第二十八章 锐角三角函数 章末综合检测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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第二十八章 锐角三角函数 章末综合检测试题
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若点B为OE的中点，则cosE的值为（　　）

A． B． C． D．
3．在中，，若，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）

A． B． C． D．
6．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为（ ）
A．海里 B．6海里 C．海里 D．3海里
7．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长(　　)
A．2 km B．(2＋)km C．(4－2) km D．(4－) km
9．在中，，，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
10．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了 m．
12．已知，且，则的值为 ．
13．在平面直角坐标中，已知的顶点A的坐标是，，且，则点的坐标为 ．
14．如图，已知ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁作等边三角形PCD和等边三角形QCD，那么的值为 ．
15．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若＝，则这条射线是
16．如图，中，，以AC为边作等边，过D作，垂足为E，若，，则 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，，，求，的长．
19．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号）
20．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．

21．向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和，且．求灯杆的长度．
22．如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
(1)求小山的高度；
(2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
23．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．
(1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ；
(2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，）
24．阅读下列材料：如图1，在中，的对边分别为．求证：．
证明：过点作于点．
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，的对边分别为．求证：
(2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
25．某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，）
(1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）；
(2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B C C B C C C
1．B
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【详解】解：．
故选：．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．
2．B
【分析】首先证明OE＝2OA，由∠EAO＝90°，推出sin∠E＝＝，可得∠E＝30°即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵BE＝OB，
∴OE＝2OA，
∵OA⊥AE，
∴∠EAO＝90°，
∴sin∠E＝＝，
∴∠E＝30°，
∴cos∠E＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知矩形的性质及三角函数的定义.
3．C
【分析】本题考查三角函数定义，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
先根据三角函数的定义得，从而求得，进一步求得，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可．
【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示；
∵，；
∴，；
∴在中；
；
∵；
∴；
整理得：；
，（舍）；
∴；
故选．

5．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，构造直角，根据的直角三角形的性质求出的值即可；作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】
解：
如图，．
在直角中，，，，
．
即这名滑雪运动员的高度下降了．
故选：．
6．C
【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．
【详解】如图，作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵AB＝20海里，∠BAH＝30，
∴∠ABH＝60，BH＝AB＝10（海里），
在Rt△BCH中，
∵∠CBH＝∠C＝45，BH＝10（海里），
∴BH＝CH＝10海里，
∴CB=＝（海里）．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用 方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．B
【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．
【详解】解：由，可设，则，根据得．
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
8．C
【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，设AB=x，则DE=2-x，EC=（2-x），再根据DE+EC=CD列出方程2-x+（2-x）=2，求解即可．
【详解】
解：在CD上取一点E，使BD=DE，
可得：∠EBD=∠BED =45°，
∵从A测得船C在北偏东45°的方向，
∴AD=DC=2，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC．
设AB=x，则DE=BD=AD-AB=2-x，
∴EC=BE=BD=（2-x），
∵DE+EC=CD，
∴2-x+（2-x）=2，
解得x=4-2，即AB=4-2．
故选C．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，设AB=x，得到EC=BE=BD=（2-x）是解题关键．
9．C
【分析】题目中没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
①当为斜边，．
，，
．
；
②当为斜边，．
由勾股定理得：．
；
综上所述，的值等于或，
故选C．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．
10．C
【详解】本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C．
11．．
【详解】试题分析：根据题意作出图形，可得BC：AB=1：3，设BC=x，AB=3x，根据勾股定理可得AC2=AB2+BC2，代入求出x的值．
解：设BC=x，AB=3x，
则AC2=AB2+BC2，
AC==10，
解得：x=．
故所在的位置比原来的位置升高了m．
故答案为．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
12．
【分析】首先证明，把已知条件两边都乘以2，然后再根据，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出与的取值范围，从而得到，然后开方即可得解．
【详解】解：如图，△ABC中，∠C=90°，
，，
而，
，
即，
，
，
，
即，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好，并求出是解题的关键．
13．或
【分析】先根据得出，求出，根据勾股定理求出，，设点B的坐标为，利用两点间距离公式列出方程，求方程的解即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵顶点A的坐标是，
∴，
在中根据勾股定理可得，，
即，
解得：，，
设点B的坐标为，
，
即，
，
即，
得：，
即，
把代入②得：，
解得：，，
把，分别代入得：
，，
∴点B的坐标为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角函数的应用，两点间距离公式，解题的关键是求出的三边长，设点B的坐标为，根据两点间距离公式列出方程，解方程．
14．
【分析】延长QP交AB于F，根据正方形与等边三角形的性质可得CD=CP=DP=DQ=CQ，DE=CE，QE=PE，再利用=求解即可.
【详解】
如图，延长QP交AB于F，
∵四边形ABCD为正方形，△PCD与△QCD是以CD为边的等边三角形，
∴四边形PCQD为菱形，
设正方形的边长为a，则可得，
PE=QE=a，DE=EC=a，
∴==.
故答案为.
【点睛】本题考点：正方形的性质，等边三角形的性质与解直角三角形，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
15．OA
【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案．
【详解】解：设每个小网格正方形的边长为1，
因为A(3，4) ，根据勾股定理，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故射线OA符合题意；
因为B(4，3) ，根据勾股定理，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故射线OB不符合题意；
因为C(4，2) ，根据勾股定理，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故射线OC不符合题意；
因为D(1，4) ，根据勾股定理，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故故射线OD不符合题意；
故答案为：OA．
【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键．
16．
【分析】延长到点，使得，连接并延长交延长线于点，过点作，通过全等三角形，求得的长度，再根据直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】解：延长到点，使得，连接并延长交延长线于点，过点作，如下图：
∵为等边三角形
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴，
故答案为
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是根据题意构造出全等三角形和直角三角形．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．
（1）（2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．过B作于D，在中求得， ，再在中根据解直角三角形求出，可得答案．
【详解】解：如图，过B作于D，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
19．斜坡下降的高度为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键．
根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：改造前，斜坡坡度，
，
，
（米），
改造后，斜坡坡度，
，
设米，则米，
在中，，且米，
，解得：，
米，
米，
斜坡下降的高度为米．
20．．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
在中，，即，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
．
21．2.8米
【分析】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得，可得．
【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．
由题意得：，，．
设．
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：灯杆的长度为米．
22．(1)小山的高度为；
(2)避雷塔的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由小山的斜坡的坡度为，则可得出，故有，然后代入求解即可；
（）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形，则，，在中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在中，，最后由，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
23．(1)
(2)米
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据仰俯角，平角为即可求解；
（2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解．
【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作，分别交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形、、都是矩形，
∴，
设米，则米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴ ，
解得， （米），
答：桩与桩的距离的长约为米．
24．(1)见解析
(2)这片区域的面积约为平方米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
（1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解；
（2）先根据“正弦定理”求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点， 解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点．
（2）解：，
，
米．
如图，过点作于点，
（米），
（平方米）．
答：这片区域的面积约为平方米．
25．(1)两处之间的距离约为238米
(2)选择线路②较近，说明见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作于点，延长交延长线于点．则四边形是矩形，先根据矩形的性质可得米，再在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后在中，解直角三角形即可得；
（2）先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后比较与的大小即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交延长线于点．
由题意可知，，
∴四边形是矩形，
∴米，
在中，米，
∴米，
在中，（米），
答：两处之间的距离约为238米．
（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，米，米，
∴米，，
在中，（米），
∵米，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴线路①的长为（米），
线路②的长为（米），
因为，
所以选择线路②较近．
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