28.1 锐角三角函数（第1课时正弦） 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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28.1 锐角三角函数（第1课时正弦） 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将放在正方形网格纸上，点，，都在格点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
7．如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，若，则的值为 ．
10．在中，，，，则的值是 ．
11．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ．
12．如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是 ．
13．已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是
14．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ．
15．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，边在x轴上， ，点，若点C在一个反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式是 ．
三、解答题
16．如图，在中，，于点，是的中点，连接，，．
(1)求线段的长．
(2)求线段的长．
17．如图，在中，D是的中点，，且，求的值．
18．如图，在四边形中，，相交于E，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C B B B C
1．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键．
【详解】解：如图，设，则，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．B
【分析】本题考查正弦的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握锐角三角函数的定义及构造直角三角形求锐角三角函数是解题的关键．连接，设每个小正方形网格的边长为，分别利用网格求出，，，利用勾股定理逆定理判定，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接，设每个小正方形网格的边长为，

∴，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查坐标与图形，求角的正弦值，过点作轴，得到，进而得到，勾股定理求出，利用正弦的定义进行求解即可．
【详解】解：过点作轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
4．C
【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解．
【详解】
解：根据网格可得： ，，,，
，
是直角三角形，
，
故选: C．
5．B
【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
根据同弧所对的圆周角相等得到，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的值，即为的值．
【详解】解：∵与所对的都是，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
则，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可．
【详解】解：在中，，
即，
解得：．
由勾股定理得，，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，根据题意得出，，勾股定理求得，进而可得，最后利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵菱形周长为，
∴
∵，，
∴，则
∴
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴，
解得：，即坡面的长度为．
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了正弦的定义，理解正弦的定义是解题的关键．
直接运用正弦的定义即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
10．/
【分析】本题主要考查了解三角形，勾股定理等知识点，如图，过点作，交延长线于点，则，求出，进而得到，再利用勾股定理求出，利用正弦的定义，即即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点D，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦；取格点，连接，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，连接，
∵，，
∴
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值，根据“弦图”已知数据求得每个直角三角形的斜边长为，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，
∴每个直角三角形的斜边长为，
∵直角三角形的较小的锐角为，即边长为5所对的直角三角形的锐角．
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，如图：过点P作轴：
∵与x轴正半轴夹角的正弦值为，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键．
由题意可得，进而解答，然后求出即可．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴，即，解得：，
∴木杆折断之前高度为．
故答案为．
15．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，菱形性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，先根据三角函数公式求出点C的坐标，再根据待定系数法求解．
【详解】解：在菱形中，，
过C作于点D，
则：，
解得：，
，
，
设反比例函数的解析式为：，
，
故答案为：．
16．(1)25
(2)7
【分析】本题主要考查了正弦函数、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握正弦函数成为解题的关键．
（1）在中运用正弦函数可得，然后再根据直角三角形的性质即可解答；
（2）先运用勾股定理求得，再中运用正弦函数求出，然后利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，即，解得：，
∵是的中点，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴．
17．
【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值．
【详解】解：过点D作，交于E，如图，
∴，
在中，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
在中，，，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，对顶角性质，根据正弦值求边长．
（1）直接根据有两角相等证明，再根据相似三角形的性质得出结论；
（2）由正弦概念可得，再证明，得出，代入，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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