28.1 锐角三角函数（第2课时 余弦和正切） 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.1 锐角三角函数（第2课时 余弦和正切） 闯关练
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，已知的边，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点是射线上的任意一点，于，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
6．已知：中，，，，则的值为 ．
7．等腰三角形两条边长分别是，则等腰三角形的底角的余弦值是 ．
8．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为
9．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是 ．
10．如图，已知点E是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点G、H都在边上，若，则的值为 ．
11．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
三、解答题
12．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
13．如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
14．如图，在中，于点D，．
(1)求的长；
(2)求的面积．
15．如图，在中，，垂足是点，若，，求的值．
16．如图，在中，D是的中点，，且，求的值．
17．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若，且，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 A B A A B
1．A
【分析】本题考查了三角函数的定义和一次函数、勾股定理的知识，利用等角的代换，体现了思维的灵活性．根据一次函数的性质，求出点A、B的坐标，得到、的长度，再根据三角函数的定义即可求出的值．
【详解】直线的方程为
当时，；当时，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
．
故选：A．
2．B
【分析】设正方形网格的小正方形的边长为１，根据题意，得，则，利用余弦的定义解答即可．
本题考查了勾股定理，余弦计算，熟练掌握定理和定义是解题的关键．
【详解】解：设正方形网格的小正方形的边长为１，如图，根据题意，得，则，
故，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
故选A．
4．A
【分析】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
根据正切的定义即可得到答案．
【详解】解：，，
故选：A ．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可．
【详解】解：根据已知，，不妨设，则，
故．
故选：B．
6．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，求正弦，画出图形根据等腰三角形三线合一的性质和正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴腰长为，
如图，为等腰三角形，，，为底边上的高，
∴，
其底角的余弦值，
故答案为：．
8．5
【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
9．/0.5
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．
连接，，由，得到，由，得到，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出，由勾股定理求出，即可由求解．
【详解】解：连接，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴A、C、D共线，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求的正切值转化为求的正切值是解题的关键．根据题意得知，，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
设，则，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案．
本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作交于点M，
则，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得．
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；
（2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．(1)5
(2)2
【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到；
（2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于，如图所示：
设，
在中，，则，
即，解得，
，
，解得，
∴，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，则，
，
∴，
∴；
（2）解：∵为中线，，
∴，
，
∴，
在中，，，则．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键．
14．(1)
(2)432
【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键．
（1）根据正切的定义求解即可得；
（2）先利用勾股定理可求出的长，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
15．
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．首先根据的三角函数求出的长度，然后得出的长度，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可．
【详解】解：，
．
，，
，
．
在中，
，
．
16．
【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值．
【详解】解：过点D作，交于E，如图，
∴，
在中，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
在中，，，
∴，
∴．
17．(1)1，1，1
(2)1
(3)证明见解析
(4)
【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；
（2）由（1）中运算结果即可得到答案；
（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：1，1，1；
（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，
故答案为：1；
（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，
由勾股定理即可得到，
，
；
（4）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
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