28.1 锐角三角函数（第3课时 求锐角的三角函数值） 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.1 锐角三角函数（第3课时 求锐角的三角函数值）
闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
3．如图，在中，，点D是边上一点，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，若点E为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图，已知的两条弦相交于点，那么的值为（　）
A． B． C． D．
5．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
6．题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．规定：，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ．
11．若，则锐角 °．
12．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
13．在锐角三角形中，已知，满足，则 ．
14．在中，若，，都是锐角，则的形状是 ．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
16．已知是锐角，且，求和的值．
17．已知α是锐角，且，计算∶
18．人教版初中数学八年级下册第页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题．
(1)填空： ；
(2)求的度数．
19．若，，为的内角，试确定三角形的形状．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D D B C C C
1．B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，特殊角的三角函数值，连接，由勾股定理可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即得，再根据特殊角的三角函数值即可求解，得出为等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，
由勾股定理可得，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题主要考查了三角函数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，然后在乘法，最后算加法即可．
【详解】解：
，
故选：C．
3．D
【分析】根据题意得到，，然后证明出，求出，进而求解即可．
【详解】∵，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数，折叠的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是求出．
4．D
【分析】此题重点考查学生对圆内角的大小的理解，对顶角相等是解本题的关键根据已知角和对顶角相等，可以求出的大小，进而得出的值
【详解】已知的两条弦，相交于点，,
,
∵
故选：
5．B
【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键．
先利用切线的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而利用四边形内角和是可得，然后利用周角定义可得所对的圆心角度数，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
【详解】解：帽子的边缘，分别与相切于点，，
，
，
，
，
所对的圆心角度数，
的长，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，运用分类讨论的思想，由题意，画出图形，有两种情况．利用含角的直角三角形的性质可得出，勾股定理得出，进一步可得出，，则可得出或．
【详解】解：由题意，画出图形，有如下两种情况．
∵，，
∴点A到边的距离．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴或．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、根据特殊角三角函数值求角的度数、弧长公式等知识，根据于点，垂径定理计算，根据勾股定理，结合，，，得出求解，计算出，推出，根据弧长公式求出的长即可，灵活运用知识点求出半径、的度数、运用弧长公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵于，，点是这段弧所在圆的圆心，
∴，，，
又∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式．
【详解】解：A．，故此结论不正确；
B．，故此结论不正确；
C．，故此结论正确；
D．，故此结论不正确；
故选：C．
9．/
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
证明是等边三角形，得出，根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：根据作图可得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
11．45
【分析】本题考查了根据三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值可得，求解即可．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故答案为：．
12．150
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵直尺的对边平行，
∴，
∴；
故答案为：
13．
【分析】根据实数的非负性，得计算，利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
14．钝角三角形
【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的形状是钝角三角形；
故答案为钝角三角形．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用二次根式的性质，特殊角的三角函数，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果；
（2）原式利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的三角函数值，进行计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
．
16．，
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，先由是锐角，且得到，即得，，再把的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵是锐角，且，
∴，
∴，，
∴
；
．
17．
【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算，根据题意得，然后代入计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键
【详解】解：∵α是锐角，且，
∴，
∴，
∴
18．(1)
(2)
【分析】本题考查折叠的性质， 三角函数的应用，理解折叠的性质是解本题的关键；
（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；
（2）由（1）可知，可得到，继而得到，即可得解；
根据折叠得到对应的边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知：，，
∴，
故答案为：；
（2）由折叠可知：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
19．为直角三角形
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由，
得，
则，
度．
为直角三角形．
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