为的横线纸，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作，
∴，，
∵，
设，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质，分母有理化，解直角三角形的相关计算，求角的正切值．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．
（1）（2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．，
【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．过B作于D，在中求得， ，再在中根据解直角三角形求出，可得答案．
【详解】解：如图，过B作于D，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
20．斜坡下降的高度为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键．
根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：改造前，斜坡坡度，
，
，
（米），
改造后，斜坡坡度，
，
设米，则米，
在中，，且米，
，解得：，
米，
米，
斜坡下降的高度为米．
21．．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
在中，，即，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
．
22．2.8米
【分析】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得，可得．
【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．
由题意得：，，．
设．
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：灯杆的长度为米．
23．(1)小山的高度为；
(2)避雷塔的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由小山的斜坡的坡度为，则可得出，故有，然后代入求解即可；
（）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形，则，，在中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在中，，最后由，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
24．(1)
(2)米
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据仰俯角，平角为即可求解；
（2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解．
【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作，分别交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形、、都是矩形，
∴，
设米，则米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴ ，
解得， （米），
答：桩与桩的距离的长约为米．
25．(1)见解析
(2)这片区域的面积约为平方米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
（1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解；
（2）先根据“正弦定理”求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点， 解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点．
（2）解：，
，
米．
如图，过点作于点，
（米），
（平方米）．
答：这片区域的面积约为平方米．
26．(1)两处之间的距离约为238米
(2)选择线路②较近，说明见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作于点，延长交延长线于点．则四边形是矩形，先根据矩形的性质可得米，再在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后在中，解直角三角形即可得；
（2）先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后比较与的大小即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交延长线于点．
由题意可知，，
∴四边形是矩形，
∴米，
在中，米，
∴米，
在中，（米），
答：两处之间的距离约为238米．
（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，米，米，
∴米，，
在中，（米），
∵米，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴线路①的长为（米），
线路②的长为（米），
因为，
所以选择线路②较近．
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第二十八章 锐角三角函数 章末综合测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．如图所示，在中，是直角边上一点，于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的高．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
6．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
7．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴，交反比例函数图象于点，点在轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，点是边上一点，，则（ ）
A．5 B． C．7 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题
13．中，，，，则 ．
14．如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．
15．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ．
16．如图，把一个长方形卡片放在每行宽度为的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上，已知，则的长约为 （参考数据：）．
17．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图，，，，延长至点，使，连接，得，．类比这种方法得 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，在中，，，，求，的长．
20．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号）
21．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．
22．向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和，且．求灯杆的长度．
23．如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
(1)求小山的高度；
(2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
24．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．
(1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ；
(2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，）
25．阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：．
证明：过点作于点．
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，的对边分别为．求证：
(2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
26．某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，）
(1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）；
(2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C B B A A D B
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据特殊角三角函数值求出的度数，进而求出的度数，再根据正弦的定义即可得到答案．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴．
故选D．
3．D
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是恰当选择三角函数．利用正弦定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵米，坡角，
∴米，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，根据解直角三角形、相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查解直角三角形与三角形的高，证明，由可得，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，是的高，
∴，
∵，，
∴，，
，
，
∴的面积为．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．
【详解】解：∵，，，
∴，故式子①错误；
∵，
又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大，
∴，
即，故式子②正确；
∵，，，
∴，故式子③错误；
∵，故式子④正确，
综上，正确的式子有②④．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案．
【详解】如图，连接，连接
由图可知：
∴四边形是平行四边形
在中，有，
∴为直角三角形，
故选：A
8．A
【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形解答即可．
【详解】解：∵直线与函数交于点Ａ，
∴，
解得，，
∴，
∵直线与轴交于点Ｂ，
令，得，
∴，
过点作轴，交反比例函数图象于点C，过点作轴于点Ｅ，过点D作于点F，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴,
∵,
∴,
∴，
∴，
∴,
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握三角函数的计算方法是解题的关键．
过点作于点，如图，在中利用正切的定义得到，则可设，所以，再在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用正切的定义得到，，所以，从而可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
在中，，
∴设，
∴，
在中，，
解得（舍去），
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得．
故选：D．
10．B
【分析】由每次旋转，每旋转6次为一个循环，确定第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，再有点的坐标和特殊角三角函数值，确定，继而可得出菱形和点旋转后的位置，根据图像求解即可．
【详解】解：∵每次旋转，，
∴每旋转6次为一个循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，即菱形绕原点顺时针旋转，
∵点的坐标为，，，
∴与轴的夹角为，，
∴，
∴第2024次旋转结束时点（）的位置如图所示：
∵点的坐标为，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵点是对角线的中点，
∴点的坐标为，即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，点的坐标与图形的旋转，根据特殊角三角函数值求角的度数，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2024次旋转后点的位置是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正方形的性质，作于，由题意可得证明，得出，设，，则，，由全等三角形的性质可得，由正方形的性质，证明，得出，最后再由正切的定义求解即可．
【详解】解：如图：作于，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∵中间为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图2知：，设，当点M在上时，则，利用，即，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出的长，即可解答．
【详解】解：由图2知：，设，
如图所示，当点M在上时，则，
∵，则，
∴
∴，即，
即，
解得，
则函数的对称轴为，
∵，y有最大值，
当时，y取得最大值，则，
解得（舍去负值），
∴，
∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a，
则，
故选：C．
13．/60度
【分析】由，从而可得答案．
【详解】解：如图，，，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数求解锐角的大小，熟记锐角的正切的含义是解本题的关键．
14．
【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可．
【详解】解：由题意，得：海里，
∴海里；
∴渔船每小时航行海里；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
15．75°/75度
【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，关键是熟练应用知识点解题；通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形．
【详解】解：如图分别过作于，于，
∴，
∵每行宽度为的横线纸，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作，
∴，，
∵，
设，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质，分母有理化，解直角三角形的相关计算，求角的正切值．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．
（1）（2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．，
【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．过B作于D，在中求得， ，再在中根据解直角三角形求出，可得答案．
【详解】解：如图，过B作于D，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
20．斜坡下降的高度为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键．
根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：改造前，斜坡坡度，
，
，
（米），
改造后，斜坡坡度，
，
设米，则米，
在中，，且米，
，解得：，
米，
米，
斜坡下降的高度为米．
21．．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
在中，，即，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
．
22．2.8米
【分析】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得，可得．
【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．
由题意得：，，．
设．
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：灯杆的长度为米．
23．(1)小山的高度为；
(2)避雷塔的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由小山的斜坡的坡度为，则可得出，故有，然后代入求解即可；
（）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形，则，，在中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在中，，最后由，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
24．(1)
(2)米
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据仰俯角，平角为即可求解；
（2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解．
【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作，分别交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形、、都是矩形，
∴，
设米，则米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴ ，
解得， （米），
答：桩与桩的距离的长约为米．
25．(1)见解析
(2)这片区域的面积约为平方米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
（1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解；
（2）先根据“正弦定理”求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点， 解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点．
（2）解：，
，
米．
如图，过点作于点，
（米），
（平方米）．
答：这片区域的面积约为平方米．
26．(1)两处之间的距离约为238米
(2)选择线路②较近，说明见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作于点，延长交延长线于点．则四边形是矩形，先根据矩形的性质可得米，再在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后在中，解直角三角形即可得；
（2）先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后比较与的大小即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交延长线于点．
由题意可知，，
∴四边形是矩形，
∴米，
在中，米，
∴米，
在中，（米），
答：两处之间的距离约为238米．
（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，米，米，
∴米，，
在中，（米），
∵米，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴线路①的长为（米），
线路②的长为（米），
因为，
所以选择线路②较近．
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