期末预测综合试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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期末预测综合试题 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．缩小3倍
3．如图，在中，，，平分，为线段的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①② C．①②③ D．①②③④
4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程
聪聪：
明明：
下列判断正确的是（ ）
A．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的单价
B．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的数量
C．明明设的未知量表示“小版邮票册”的单价
D．明明设的未知量表示“小版邮票册”的数量
7．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
8．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
9．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．
10．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
11．对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
12．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（ ）个．
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．因式分解： ．
14．浙江大学团队研发的纳米钙钛矿发光二极管，最小像素尺寸仅米，是迄今报道过的最小像素．将数据用科学记数法表示为 ．
15．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ．
16．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，根据图中规律，展开式中含项的系数是 ．
17．如图，，点A在上，，若，则的度数为 ．
18．如图，在等边中，为中线，点是的中点，点是线段上的动点，连接、，当的值最小时，的度数是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．因式分解：
(1)
(2)
21．先化简，再求值:(1﹣)÷，并在-1，0，1，2中选择一个适当的x值代入求值．
22．解分式方程：（1）；（2）
23．（1）画关于轴对称的图形，并写出的顶点坐标；
（2）若方格的边长为1，则______．
24．如图，在和中，，，与相交于点O．求证：．
25．福州第十九中学科艺节前夕，学校决定购买，两种奖品，用于表彰在科艺节活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多15元，预算资金为1350元，其中450元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍．
(1)求，奖品的单价；
(2)学校计划用不超过765元的总费用购买，两种奖品共20个，且购买奖品的数量多于购买奖品数量的，学校应如何进行购买．
26．（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为______；
②线段、之间的数量关系为______．
（2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A B D A A A
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：将分式中的m、n都扩大为原来的3倍可变为．
所以，分式的值扩大3倍．
故选：B．
3．C
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，，可得，可判断，由等腰三角形的性质可得，可判断，过点D作于F，可得，在中，，即有，故错误，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故正确；
∵，
∴是等腰三角形，
∵点E是的中点，
∴，故正确；
∵，，
∴，故正确；
如图，过点D作于F，
∵平分，，，
∴，
在中，，
∴，故错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
4．D
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，）对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、是整数乘法，故不是因式分解，不符合题意；
B、，不是整式，故不是因式分解，不符合题意；
C、，是单项式，故不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了分式方程中未知数的实际意义．题目中涉及两个未知数，需根据方程结构判断未知数的实际意义．聪聪的方程通过单价差建立等式，而明明的方程通过总数量建立等式．
【详解】解：聪聪的方程为，
方程左边为两个分数相减，右边为单价差55，
∵“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元，
∴为“小版邮票册”的单价，为“邮票合集套装”的单价，
∴表示“小版邮票册”的数量，
故选项B正确，选项A错误；
明明的方程为 ，
方程左边为两个分数相加，右边为总数量35，
∵“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，
∴为“小版邮票册”的数量， 为“邮票合集套装”的数量，
∴ 表示“邮票合集套装”的单价，
故选项C、D均错误．
故选：B．
7．D
【分析】将，进行因式分解，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或；
∴这个三角形一定是等腰三角形．
故选D．
【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是掌握分组法进行因式分解．
8．A
【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，
乙图：作的垂直平分线，交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，
∴，
∴是等腰三角形，
∴甲、乙、丙都正确，
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图 圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案．
【详解】解：，
，
解得：，
∵关于的方程的解是正数，
且，
解得：且．
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
11．D
【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可．
【详解】解：根据题意得，
则，
，
故选：D．
12．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．
由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④．
【详解】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
如图，∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．
故④正确；
综上正确的有：①②④．
故选：C．
13．
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
先提取公因式，再对余下的多项式应用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可．
【详解】解：设这个哨所共有名战士，
第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个，
第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个，
由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有，
故可列方程为：．
故答案为：．
16．6
【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，根据，令，，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴当，时，，
∴含项的系数是6．
故答案为：6．
17．
【分析】本题考查了全等三角形的性质及平行线的性质．利用全等三角形的性质得出，，再利用平行线的性质得出，根据角度的等量代换即可得出．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．60
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是正确将问题进行转化求解．连接，证明垂直平分，得出，说明，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出当B、F、E在同一直线上，且时，最小，即最小，根据三角形外角性质求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵等边，是边上的中线，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当B、F、E在同一直线上，且时，最小，即最小，
如图，过点B作于点E，交于点F，此时最小，
∵等边中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
即当的值最小时，的度数是．
故答案为：．
19．(1)
(2)3
【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，以及单项式乘以单项式，最后合并即可；
（2）原式先计算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算除法，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键．
（1）先提公因式，然后根据完全平方公式，进行求解即可；
（2）先提公因式，然后根据平方差公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．；x=2，值为1．
【分析】根据题意首先计算括号里面减法，再算括号外的除法，化简后，再确定x的值计算即可．
【详解】解：(1﹣)÷
=
将x=2代入可得.
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键是掌握分式的计算法则，正确把分式进行化简．
22．（1）x=-；（2）原分式方程无解．
【分析】（1）方程两边都乘以（x-1）（x+2）化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验即可得；
（2）方程两边都乘以（x+1）（x-1）化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验即可得．
【详解】解：（1）两边都乘以（x-1）（x+2），得：x（x-1）=2（x+2）+（x-1）（x+2），
整理，得：4x+2=0，
解得：x=-，
经检验：x=-是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x=-；
（2）两边都乘以（x+1）（x-1），得：（x+1）2-4=（x+1）（x-1），
整理，得：2x-2=0，
解得：x=1，
检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0，
∴x=1是分式方程的增根，
则原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
23．（1）作图见解析，、、；（2）5
【分析】（1）找出点、、关于轴对称的点、、的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
其中、、．
∴的顶点坐标为：、、．
（2）,
故答案为：5．
【点睛】本题考查利用轴对称变换作图以及割补法求三角形的面积．画一个图形的轴对称图形时，先确定一些特殊点的对称点，一般的步骤是：（1）由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；（2）直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；（3）连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．熟练掌握平面直角坐标系并准确找出各点的位置是解题的关键．
24．证明见详解．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据条件先利用证明，得出，再利用线段的和差，即可证明．
【详解】证明：，
和均为直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
25．(1)奖品的单价为45元，则奖品的单价为30元．
(2)共有三种方案，
方案一：购买奖品的数量为9件，则购买奖品的数量为11件；
方案二：购买奖品的数量为10件，则购买奖品的数量为10件；
方案三：购买奖品的数量为11件，则购买奖品的数量为9件；
【分析】（1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，已知预算资金为1350元，其中450元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍，
列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买奖品的数量为件，则购买奖品的数量为件，根据题意：总费用不超过765元，且购买奖品的数量多于购买奖品数量的，列出一元一次不等式组，解不等式组即可；
【详解】（1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，
由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
当时，，
答：奖品的单价为45元，则奖品的单价为30元．
（2）设购买奖品的数量为件，则购买奖品的数量为件，
由题意得：
，
解得：，
由题意可知：为整数，
∴可以取9、10、11，
∴共有三种方案，
方案一：购买奖品的数量为9件，则购买奖品的数量为11件；
方案二：购买奖品的数量为10件，则购买奖品的数量为10件；
方案三：购买奖品的数量为11件，则购买奖品的数量为9件；
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
26．（1）①，②；（2），，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由全等三角形的性质得出，，由角的和差关系即可求出．由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论；
（3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案
【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
② ∵，
∴；
（2），，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴
∴，，
∴，．
∴．
（3）∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴．
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