带电粒子在复合场中的运动
1 带电粒子在组合场中的运动
类型1 电磁组合
(2025·泰州四模)如图所示，在xOy坐标平面第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，在其他象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小相等．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A点，以初速度v0沿着x轴负方向射入匀强电场，经过一段时间从P点与x轴负方向成30°角进入磁场，已知P点坐标(－L,0)，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，粒子重力忽略不计．求：
(1) 电场强度E大小．
(2) 磁感应强度B大小和粒子从离开A点至第二次到达x轴的时间t.
(3) 若第四象限的磁感应强度增大为原来的k倍(k>1)，放在x轴上x0＝4L(图中Q点)的粒子接收器能接收到粒子时k的值．
答案：(1) (2) (3) 2或4
【解析】(1) 粒子在电场中做类平抛运动，有v0t1＝L，v0tan 30°＝at1，qE＝ma
联立解得E＝
(2) 在磁场中运动速度v＝＝v0
轨迹如图所示
其中sin θ＝，则R＝＝2L
又Bqv＝m，解得B＝
在电场中运动时间t1＝
在磁场中运动时间t2＝T，其中T＝
联立解得t＝t1＋t2＝
(3) 粒子的运动轨迹如图所示
第四象限内磁场为原来的k倍，则r＝
若粒子从x轴上方到达Q
有R＋n(R＋r)＝4L
解得k＝，式中n只能取1，故k＝2
若粒子从x轴下方到达Q
有R＋n(R＋r)＋r＝4L
解得k＝，式中n也只能取1，故k＝4
综上，粒子接收器能接收到粒子时k的值为2或4.
类型2 磁磁组合
如图所示，y方向足够长的两个条形区域，宽度分别为l1＝0.1 m和l2＝0.2 m，两区域分别分布着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度B2＝0.1 T．现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度v＝2×106 m/s不断沿x轴正方向射入磁场，由于B1的大小在0～0.5 T范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电粒子的电荷量q＝－2×10－8 C，质量m＝4×10－16 kg，不考虑带电粒子的重力．求：
(1) 要使粒子能进入B2的磁场，B1应满足的条件．
(2) 粒子在条形区域内运动的最短时间t.
(3) 粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标y.
答案：(1) 0≤B1<0.4 T (2) 1.26×10－7 s (3) m
【解析】(1) 当带电粒子在B1磁场中做圆周运动的半径大于l1时粒子能进入磁感应强度为B2的磁场
qvB1＝m
当r＝l1时B1＝
代入数据得B1＝0.4 T
因此B1满足的条件为0≤B1<0.4 T
(2) 当B1＝0时，粒子水平向右进入B2磁场
qvB2＝m，解得r2＝0.4 m
粒子从右边界MN飞出，如图所示
由几何关系可知sin θ2＝＝，即θ2＝30°
粒子在两个条形区域运动的时间为
t1＝＋＝1.55×10－7 s
随着B1的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的运动时间先增大，后减小，当B1达到最大值0.5 T时，粒子从左边界飞出，运动时间为
t2＝＝4π×10－8 s＝1.26×10－7 s所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t2＝1.26×10－7 s
(3) 设A1为粒子从MN射出的最高点，则A1为轨迹与边界MN的切点，如图所示，O1为粒子在B1磁场中运动的圆心，O2为粒子在B2磁场中运动的圆心，由几何知识可得
O2C2＝r2－(l1＋l2)＝0.1 m
sin θ1＝＝，得θ1＝30°
由几何知识知此时r1＝＝0.2 m
A1的纵坐标y1＝r1(1－cos θ1)＋r2cos θ1＝ m
粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标
y＝2y1＝ m
组合场中的常见运动及处理方法
(2025·苏州期中)如图所示，xOy平面内，0≤yL区域内存在沿x轴正方向的匀强电场．在坐标原点O有一粒子源，分别沿x、y轴正方向以相同速率v0发射带正电粒子a、b，两粒子质量均为m，电荷量均为q.粒子b离开磁场时的速度与x轴负方向的夹角为60°，之后粒子b从[0，(1＋)L]处经过y轴．不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用．
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 求匀强电场的场强大小E.
(3) 若粒子a、b同时离开磁场，求两粒子从O点发射的时间差，以及粒子b在电场中经过(x0，y0)处时对应的粒子a的位置坐标．
答案：(1) (2)
(3)
【解析】(1) 设粒子b在磁场中运动的半径为R，其运动轨迹如图所示
由几何关系有Rcos 60°＝L，得R＝2L
又由洛伦兹力提供向心力qv0B＝
联立解得B＝
(2) 粒子b在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，沿x轴方向做匀变速直线运动，如图所示
设粒子b在电场中运动时间t1后到达[0，(1＋)L]处，沿y轴方向 L＝v0sin 60°t1
解得t1＝
沿x轴方向 R(1－sin 60°)＝－v0cos 60°·t1＋·t
联立解得E＝
(3) 由分析知，粒子a、b在磁场中运动的半径和周期均相等，设周期为T，则T＝＝
粒子a在磁场中运动的轨迹如图所示
由几何关系得，粒子a在磁场中运动的圆心角α满足
cos α＝＝
解得α＝60°
粒子b在磁场中运动的圆心角β＝30°
要使两粒子同时离开磁场，粒子a比粒子b先发射，且发射的时间差Δt＝ta－tb＝T＝
解得Δt＝
由分析知，粒子a进入电场时，与x轴正方向的夹角为60°，两粒子在电场中运动时
沿x轴方向加速度相同，相对速度vabx＝2v0cos 60°＝v0
沿y轴方向的速度相同，均为vay＝vby＝v0sin 60°＝v0
粒子b经过(x0，y0)处时，在电场中运动的时间
t2＝＝
粒子a相对粒子b沿x轴运动的位移
xab＝vabxt2＝
刚进入电场时，粒子a、b之间的距离
xab初＝R(1－cos 30°)＋Rsin 60°＝2L
因此，粒子b经过(x0，y0)时，粒子a的横坐标
xa＝xab＋2L＋x0
解得xa＝x0＋(y0－L)＋2L
即对应的粒子a的位置坐标为.
配套热练
1. (2025·南通如皋期中)如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上方有平行于y轴的匀强电场，在第四象限内有磁感应强度大小为B1、方向垂直于坐标平面向内的直线边界匀强磁场，直线边界过点c(3L,0)且与x轴垂直，第三象限内有垂直于坐标平面向内的矩形有界匀强磁场(未画出)，一电子从点a(0，L)以速度v0垂直于y轴进入第一象限，并从点b(2L,0)进入第四象限，经过第四、三象限的磁场偏转后，进入第二象限的电场，回到点a后重复上述过程的运动．已知电子的质量为m、电荷量为－e，不计电子重力．求：
(1) 电子运动到点b时的速度大小v和方向．
(2) 电子从点b到离开第四象限时经过的时间t.
(3) 第三象限内磁场的磁场感应强度大小B2.
答案：(1) v0，与x轴正方向夹角为θ＝45°
(2) ＋ (3)
【解析】(1) 依题意，电子在第一象限做类平抛运动，可得
L＝at2，2L＝v0t
又vy＝at，解得vy＝v0
电子运动到点b时的速度大小v＝＝v0
设v与x轴正方向夹角为θ，则有tan θ＝＝1
解得电子运动到点b时的速度与x轴正方向夹角为θ＝45°
(2) 电子在第四象限的运动分为三个过程，进入磁场前的匀速直线运动，在磁场中的匀速圆周运动，离开磁场后到y轴之前的匀速直线运动，轨迹如图所示．
电子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有evB1＝m
又T＝
联立解得T＝
由几何关系，可知t1＝T＝
电子未进入磁场和离开磁场后到达y轴之前，均做匀速直线运动，结合几何关系，可知
t2＝
联立解得t2＝
电子从点b到离开第四象限时经过的时间
t＝t1＋t2＝＋
(3) 依题意，电子轨迹如图所示．
由对称性可知，Ob′＝2L，根据第二问分析可知
AB＝2L＋L＋r1＋3L
又2r2＝ABsin 45°
联立解得r2＝
根据evB2＝m
联立解得B2＝＝
2. (2025·河南卷)如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场．质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右．a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s＝3h.不计重力．
(1) 求磁感应强度的大小．
(2) 求电场强度的大小．
(3) 若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小．(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)
答案：(1) (2) (3) v0
【解析】(1) 根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知θ＝60°
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有
r＝rcos θ＋h
解得r＝2h
由牛顿第二定律有qv0B＝m
解得B＝
(2) 根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得
AB＝s－2rsin θ＝3h－2h＝h
则粒子在电场中的运动时间为t＝＝
沿电场方向上，由牛顿第二定律有qE＝ma
由运动学公式有－v0sin θ＝v0sin θ－at
联立解得E＝
(3) 若粒子从a点以v0竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为v0，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与水平虚线的夹角α＝60°
结合(2)小问分析可知，粒子在电场中的运动时间为
t1＝
AD间的距离为AD＝h
由几何关系可得DC＝2rsin α＝2h
则AC＝DC－AD＝h
粒子在磁场中的运动时间为t2＝·＝
则有t＝t1＋t2＝
综上所述可知，粒子每隔时间t向右移动h，则漂移速度大小v′＝＝v0
3. (2025·南京二模)如图所示，xOy平面内，在x轴下方区域内存在沿y轴正方向的匀强电场．在坐标(0，－d)处有一粒子源能沿x轴正方向将质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一初速度射入电场区域．在y≥0的空间中有一倾斜分界线MN，其两侧分别有垂直纸面的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，磁场Ⅰ的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B1＝.当粒子初速度大小为v0时，进入磁场区域Ⅰ时的速度大小为2v0.
(1) 求电场强度的大小E.
(2) 若初速度为0和初速度为v0的粒子均能垂直于MN边界从磁场区域Ⅰ射入磁场区域Ⅱ，求MN与x轴交点到O点的距离L以及MN与x轴的夹角θ.
(3) 在满足第(2)问的条件下，为使初速度为kv0(k＞0)的粒子射入磁场后恰好不再回到x轴下方，求磁场区域Ⅱ的磁感应强度B2的大小和方向．
答案：(1) (2) d 30° (3) 见解析
【解析】 (1) 粒子在电场中运动，由动能定理
m(2v0)2－mv＝qEd
解得E＝
(2) 初速度为0的粒子，到达x轴时的速度为v1＝v0
轨迹半径为r1＝＝＝d
轨迹圆心坐标为
故MN与x轴交点与O点的距离大小L＝d
以初速度为v0入射的粒子，到达x轴时的速度为v2＝2v0，与x轴夹角为α＝60°，入射位置x＝v0·t＝v0·＝d
r2＝＝＝d
由几何关系知圆心位于y轴上，圆心坐标为
两圆心均位于MN上，故MN与x轴的夹角θ＝30°
(3) 设粒子以任意速度v入射，粒子在磁场区域Ⅰ中运动的半径为r，则该轨迹圆心的坐标为
x＝v·t－rsin α，y＝rcos α
其中 vy＝v0，t＝＝
rsin α＝＝d，rcos α＝，整理可得y＝x＋d
这说明所有射入磁场Ⅰ的粒子的圆心处于同一条直线MN上，所有射入磁场Ⅰ的粒子将垂直于该直线射出．
粒子以kv0入射，粒子在磁场Ⅰ中运动速度为
v合＝·v0
设磁场区域Ⅱ的磁感应强度垂直纸面向里，粒子在两磁场中运动的半径分别为r′1和r′2，为使以kv0(k>0)射入电场的粒子恰好不再回到x轴下方，应有
[＋2r′1－2r′2]·sin 30°＝r′1，即r′2＝·
因为sin β＝cos α＝
由正弦定理 ＝
综上整理可得r′2＝kd
r′2>0，磁场方向假设成立，所以B2＝·，垂直纸面向里．
【说明】若设磁场区域Ⅱ的磁感应强度垂直纸面向外，粒子在两磁场Ⅰ中运动的半径分别为r′1和r′2，为使以kv0(k>0)射入电场的粒子恰好不再回到x轴下方，应有
[＋2r′1＋2r′2]·sin 30°＝r′1，即r′2＝－·，负号表示磁场区域Ⅱ的磁感应强度垂直纸面向里．
4. (2025·南通第一次调研)如图所示，xOy平面内0≤x≤12d、－∞(1) 若v0＝，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标x0.
(2) 求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L.
(3) 若v0在0～范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t.
答案：(1) 4d (2) d (3)
【解析】 (1) 设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为r1和r2
由牛顿第二定律得 qv0·3B＝m
解得r1＝d
qv0·2B＝m
解得r2＝1.5d
粒子在平面内的运动轨迹如图1所示
x0＝r1＋2r2
解得x0＝4d
图1 图2
(2) 设粒子在第一象限的半径为r，则粒子在第四象限的半径为1.5r，如图2所示．
设轨迹的圆心O2、O1的连线与y轴方向夹角为θ
由几何关系得sin θ＝
d＝r＋rcos θ
L＝r＋(r＋1.5r)cos θ
解得L＝d
(3) 粒子的速度越大，运动到Q点的时间越短
① 粒子的速度在0～，粒子在第一象限运动的最大半径为4d<12d，则粒子不能从第一象限直接到达Q点．
② 设粒子以速度v从P点射出，经第四象限运动到Q点，粒子在第一象限运动的半径为r，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为α，如图3所示．
rsin α＋2×1.5rsin α＝12d
rcos α＝r－d
解得r＝5d>4d
由此可以推断，此情形不成立(得到①、②中的一个推断即可得分)
③ 设粒子以速度v′从P点射出，粒子在第一象限运动的半径为r′，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为β，如图4所示．
r′sin β＋2(r′sin β＋1.5r′sin β)＝12d
r′cos β＝r′－d
解得r′＝2.5d，β＝53°
t＝·＋·
解得粒子达到Q点的最短时间t＝
图3
图4
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专题三
电场与磁场
攻坚克难二 带电粒子在复合场中的运动
1 带电粒子在组合场中的运动
1
类型1 电磁组合
(1) 电场强度E大小．
(2) 磁感应强度B大小和粒子从离开A点至第二次
到达x轴的时间t.
轨迹如图所示
(3) 粒子的运动轨迹如图所示
若粒子从x轴上方到达Q
若粒子从x轴下方到达Q
综上，粒子接收器能接收到粒子时k的值为2或4.
2
类型2 磁磁组合
如图所示，y方向足够长的两个条形区域，宽度分
别为l1＝0.1 m和l2＝0.2 m，两区域分别分布着磁感应强度为B1
和B2的磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度B2＝
0.1 T．现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度v＝2×106 m/s不
断沿x轴正方向射入磁场，由于B1的大小在0～0.5 T范围内可调，
粒子可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电粒子的电荷量q
＝－2×10－8 C，质量m＝4×10－16 kg，不考虑带电粒子的重力．
求：
(1) 要使粒子能进入B2的磁场，B1应满足的条件．
(2) 粒子在条形区域内运动的最短时间t.
(3) 粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标y.
【解析】(1) 当带电粒子在B1磁场中做圆周运动的半径大于l1时粒子能进入磁感应强度为B2的磁场
代入数据得B1＝0.4 T
因此B1满足的条件为0≤B1<0.4 T
(2) 当B1＝0时，粒子水平向右进入B2磁场
粒子从右边界MN飞出，如图所示
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着B1的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的
比值可知，粒子在磁场中的运动时间先增大，后减小，当B1
达到最大值0.5 T时，粒子从左边界飞出，运动时间为
所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t2＝1.26×10－7 s
(3) 设A1为粒子从MN射出的最高点，则A1为轨迹与边界MN的切点，如图所示，O1为粒子在B1磁场中运动的圆心，O2为粒子在B2磁场中运动的圆心，由几何知识可得
O2C2＝r2－(l1＋l2)＝0.1 m
粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标
组合场中的常见运动及处理方法
规律总结
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 求匀强电场的场强大小E.
(3) 若粒子a、b同时离开磁场，求两粒子从O点发射的
时间差，以及粒子b在电场中经过(x0，y0)处时对应的粒子a
的位置坐标．
1
【解析】(1) 设粒子b在磁场中运动的半径为R，其运动轨迹如图所示
由几何关系有Rcos 60°＝L，得R＝2L
(2) 粒子b在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，沿x
轴方向做匀变速直线运动，如图所示
由几何关系得，粒子a在磁场中运动
的圆心角α满足
解得α＝60°
粒子b在磁场中运动的圆心角β＝30°
由分析知，粒子a进入电场时，与x轴正方向的夹角为60°，两粒子在电场中运动时
沿x轴方向加速度相同，相对速度vabx＝2v0cos 60°＝v0
粒子b经过(x0，y0)处时，在电场中运动的时间
粒子a相对粒子b沿x轴运动的位移
刚进入电场时，粒子a、b之间的距离
xab初＝R(1－cos 30°)＋Rsin 60°＝2L
因此，粒子b经过(x0，y0)时，粒子a的横坐标
xa＝xab＋2L＋x0
热练
1. (2025·南通如皋期中)如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上方有平行于y轴的匀强电场，在第四象限内有磁感应强度大小为B1、方向垂直于坐标平面向内的直线边界匀强磁场，直线边界过点c(3L,0)且与x轴垂直，第三象限内有垂直于坐标平面向内的矩形有界匀强磁场(未画出)，一电子从点a(0，L)以速度v0垂直于y轴进入第一象限，并从点b(2L,0)进入第四象限，经过第四、三象限的磁场偏转后，进入第二象限的电场，回到点a后重复上述过程的运动．已知电子的质量为m、电荷量为－e，不计电子重力．求：
(1) 电子运动到点b时的速度大小v和方向．
(2) 电子从点b到离开第四象限时经过的时间t.
(3) 第三象限内磁场的磁场感应强度大小B2.
【解析】(1) 依题意，电子在第一象限做类平抛运动，可得
又vy＝at，解得vy＝v0
解得电子运动到点b时的速度与x轴正方向夹角为θ＝45°
(2) 电子在第四象限的运动分为三个过程，进入磁场前的匀速直线运动，在磁场中的匀速圆周运动，离开磁场后到y轴之前的匀速直线运动，轨迹如图所示．
电子未进入磁场和离开磁场后到达y轴之前，均做匀速直线运动，结合几何关系，可知
(3) 依题意，电子轨迹如图所示．
由对称性可知，Ob′＝2L，根据第二问分析可知
又2r2＝ABsin 45°
(1) 求磁感应强度的大小．
(2) 求电场强度的大小．
(3) 若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间
来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小．
(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)
【解析】(1) 根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知θ＝60°
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有
r＝rcos θ＋h
解得r＝2h
(2) 根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得
沿电场方向上，由牛顿第二定律有qE＝ma
由运动学公式有－v0sin θ＝v0sin θ－at
(3) 若粒子从a点以v0竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为v0，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与水平虚线的夹角α＝60°
结合(2)小问分析可知，粒子在电场中的运动时间为
(1) 求电场强度的大小E.
(2) 若初速度为0和初速度为v0的粒子均能垂直于MN边界从磁场区域Ⅰ射入磁场区域Ⅱ，求MN与x轴交点到O点的距离L以及MN与x轴的夹角θ.
(3) 在满足第(2)问的条件下，为使初速度为kv0(k＞0)的粒子射入磁场后恰好不再回到x轴下方，求磁场区域Ⅱ的磁感应强度B2的大小和方向．
【解析】 (1) 粒子在电场中运动，由动能定理
两圆心均位于MN上，故MN与x轴的夹角θ＝30°
(3) 设粒子以任意速度v入射，粒子在磁场区域Ⅰ中运动的半径为r，则该轨迹圆心的坐标为
x＝v·t－rsin α，y＝rcos α
这说明所有射入磁场Ⅰ的粒子的圆心处于同一条直线MN上，所有射入磁场Ⅰ的粒子将垂直于该直线射出．
粒子以kv0入射，粒子在磁场Ⅰ中运动速度为
设磁场区域Ⅱ的磁感应强度垂直纸面向里，粒子在两磁场中运动的半径分别为r′1和r′2，为使以kv0(k>0)射入电场的粒子恰好不再回到x轴下方，应有
【说明】若设磁场区域Ⅱ的磁感应强度垂直纸面向外，粒子在两磁场Ⅰ中运动的半径分别为r′1和r′2，为使以kv0(k>0)射入电场的粒子恰好不再回到x轴下方，应有
4. (2025·南通第一次调研)如图所示，xOy
平面内0≤x≤12d、－∞界匀强磁场，右边界与x轴的交点为Q，x轴上方
磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为3B，
x轴下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B.质量为m、电荷量为－q的粒子，从y轴上P点以初速度v0沿x轴正方向射入磁场，v0大小可调，P点的纵坐标为d.不计粒子重力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(2) 求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L.
【解析】 (1) 设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为r1和r2
解得r1＝d
解得r2＝1.5d
粒子在平面内的运动轨迹如图1所示
x0＝r1＋2r2
解得x0＝4d
图1
(2) 设粒子在第一象限的半径为r，则粒子在第四象限的半径为1.5r，如图2所示．
设轨迹的圆心O2、O1的连线与y轴方向夹角为θ
d＝r＋rcos θ
L＝r＋(r＋1.5r)cos θ
图2
(3) 粒子的速度越大，运动到Q点的时间越短
② 设粒子以速度v从P点射出，经第四象
限运动到Q点，粒子在第一象限运动的半径为r，
粒子第一次到达x轴时偏转的角度为α，如图3所
示．
rsin α＋2×1.5rsin α＝12d
rcos α＝r－d
解得r＝5d>4d
由此可以推断，此情形不成立(得到①、②中的一个推断即可得分)
图3
③ 设粒子以速度v′从P点射出，粒子在第一象限运动的半径为r′，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为β，如图4所示．
r′sin β＋2(r′sin β＋1.5r′sin β)＝12d
r′cos β＝r′－d
解得r′＝2.5d，β＝53°
图4 带电粒子在复合场中的运动
1 带电粒子在组合场中的运动
类型1 电磁组合
(2025·泰州四模)如图所示，在xOy坐标平面第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，在其他象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小相等．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A点，以初速度v0沿着x轴负方向射入匀强电场，经过一段时间从P点与x轴负方向成30°角进入磁场，已知P点坐标(－L,0)，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，粒子重力忽略不计．求：
(1) 电场强度E大小．
(2) 磁感应强度B大小和粒子从离开A点至第二次到达x轴的时间t.
(3) 若第四象限的磁感应强度增大为原来的k倍(k>1)，放在x轴上x0＝4L(图中Q点)的粒子接收器能接收到粒子时k的值．
类型2 磁磁组合
如图所示，y方向足够长的两个条形区域，宽度分别为l1＝0.1 m和l2＝0.2 m，两区域分别分布着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度B2＝0.1 T．现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度v＝2×106 m/s不断沿x轴正方向射入磁场，由于B1的大小在0～0.5 T范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电粒子的电荷量q＝－2×10－8 C，质量m＝4×10－16 kg，不考虑带电粒子的重力．求：
(1) 要使粒子能进入B2的磁场，B1应满足的条件．
(2) 粒子在条形区域内运动的最短时间t.
(3) 粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标y.
组合场中的常见运动及处理方法
(2025·苏州期中)如图所示，xOy平面内，0≤yL区域内存在沿x轴正方向的匀强电场．在坐标原点O有一粒子源，分别沿x、y轴正方向以相同速率v0发射带正电粒子a、b，两粒子质量均为m，电荷量均为q.粒子b离开磁场时的速度与x轴负方向的夹角为60°，之后粒子b从[0，(1＋)L]处经过y轴．不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用．
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 求匀强电场的场强大小E.
(3) 若粒子a、b同时离开磁场，求两粒子从O点发射的时间差，以及粒子b在电场中经过(x0，y0)处时对应的粒子a的位置坐标．
配套热练
1. (2025·南通如皋期中)如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上方有平行于y轴的匀强电场，在第四象限内有磁感应强度大小为B1、方向垂直于坐标平面向内的直线边界匀强磁场，直线边界过点c(3L,0)且与x轴垂直，第三象限内有垂直于坐标平面向内的矩形有界匀强磁场(未画出)，一电子从点a(0，L)以速度v0垂直于y轴进入第一象限，并从点b(2L,0)进入第四象限，经过第四、三象限的磁场偏转后，进入第二象限的电场，回到点a后重复上述过程的运动．已知电子的质量为m、电荷量为－e，不计电子重力．求：
(1) 电子运动到点b时的速度大小v和方向．
(2) 电子从点b到离开第四象限时经过的时间t.
(3) 第三象限内磁场的磁场感应强度大小B2.
2. (2025·河南卷)如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场．质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右．a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s＝3h.不计重力．
(1) 求磁感应强度的大小．
(2) 求电场强度的大小．
(3) 若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小．(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)
3. (2025·南京二模)如图所示，xOy平面内，在x轴下方区域内存在沿y轴正方向的匀强电场．在坐标(0，－d)处有一粒子源能沿x轴正方向将质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一初速度射入电场区域．在y≥0的空间中有一倾斜分界线MN，其两侧分别有垂直纸面的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，磁场Ⅰ的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B1＝.当粒子初速度大小为v0时，进入磁场区域Ⅰ时的速度大小为2v0.
(1) 求电场强度的大小E.
(2) 若初速度为0和初速度为v0的粒子均能垂直于MN边界从磁场区域Ⅰ射入磁场区域Ⅱ，求MN与x轴交点到O点的距离L以及MN与x轴的夹角θ.
(3) 在满足第(2)问的条件下，为使初速度为kv0(k＞0)的粒子射入磁场后恰好不再回到x轴下方，求磁场区域Ⅱ的磁感应强度B2的大小和方向．
4. (2025·南通第一次调研)如图所示，xOy平面内0≤x≤12d、－∞(1) 若v0＝，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标x0.
(2) 求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L.
(3) 若v0在0～范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t.
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