28.2.2 应用举例 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.2.2 应用举例 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）．

A．30° B．40° C．50° D．60°
2．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，则的长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．12米
3．一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
4．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆的长为（　　）

A．8米 B．米 C．米 D．米
6．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（　　）米（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
A．91.1 B．91.3 C．58.2 D．58.4
7．如图，登山爱好者在山脚A处测得山顶B处的仰角∠BAC为30°，在坡比为5：12的山坡AD上走1300米到达D处．已知BD的坡比为1：1，则山的高BC为（　 ）米．

A． B． C．1000 D．
8．如图，在塔前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为，则塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
二、填空题
9．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
10．小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为 ．（结果精确到．参考数据：）
11．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为 米．
12．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和．则该电线杆的高度是 （结果可保留根号）．
13．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．

14．如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是 海里．
三、解答题
15．公园里有一座假山，在B点测得山顶H的仰角为45°，在A点测得山顶H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH．（结果保留根号）
16．如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？
17．如图，某小区楼房附近有一个斜坡，坡角为30°，小王发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡脚到楼房的距离CB=8m．在D点处观察点A的仰角为60°．求楼房AB的高度（结果保留根号）．
18．如图，从A地到地的公路需经过地，图中，，，因城市规划的需要，将在A、两地之间修建一条笔直的公路，求改直的公路的长．（参考数据：，，）（结果保留整数）
19．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，坡CD的坡度i=1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为，然后沿方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为，测角仪的高度为1.6m．参考数据：，，，．

(1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A C B A D
1．B
【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．
【详解】解：过A点作AC⊥OC于C，

∵∠AOC=50°，
∴∠OAC=40°．
故此时观察楼顶的仰角度数是40°．
故选：B．
【点睛】考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．
2．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据题意可以求得米，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
3．B
【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．
【详解】解：如下图所示：
由题意即图可知：，，
在中，由勾股定理可得：，
坡度为：．
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．
4．A
【分析】过点A作于D，根据轴对称图形得性质即可得，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作于D，如图所示：
∵，，
∴，
房顶A离地面的高度为：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握利用正弦值及斜边求一条直角边，是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的中点定义即可解答．
【详解】解：由题意得：米，
在中，，
∴（米），
∵点C是AB的中点，
∴（米），
∴电线杆AB的长为米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解解直角三角形求得是解答本题的关键．
6．B
【分析】作CP⊥BE、CQ⊥DE，设AP＝x，知CP＝x，根据BP＝CP建立方程求出x的值，即可得CP＝QE＝100+300，QD＝CP﹣DE＝100﹣100，由＝知＝，从而得CD＝QD，即可得出答案．
【详解】解：如图，作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q，
由题意知∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，
设AP＝x，则CP＝＝＝x，
∵∠BCP＝45°，
∴BP＝CP，即x＝200+x，
解得：x＝100+100，
∴CP＝x＝100+300，
∵DE＝400，
∴QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝100+300﹣400＝100﹣100，
∵＝，
∴＝，
则CD＝QD＝（100﹣100）≈91.3（米），
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
7．A
【详解】解：如图：

∵DE：AE=5：12，
设DE=5x，AE=12x，则AD=，
∴DE：AE：AD=5：12：13，
∵AD=1300米，
∴AE=1200米，DE=500米，
设EC=y米，
∵BD的坡比为1：1，
∴ BF=y米．
又∵∠BAC=30°，
∴AC=CB．
即：1200+y=（500+y），
解得y=350-150．
∴BF=350-150，
∴CB=BF+CF=350+350（米）．
故选A．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
8．D
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设（米），再利用的关系，进而可解即可求出答案．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
设AB=x（米），
∵，
∴．
∴
∴米．
故选∶D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
9．/30度
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【详解】解：如图，

由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
10．11m
【分析】过D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解决问题．
【详解】如图，过D作DE⊥AB，则四边形BCDE是矩形，
∴BC=DE，BE=CD，
∵ 在D处测得旗杆顶端A的仰角为52 ，
∴∠ADE=52 ，
∵BC=DE=8m，
∴AE=DE tan52 ≈8×1.28≈10.24m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.
∴AB约为：11m.
故答案为：11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键．
11．3
【分析】根据AB的坡度即为BC：AC，从而求出BC的长.
【详解】解：∵AB的坡度为i＝1：2.5， BC⊥AC，大厅水平距离AC的长为7.5m，
∴BC：AC＝1：2.5，
则BC＝7.5÷2.5＝3（m）．
故答案为3．
【点睛】此题考查的是坡度，熟知坡度的公式：坡面的垂直高度和水平距离的比，是解决此题的关键.
12．
【分析】延长交直线于点，设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在中，利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
【详解】延长交直线于点，设米，
在中，
∵，
∴米，
在中，
∵，米，
∴米．
∵米，
∴，
∴米，
∴米．
在中，
∵，，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是解本题的关键．
13．
【分析】在图中共有三个直角三角形，即、，利用、以及坡度比，分别求出、、，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【详解】解：作于点，于点，
在中，，，
（米）．
设米，
，
．
在中，，，，
，
，
解得．
答：此人所在位置点的铅直高度米，
故答案为：．

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
14．30
【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【详解】根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°-30°=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=60×0.5=30，
∴AC=BC=30（海里）．
故答案为30．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
15．（）米．
【分析】设CH=xm, 根据仰角的定义得到 再根据等腰三角形的性质得BC=CH=x，根据含的直角三角形三边的关系得解出即可．
【详解】解： 如图,设CH=xm,由题意得
在中，BC=CH=x，
在中,
∵AB+BC=AC，
解得
所以假山的高度CH为 米．
16．C点距离雷达站D是km．
【分析】先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可．
【详解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝,
∴AD＝4×＝ (km)；
在Rt△ACD中,cos∠CDA＝,
∴CD＝＝ (km)．
∴C点距离雷达站D是km．
【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合．
17．AB=12+
【分析】作DE⊥BC，DF⊥AB，根据正弦、余弦的定义求出DE、EC，根据正切的概念求出AF，计算AF+FB即可得到AB的高度．
【详解】解：作DE⊥BC，DF⊥AB，
在Rt△CDE中，
∵CD=6，∠DCE=30°，
∴DE=6×sin30°=3=FB，EC=6×cos30°=，
∴EB=EC+CB=，
在Rt△ADF中，
∵∠ADF=60°，DF=EB=，
∴AF=DF×tan60°=9+，
∴AB=AF+FB=12+；
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握解直角三角形是解题的关键.
18．改直的公路的长为
【分析】过点C作于点D，在中根据求出的长，由求出的长，同理可得的长，根据可得结论．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
在中，，
，
，
，
，
，
答：改直的公路的长为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形，求出相关线段．
19． 米.
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，由已知可求∠DCF=30°，可求DF，利用勾股定理可求CF，由题意得∠E=30°，可求 EF，BE，利用AB=BE×tanE即可计算得解．
【详解】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，则∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF=，
由题意得∠E=30°，则 EF=
∴BE=BC+CF+EF=6+4，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．
20．(1)12.3m
(2)0.3m
【分析】（1）过点A作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点D ，m，利用即可求解；
（2）用即可．
【详解】（1）解：过点A作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点D．

则，
由题意得：m，m，，，
设m，则m，m，
在中，
，
∴m，
∴m，
即观星台最高点A距离地面的高度约为m．
（2）解：m．
∴本次测量结果的误差为0.3m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用题中信息是解题关键．
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