3 带电粒子在交变场中的运动
类型1 电、磁场交变
如图甲所示，边长l＝4 m的正方形区域ABDC在竖直平面内，CD与水平面平行．其区域内有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场(图中未画出)，电场和磁场的变化规律如图乙所示，一比荷＝1×106 C/kg的带正电粒子在t＝0时刻在CD中点处由静止释放，不计粒子重力，ABDC边缘有电场、磁场．
甲 乙
(1) 求t＝1×10－4 s时，粒子的位移大小和速度大小.
(2) 若k＝π，求粒子离开正方形区域ABDC所需时间t.
(3) 若使粒子做周期性运动，则在[0，π]的范围内，k的取值应为多少？并求出粒子的运动周期T.
答案：(1) 1 m 2×104 m/s (2) (π＋2)×10－4s (3) π (3π＋4)×10－4s
【解析】(1) 粒子在1×10－4 s的位移和速度分别为
s1＝·t2＝1 m
v＝t＝2×104 m/s
(2) 粒子在磁场中，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，有
qvB＝m
此时在磁场中运动的半径和周期分别为
r＝＝1 m
T磁场＝＝π×10－4 s
因k＝π，粒子运动轨迹如图甲所示，又因初速度为0的匀加速直线运动在连续相同时间内的位移比为1∶3
粒子经2次电场加速后恰飞出正方形区域，因此
t＝(π＋2)×10－4 s
甲 乙
(3) 根据对称特点，可知k＝π
粒子转过四分之三周期后做类平抛运动，运动轨迹如图乙所示，经t＝1×10－4 s，粒子到达O3点
粒子在经过4段电场运动和3段磁场运动后回到出发点，速度为0，再等待 π×10－4 s后，重复上述运动．故T＝(3π＋4)×10－4 s
类型2 磁场交变
(2025·如皋第二次适应性考试)如图甲所示，平面直角坐标系xOy第二象限内，有垂直纸面向外半径为R的圆形匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B1(大小未知)，磁场分别与x、y轴相切于P、Q点，在y轴右侧有一定宽度的垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度为B2，B1＝2B2.现有一长为2R的线状粒子源，沿＋y方向均匀发射速度为v0的同种带电粒子，粒子经磁场Ⅰ偏转后均从Q点进入磁场Ⅱ.已知粒子质量为m、电荷量为＋q，不计粒子重力及粒子间相互作用．
甲 乙
(1) 求磁场Ⅰ的磁感应强度大小B1.
(2) 若粒子源发射的粒子中仅有75%能穿过磁场Ⅱ的右边界，求磁场Ⅱ的宽度d.
(3) 若撤去磁场Ⅱ，在y轴右侧加磁场Ⅲ，磁场Ⅲ的磁感应强度B3随横坐标x变化的关系图线如图乙所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向．求从Q点沿＋x方向射入磁场Ⅲ的粒子，运动至x＝3d处时沿＋x方向的分速度vx.
答案：(1) (2) R (3)
【解析】(1) 从P点沿y轴正方向入射的粒子从Q点沿x轴正方向射出半径r1＝R
由洛伦兹力提供向心力qv0B1＝m
解得B1＝
(2) 由B1＝2B2，可知r2＝2r1
恰好能通过磁场Ⅱ区域的粒子由OP中点射入，磁场宽度
d＝r2－r2cos 60°
解得d＝R
(3) y轴方向，由动量定理qvxB3·Δt＝mΔvy
∑qvxB3·Δt＝mvy－0
设图线与横轴间的面积为S，有qS＝mvy
由图乙知0～3d间S＝·d
解得vy＝
沿＋x方向的分速度vx＝
解得vx＝
解决这类问题首先要注意交变电场和交变磁场的特点，弄清在各个过程中受到哪些力的作用，带电粒子在周期性变化的电场或磁场中处于何种状态、做什么运动，确定带电粒子的运动过程，然后选择物理原理和规律按运动过程列式求解．解题步骤如下：
(2025·南通期末)如图甲所示，足够长的平行金属极板MN，距离为2d，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，两板间中心有一电子源O.t＝0时刻以速度v0向各个方向发射电子，平行于极板方向射出的粒子刚好垂直击中极板，电子电荷量为－e，质量为m，仅考虑纸平面内运动的电子．
甲 乙
(1) 求磁感应强度大小B.
(2) 经过时间t后电子打到右侧极板，求时间t的范围．
(3) 若电子源在0～内有电子以速度平行于极板向上射出，且在两极板间加如图乙所示电压，U0＝、T＝，求电子经过区域的面积S.
答案：(1) (2) ≤t≤ (3)
【解析】(1) 电子在磁场中做匀速圆周运动，平行于极板方向射出的粒子刚好垂直击中极板，由数学知识可知，电子做匀速圆周运动的半径R＝d
由洛伦兹力提供向心力，根据向心力公式ev0B＝m
联立解得B＝
(2) 根据题意可知，电子做圆周运动的周期为T1＝＝
电子打到右侧极板运动时间最短的运动轨迹如图甲所示
甲
由几何关系可得，电子运动轨迹的圆心角为，则最短时间为
tmin＝T1＝
电子打到右侧极板运动时间最长的运动轨迹如图乙所示
乙
由几何关系可得，电子运动轨迹的圆心角为，则最长时间为
tmax＝T1＝
则时间t的范围为 ≤t≤
(3) 根据题意可知，在0～内UMN>0，电子受电场力大小为F电＝·e＝，方向水平向左
电子受洛伦兹力大小为F洛＝e··B＝，方向水平向右
可知，t＝0时刻射出的电子在0～内做竖直向上的匀速直线运动，在～内电子做匀速圆周运动，则有e··B＝
可得R′＝
周期为T2＝＝＝
电子运动到右侧极板的时间t′＝＝
即在t＝时刻，电子恰好运动到右极板，同理可知，电子在～时间内向下做匀速直线运动，在～T电子做匀速圆周运动，之后轨迹周期性重复
t＝时刻射出的电子先做匀速圆周运动，后做匀速直线运动．
综上所述，电子经过区域的面积
S＝2＋πR′2＝
配套热练
1. (2024·苏锡常镇调研一)xOy平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为＋y方向，t＝0时刻，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿＋x方向入射．B－t图中B0＝，E－t图中E0＝.求：
(1) 时刻粒子的坐标．
(2) 0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻．
(3) 0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值．
答案：(1) (2) t0 t0
(3) v0t0
【解析】(1) 粒子在磁场中运动的周期T＝＝t0
粒子做匀速圆周运动，则v0＝
解得r1＝
时刻粒子坐标为(r1，r1)，即
(2) 0～4t0时间内的运动轨迹如图所示
0～t0时间内粒子做匀速圆周运动，T＝t0
速度沿－x方向的时刻t1＝＝t0
t0～2t0时间内粒子在电场作用下做匀变速曲线运动
vx＝v0，vy＝at0＝t0＝v0
粒子速度方向与x轴夹角为45°
2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动
速度沿－x方向的时刻t2＝2t0＋T＝t0
(3) t0～2t0时间内粒子沿y轴方向位移y0＝v0t0
6t0～7t0时间内粒子沿y轴方向最大位移
y磁＝(1＋cos 45°)r2
r2＝v0t0
则ym＝3y0＋y磁＝v0t0
2. (2025·镇江质监)如图甲所示，位于坐标原点O的粒子源持续向右发射出质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子，初速度均为v.在粒子源右侧y轴到x＝2d之间存在沿y轴正方向的匀强电场，匀强电场场强随时间t的变化规律如图乙所示．在2d
甲 乙
(1) 求磁感应强度B的大小．
(2) 求电场强度E0的大小．
(3) 求探测器能被粒子打到的长度及粒子在磁场中运动的时间范围．
答案：(1) (2) (3) (2＋1)d ≤t<
【解析】(1) 由于粒子在电场中运动的时间远小于周期T，故t＝0时刻发射的粒子以速度v沿x轴进入磁场1，依据题意有
圆周半径为r1＝d
根据牛顿第二定律qvB＝m
解得B＝
(2) 设t＝T时刻发射的粒子以速度v′进入磁场1，进入时与水平方向的夹角为θ，如图所示
粒子在电场中运动的时间为t＝
由运动的合成与分解，有v′＝
由牛顿第二定律，有qv′B＝m，即r2＝
由几何关系，有r2sin θ＝d
解得tan θ＝1，即θ＝45°
故vy＝v＝at，解得a＝
沿电场方向，由牛顿第二定律有a＝
解得E0＝
(3) 由(2)可知，粒子在磁场1中运动轨迹的圆心恰好在x轴上，如图所示
由轨迹分析可知，t＝0发射的粒子打到探测器的最下端，到x轴的距离为l1＝2r1＝2d
t＝T发射的粒子打到探测器的最上端，到x轴的距离为
l2＝r2＋(r2－r2cos θ)
解得l2＝(2－1)d
故探测器能被粒子打到的长度l＝l1＋l2＝(2＋1)d
粒子打到探测器最下端运动时间最长，打到最上端运动时间最短．
最长时间为tmax＝××2＝
最短时间为tmin＝××2＝
故粒子在磁场中运动的时间范围为 ≤t<
3. (2024·镇江期初)如图甲所示，在竖直平面建立xOy坐标，y轴沿竖直方向，x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m、带电荷量为＋q的小球以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场，恰好沿x轴做直线运动，取重力加速度为g.
(1) 求匀强电场的场强大小E.
(2) 若小球过O点时在x>0区域加垂直纸面向里的匀强磁场B0，求小球第一次经过y轴的坐标．
(3) 若小球从O点与x轴正方向成θ角射入第一象限的同时在x>0区域加一按图乙规律变化的磁场，小球可以一直在第一象限内运动，设磁场方向垂直纸面向里为正．求小球从O点入射的θ角正弦值的范围．
答案：(1) (2) (3) 0≤sin θ≤
【解析】(1) 小球进入电场做匀速直线运动，根据平衡条件可得
mg＝Eq
匀强电场的场强大小为E＝
(2) 根据洛伦兹力提供向心力qv0B0＝m
可得r＝
小球第一次经过y轴与原点的距离为d＝2r＝
小球第一次经过y轴的坐标为
(3) 根据粒子的运动轨迹可知，小球可以一直在第一象限内运动有2Rcos θ≥R＋Rsin θ
根据数学关系有sin2θ＋cos2θ＝1
解得小球从O点入射的θ角正弦值的范围0≤sin θ≤
4. (2025·苏州、海门、淮阴、姜堰四校联考)如图甲所示，一对平行金属板C、D相距为d，O、O1为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧，存在上下范围足够大、宽度为L的有界匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，MN、GH是磁场的左、右边界．现有质量为m、电荷量为＋q的粒子从O孔进入C、D板间，粒子初速度和重力均不计．
甲 乙 丙
(1) C、D板间加恒定电压U，C板为正极板，求板间匀强电场的场强大小E和粒子从O运动到O1的时间t.
(2) C、D板间加如图乙所示的电压，U0为已知量，周期T是未知量．t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保证粒子到达O1孔具有最大速度，求周期T应满足的条件和粒子到达O1孔的最大速度vm.
(3) 磁场的磁感应强度B随时间t′的变化关系如图丙所示，B0为已知量，周期T0＝.t′＝0时，粒子从O1孔沿OO1延长线O1O2方向射入磁场，始终不能穿出右边界GH，求粒子进入磁场时的速度v应满足的条件．
答案：(1) d (2)T≥2 (3) v≤
【解析】(1) 板间匀强电场的场强E＝
粒子在板间的加速度a＝
根据位移公式有d＝at2
解得t＝d
(2) 粒子一直加速到达O1孔时速度最大，设经历时间t0，则
t0＝d≤
解得T≥2
由动能定理有qU0＝mv
解得vm＝
(3) 当磁感应强度分别为B0、2B0时，设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据洛伦兹力提供向心力有qvB0＝m
解得r1＝，且有T1＝＝2T0
同理可得r2＝＝，T2＝＝T0
故0～时间内粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周，～T0时间内粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周，T0～时间内粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周，～2T0时间内粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周，2T0～时间内粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周，～3T0时间内粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周，3T0～时间内粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周后从左边界飞出磁场，如图所示
由几何关系有r1＋r2≤L
解得v≤
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专题三
电场与磁场
攻坚克难二 带电粒子在复合场中的运动
3 带电粒子在交变场中的运动
1
类型1 电、磁场交变
甲 乙
(1) 求t＝1×10－4 s时，粒子的位移大小和速度大小.
(2) 若k＝π，求粒子离开正方形区域ABDC所需时间t.
(3) 若使粒子做周期性运动，则在[0，π]的范围内，k的取值应为多少？并求出粒子的运动周期T.
甲
乙
2
类型2 磁场交变
(2025·如皋第二次适应性考试)如图甲所示，平面直角坐标系xOy第二象限内，有垂直纸面向外半径为R的圆形匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B1(大小未知)，磁场分别与x、y轴相切于P、Q点，在y轴右侧有一定宽度的垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度为B2，B1＝2B2.现有一长为2R的线状粒子源，沿＋y方向均匀发射速度为v0的同种带电粒子，粒子经磁场Ⅰ偏转后均从Q点进入磁场Ⅱ.已知粒子质量为m、电荷量为＋q，不计粒子重力及粒子间相互作用．
甲
乙
(1) 求磁场Ⅰ的磁感应强度大小B1.
(2) 若粒子源发射的粒子中仅有75%能穿过磁场Ⅱ的右边界，求磁场Ⅱ的宽度d.
(3) 若撤去磁场Ⅱ，在y轴右侧加磁场Ⅲ，磁场Ⅲ的磁感应强度B3随横坐标x变化的关系图线如图乙所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向．求从Q点沿＋x方向射入磁场Ⅲ的粒子，运动至x＝3d处时沿＋x方向的分速度vx.
解决这类问题首先要注意交变电场和交变磁场的特点，弄清在各个过程中受到哪些力的作用，带电粒子在周期性变化的电场或磁场中处于何种状态、做什么运动，确定带电粒子的运动过程，然后选择物理原理和规律按运动过程列式求解．解题步骤如下：
规律总结
(2025·南通期末)如图甲所示，足够长的平行金属极板MN，距离为2d，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，两板间中心有一电子源O.t＝0时刻以速度v0向各个方向发射电子，平行于极板方向射出的粒子刚好垂直击中极板，电子电荷量为－e，质量为m，仅考虑纸平面内运动的电子．
1
(1) 求磁感应强度大小B.
(2) 经过时间t后电子打到右侧极板，求时间t的范围．
甲
乙
热练
2. (2025·镇江质监)如图甲所示，位于坐标原点O的粒子源持续向右发射出质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子，初速度均为v.在粒子源右侧y轴到x＝2d之间存在沿y轴正方向的匀强电场，匀强电场场强随时间t的变化规律如图乙所示．在2d甲 乙
(1) 求磁感应强度B的大小．
(2) 求电场强度E0的大小．
(3) 求探测器能被粒子打到的长度及粒子在磁场中运动的时间范围．
3. (2024·镇江期初)如图甲所示，在竖直平面建立xOy坐标，y轴沿竖直方向，x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m、带电荷量为＋q的小球以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场，恰好沿x轴做直线运动，取重力加速度为g.
(1) 求匀强电场的场强大小E.
(2) 若小球过O点时在x>0区域加垂直纸面向里的匀强磁场B0，求小球第一次经过y轴的坐标．
(3) 若小球从O点与x轴正方向成θ角射入第一象限的同时在x>0区域加一按图乙规律变化的磁场，小球可以一直在第一象限内运动，设磁场方向垂直纸面向里为正．求小球从O点入射的θ角正弦值的范围．
4. (2025·苏州、海门、淮阴、姜堰四校联考)如图甲所示，一对平行金属板C、D相距为d，O、O1为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧，存在上下范围足够大、宽度为L的有界匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，MN、GH是磁场的左、右边界．现有质量为m、电荷量为＋q的粒子从O孔进入C、D板间，粒子初速度和重力均不计．
甲 乙 丙
(1) C、D板间加恒定电压U，C板为正极板，求板间匀强电场的场强大小E和粒子从O运动到O1的时间t.
(2) C、D板间加如图乙所示的电压，U0为已知量，周期T是未知量．t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保证粒子到达O1孔具有最大速度，求周期T应满足的条件和粒子到达O1孔的最大速度vm.3 带电粒子在交变场中的运动
类型1 电、磁场交变
如图甲所示，边长l＝4 m的正方形区域ABDC在竖直平面内，CD与水平面平行．其区域内有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场(图中未画出)，电场和磁场的变化规律如图乙所示，一比荷＝1×106 C/kg的带正电粒子在t＝0时刻在CD中点处由静止释放，不计粒子重力，ABDC边缘有电场、磁场．
甲 乙
(1) 求t＝1×10－4 s时，粒子的位移大小和速度大小.
(2) 若k＝π，求粒子离开正方形区域ABDC所需时间t.
(3) 若使粒子做周期性运动，则在[0，π]的范围内，k的取值应为多少？并求出粒子的运动周期T.
类型2 磁场交变
(2025·如皋第二次适应性考试)如图甲所示，平面直角坐标系xOy第二象限内，有垂直纸面向外半径为R的圆形匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B1(大小未知)，磁场分别与x、y轴相切于P、Q点，在y轴右侧有一定宽度的垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度为B2，B1＝2B2.现有一长为2R的线状粒子源，沿＋y方向均匀发射速度为v0的同种带电粒子，粒子经磁场Ⅰ偏转后均从Q点进入磁场Ⅱ.已知粒子质量为m、电荷量为＋q，不计粒子重力及粒子间相互作用．
甲 乙
(1) 求磁场Ⅰ的磁感应强度大小B1.
(2) 若粒子源发射的粒子中仅有75%能穿过磁场Ⅱ的右边界，求磁场Ⅱ的宽度d.
(3) 若撤去磁场Ⅱ，在y轴右侧加磁场Ⅲ，磁场Ⅲ的磁感应强度B3随横坐标x变化的关系图线如图乙所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向．求从Q点沿＋x方向射入磁场Ⅲ的粒子，运动至x＝3d处时沿＋x方向的分速度vx.
解决这类问题首先要注意交变电场和交变磁场的特点，弄清在各个过程中受到哪些力的作用，带电粒子在周期性变化的电场或磁场中处于何种状态、做什么运动，确定带电粒子的运动过程，然后选择物理原理和规律按运动过程列式求解．解题步骤如下：
(2025·南通期末)如图甲所示，足够长的平行金属极板MN，距离为2d，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，两板间中心有一电子源O.t＝0时刻以速度v0向各个方向发射电子，平行于极板方向射出的粒子刚好垂直击中极板，电子电荷量为－e，质量为m，仅考虑纸平面内运动的电子．
甲 乙
(1) 求磁感应强度大小B.
(2) 经过时间t后电子打到右侧极板，求时间t的范围．
(3) 若电子源在0～内有电子以速度平行于极板向上射出，且在两极板间加如图乙所示电压，U0＝、T＝，求电子经过区域的面积S.
配套热练
1. (2024·苏锡常镇调研一)xOy平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为＋y方向，t＝0时刻，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿＋x方向入射．B－t图中B0＝，E－t图中E0＝.求：
(1) 时刻粒子的坐标．
(2) 0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻．
(3) 0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值．
2. (2025·镇江质监)如图甲所示，位于坐标原点O的粒子源持续向右发射出质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子，初速度均为v.在粒子源右侧y轴到x＝2d之间存在沿y轴正方向的匀强电场，匀强电场场强随时间t的变化规律如图乙所示．在2d
甲 乙
(1) 求磁感应强度B的大小．
(2) 求电场强度E0的大小．
(3) 求探测器能被粒子打到的长度及粒子在磁场中运动的时间范围．
3. (2024·镇江期初)如图甲所示，在竖直平面建立xOy坐标，y轴沿竖直方向，x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m、带电荷量为＋q的小球以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场，恰好沿x轴做直线运动，取重力加速度为g.
(1) 求匀强电场的场强大小E.
(2) 若小球过O点时在x>0区域加垂直纸面向里的匀强磁场B0，求小球第一次经过y轴的坐标．
(3) 若小球从O点与x轴正方向成θ角射入第一象限的同时在x>0区域加一按图乙规律变化的磁场，小球可以一直在第一象限内运动，设磁场方向垂直纸面向里为正．求小球从O点入射的θ角正弦值的范围．
4. (2025·苏州、海门、淮阴、姜堰四校联考)如图甲所示，一对平行金属板C、D相距为d，O、O1为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧，存在上下范围足够大、宽度为L的有界匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，MN、GH是磁场的左、右边界．现有质量为m、电荷量为＋q的粒子从O孔进入C、D板间，粒子初速度和重力均不计．
甲 乙 丙
(1) C、D板间加恒定电压U，C板为正极板，求板间匀强电场的场强大小E和粒子从O运动到O1的时间t.
(2) C、D板间加如图乙所示的电压，U0为已知量，周期T是未知量．t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保证粒子到达O1孔具有最大速度，求周期T应满足的条件和粒子到达O1孔的最大速度vm.
(3) 磁场的磁感应强度B随时间t′的变化关系如图丙所示，B0为已知量，周期T0＝.t′＝0时，粒子从O1孔沿OO1延长线O1O2方向射入磁场，始终不能穿出右边界GH，求粒子进入磁场时的速度v应满足的条件．
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