第二十八章 锐角三角函数 重点知识点单选 专题练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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第二十八章 锐角三角函数 重点知识点单选 专题练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．如图所示，在中，是直角边上一点，于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的高．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
6．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线与函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴，交反比例函数图象于点，点在轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，点是边上一点，，则（　　）
A．5 B． C．7 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
16．如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ）
A．9米 B．米 C．米 D．米
17．小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（ ）米
A．4.3 B．4.1 C．4 D．3.8
18．在中，若，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
19．在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　）
A． B． C．2 D．
20．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）

A．3 B． C． D．
21．如图，、分别与相切于点A、B，连接并延长与⊙O交于点C、D，若，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
22．如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里
23．如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B B A A D B B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C C C C A D A C B D
题号 21 22 23
答案 B A C
1．D
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据特殊角三角函数值求出的度数，进而求出的度数，再根据正弦的定义即可得到答案．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是恰当选择三角函数．利用正弦定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵米，坡角，
∴米，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，根据解直角三角形、相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查解直角三角形与三角形的高，证明，由可得，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，是的高，
∴，
∵，，
∴，，
，
，
∴的面积为．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．
【详解】解：∵，，，
∴，故式子①错误；
∵，
又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大，
∴，
即，故式子②正确；
∵，，，
∴，故式子③错误；
∵，故式子④正确，
综上，正确的式子有②④．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案．
【详解】如图，连接，连接
由图可知：
∴四边形是平行四边形
在中，有，
∴为直角三角形，
故选：A
7．A
【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形解答即可．
【详解】解：∵直线与函数交于点Ａ，
∴，
解得，，
∴，
∵直线与轴交于点Ｂ，
令，得，
∴，
过点作轴，交反比例函数图象于点C，过点作轴于点Ｅ，过点D作于点F，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴,
∵,
∴,
∴，
∴，
∴,
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握三角函数的计算方法是解题的关键．
过点作于点，如图，在中利用正切的定义得到，则可设，所以，再在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用正切的定义得到，，所以，从而可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
在中，，
∴设，
∴，
在中，，
解得（舍去），
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得．
故选：D．
9．B
【分析】由每次旋转，每旋转6次为一个循环，确定第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，再有点的坐标和特殊角三角函数值，确定，继而可得出菱形和点旋转后的位置，根据图像求解即可．
【详解】解：∵每次旋转，，
∴每旋转6次为一个循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，即菱形绕原点顺时针旋转，
∵点的坐标为，，，
∴与轴的夹角为，，
∴，
∴第2024次旋转结束时点（）的位置如图所示：
∵点的坐标为，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵点是对角线的中点，
∴点的坐标为，即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，点的坐标与图形的旋转，根据特殊角三角函数值求角的度数，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2024次旋转后点的位置是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正方形的性质，作于，由题意可得证明，得出，设，，则，，由全等三角形的性质可得，由正方形的性质，证明，得出，最后再由正切的定义求解即可．
【详解】解：如图：作于，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∵中间为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图2知：，设，当点M在上时，则，利用，即，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出的长，即可解答．
【详解】解：由图2知：，设，
如图所示，当点M在上时，则，
∵，则，
∴
∴，即，
即，
解得，
则函数的对称轴为，
∵，y有最大值，
当时，y取得最大值，则，
解得（舍去负值），
∴，
∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a，
则，
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：由题意，可画图如下：
A、，选项结论错误，不符合题意；
B、，选项结论错误，不符合题意；
C、，选项结论正确，符合题意；
D、，选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
13．C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．由得，求出，进而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
14．C
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可．
【详解】解：，，，
又∵，余弦函数随角增大而减小，且，
∴．
故选：C．
15．A
【分析】此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
在中，由题意得：，
，
，，
，
，
故选：A．
16．D
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：过点B作于点C，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，
∴ ，
∴米，
在中，，由勾股定理得米 ，
故选：D．
17．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设米，则米，从而利用勾股定理可得（米），最后根据，利用关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，
在中，，
∴设米，则米，
米，
，
，
，
解得：，
米，
米，
∴秋千顶与地面距离为4.3米，
故选：A．
18．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分当时和当时两种情况求解即可．
【详解】解：当时，
∴；
当时，
，
∴．
故选C．
19．B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
故选：B．
20．D
【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵矩形中，，
，
，
，
，
故选：D．
21．B
【分析】本题考查圆的切线性质，勾股定理，锐角三角函数，圆周角定理，掌握圆的切线性质，锐角三角函数是解题关键．连接、，根据切线的性质得到，，根据切线长定理得到，证明，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，连接、，

∵、分别与⊙O相切于点A、B，
∴，，，
∴，
∴由圆周角定理得：，，
∴
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
22．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出．
【详解】解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．
，．
在直角中，
，，
.
.
，，
．
在直角中，
，，
．
．
在直角中，
，，
．
故选：A．
23．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握旋转性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键．
如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．求出，，得，，根据，得，即得结论．
【详解】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
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