28.2.1 解直角三角形 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.2.1 解直角三角形 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．在中，，，，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，在矩形中，，，F为的中点，点E、P分别为、上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
3．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝2，则DE＋DF＝(　　)
A．1 B． C． D．
4．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．5
5．将一副三角板如图叠放，交点为O．则与面积之比是（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（ ）.
A．2 B． C． D．1
7．如图，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且sinB=，点E在AC上且AE：EC=2：3，则tan∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，以2cm的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
二、填空题
9．中，若，，，则的面积为 .
10．在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tanA＝ ．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，其中一个锐角为60°，AB=10．若点Q在直线AB上(不与点A、B重合)，当∠QCB=30°时，CQ的长为 ．
12．如图，中，，点D为AB上一点，过点D作，垂足为E，且，若，，则线段 ．
13．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C的坐标是（3，3），过点C且平行于AB的直线交反比例函数y＝（k≠0）的图象于M，N点，则S△MON＝ ．
14．如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ．
三、解答题
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形；AB=20，A=45°
16．如图，在中，于D，，，，求的值．

17．已知在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，，求的长．
19．△ABC的三边长分别为AB＝1，BC＝，AC＝，求∠ACB的正弦值．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作∠A的平分线交BC边于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，已知∠B＝30°，AC＝6，则线段AD的长是　 　．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D B A D A
1．B
【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理，即可求出b．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a=2，CA=b，AB=c，
cosB===，
∵BC=a=2，，
∴c=6，
∴b===．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
2．C
【分析】作点F关于的对称点，过点作于点P，由对称性质可知，∴的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出PF’故可求解.
【详解】如解图，作点F关于的对称点，过点作于点P，由对称性质可知，
∴的最小值即为的值，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为.
【点睛】中等难度题.失分的原因有2个：（1）不能灵活运用矩形的性质；（2）未掌握利用对称性质求最值的方法.
3．C
【详解】解：根据题意，设BD＝x，则CD＝2－x，
然后根据等边三角形的性质可知∠B＝∠C＝60°，
再根据解直角三角形可知：
DE＝BDsin 60°＝x，DF＝CDsin 60°＝.
所以DE＋DF＝x＋＝.
故选C.
【点睛】本题主要考查了学生运用等边三角形的性质及常用三角函数来解直角三角形的能力，关键是明确直角三角形的边角关系．
4．D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．根据，可得，设，则，，利用勾股定理求得，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
设，则，，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
【详解】如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA= = ，
∴BE=5DE．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6 ，
∴AE+BE=AE+5AE=6 ，
∴AE= ，
∴在等腰直角△ADE中，
由勾股定理，得AE=，AD=2．
故选：A.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
7．D
【分析】作EF∥CD，根据设AD=4x、AC=5x，知CD=3x，再由AE：EC=2：3分别表示出DF、AF、EF的长，继而可得∠ADE的正切值．
【详解】解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵，
∴设AD=4x，则AC=5x，CD=3x，
∵
∴．
∵，
∴．
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、比例线段的性质等知识点，构建以∠ADE为内角的直角三角形是解题的出发点，根据已知条件表示出所需线段的长度是关键．
8．A
【分析】计算C点到AB上的高即可判断；
【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
由题意得：AB×=5，AB=cm，
由勾股定理得：BC=cm，
Rt△BCD中，CD=BCsin∠B=3cm，
∵2cm＜3cm，
∴圆与AB相离，
故选： A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关键．
9．
【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】解：如图，作于点D，则，
在中，
所以的面积为
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.
10．
【分析】根据勾股定理，计算AC=8，根据正切的定义计算即可．
【详解】如图，
∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，
∴∠C=90°，AC==8，
∴tanA==，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
11．5或或
【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：（1）当∠ABC=60°时，则BC=AB=5，
当点Q在线段AB上时，

∵∠QCB=30°，
∴CQ⊥AB，
则QC=BCcos30°=5×=；
当点Q（Q′）在AB的延长线上时，
∵∠Q′CB=30°，∠ABC=60°，
∴Q'C=2QC=．
（2）当∠ABC=30°时，如图，
∵∠QCB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACQ=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△QAC为等边三角形．
∴QC=AC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=5．
∴QC=5．
综上，QC的长为：5或或．
故答案为：5或或．
【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
12．1
【分析】作，由，得，设，证明可得，在中，由勾股定理得：，解得，，，即可解决问题．
【详解】解：作于H，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程的求解，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
13．
【分析】先求OC解析式为y=x，说明点O为AB中点，根据△ABC为等边三角形，可得OC⊥AB，∠ACO=，根据勾股定理OC=，根据三角函数AO=OCtan30°=，再说明∠AOy=45°，根据三角函数求出点A（-），可求反比例函数y＝，再求OA解析式为，根据MN∥AB，求出MN解析式为，根据点M、N又在反比例函数y＝图像上，得出方程组，求出点M（，），点N（，）利用勾股定理求出NM=根据三角形面积即可求解．
【详解】解：∵点C（3，3），
∴OC解析式为y=kx，过点C，代入点C坐标的，
∴3=3k，
∴k=1，
∴OC解析式为y=x，
∵点A，点B在反比例函数图像上，
∴点A，点B关于原点O对称，点O为AB中点，
∵△ABC为等边三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO=，
∴根据勾股定理OC=，
∴AO=OCtan30°=，
∵AB⊥OC，OC解析式为y=x，
∴∠COy=45°，
∴∠AOy=45°，
∴点A的纵坐标为，点A的横坐标为，
∴点A（-），
∵点A在反比例函数y＝图像上，
∴k=，
∴反比例函数y＝，
设OA解析式为y=k1x，代入点A坐标得，
，
解得：，
∴OA解析式为，
∵MN∥AB，
设MN解析式为，过点C，
∴，
解得，
∴MN解析式为，
点M、N又在反比例函数y＝图像上，
∴，
消去y得，
解得，
∴，
∴，，
点M（，），点N（，），
∴NM=，
∴S△MON=．
故答案为．
【点睛】本题考查正比例函数解析式，反比例函数解析式，等边三角形性质，锐角三角函数，方程组，一元二次方程的解法，三角形面积，本题较难，涉及知识多，是填空题中压轴题，综合掌握知识是解题关键．
14．
【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．连接．首先证明当共线时，的值最小，最小值为线段的长，由等腰直角三角形求得的长，进而求得，由勾股定理求得结果．
【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接，
则，
是等边三角形，
，
，
∴当共线时，的值最小，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，
，
，
作于．则
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
15．∠B=45°，AC=BC=
【分析】可根据已知条件求出∠B，再根据求出BC，进而求出AC．
【详解】∵∠C=90°，A=45°
∴∠B=45°
∵，AB=20
∴BC=
∴AC=BC=
∴∠B=45°，AC=BC=
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握直角三角形的两个锐角互余及三角函数的定义是关键．
16．
【分析】先解求出，则由勾股定理可得，即可求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
18．
【分析】作，垂足为，解直角三角形求出，，可得结论．
【详解】解：如图，作，垂足为，
在中，，，
．
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
19．sin ∠ACB＝.
【分析】根据勾股定理，列方程求解，可得CD的长，再根据勾股定理，可得BD的长，根据三角函数的正弦，可得答案．
【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于D.
设CD＝x，则AD＝－x.
∵在Rt△BCD中，BD2＝BC2－CD2＝2－x2，
在Rt△BAD中，BD2＝AB2－AD2＝1－(－x)2，
2－x2＝1－(－x)2，
解得x＝，
BD＝＝，
sin ∠ACB＝＝＝.

【点睛】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理得出CD的长是解题关键.
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）依据角平分线的作图方法即可得到AD；
（2）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠CAD的度数，进而得出AD的长．
【详解】解：（1）以A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交AC、AB于M、N，然后分别以M、N为圆心，大于MN为半径作弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点D，如图所示，AD即为所求；
（2）∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝30°，
∴Rt△ACD中，AD＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是作角平分线和解直角三角形，掌握利用尺规作图作一个角的角平分线和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
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