3 力学三大观点在导体框模型中的应用
类型1 导体框中的动力学和能量问题
如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d＝0.55 m．有一边长L＝0.4 m、质量m1＝0.6 kg、电阻R＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量m2＝0.4 kg的物体相连．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1) 求线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力大小．
(2) 当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x.
(3) 在(2)问中的条件下，若cd边离开磁场边界PQ时，速度大小为2 m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量．
类型2 力学三大观点在导体框中的应用
(2025·福建卷)光滑斜面倾角为θ＝30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B.正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，由同种材料制成且粗细均匀．Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度．线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，重力加速度为g.则：
(1) 求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离．
(2) 求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差．
(3) 求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率．
常见情景 动力学分析 能量分析 动量分析
在安培力作用下穿越磁场 设运动过程中某时刻的速度为v，则a＝，a与v方向相反，导线框做减速运动，v↓ a↓，即导线框做加速度减小的减速运动，最终匀速运动(全部进入磁场)或静止(导线框离开磁场过程的分析相同) 部分(或全部)动能转化为焦耳热，Q＝－ΔEk (1) 求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt(2) 求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0(3) 求时间：①－BLΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1(已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间)②－＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他·Δt＝mv2－mv1(若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间)
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场 (1) 若进入磁场时＝，则导线框匀速运动(2) 若进入磁场时>，则导线框做加速度减小的加速运动(直至匀速)(3) 若进入磁场时<，则导线框做加速度减小的减速运动(直至匀速)(导线框离开磁场过程的分析相同) 力F做的功等于导线框的动能变化量与回路中产生的焦耳热之和，WF＝ΔEk＋Q
如图所示，磁感应强度为B的有界匀强磁场的宽度为L，一质量为m、电阻为R、边长为d(dA. 进、出磁场过程中电流方向不同
B. 进、出磁场过程中通过线圈某一横截面的电荷量相等
C. 通过磁场的过程中产生的热量为mgL
D. MN边离开磁场时的速度大小为
(2025·陕西、山西、宁夏、青海卷)如图所示，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B.甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R.两线框在光滑水平面上以相同初速度v0＝并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用．则( )
A. 甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B. 甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1∶1
C. 乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D. 甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4∶3
配套热练
1. 如图所示，空间中存在一匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向与竖直平面(纸面)垂直，磁场的上、下边界(虚线)均为水平面．纸面内磁场上方有一个质量为m、总电阻为R、边长为L的正方形导线框abcd(由均匀材料制成)，其上、下两边均与磁场边界平行，边长小于磁场上、下边界的间距．导线框从ab边距磁场上边界为h处自由下落，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是( )
A. ab边刚进入磁场时，受到的安培力大小为
B. 导线框通过磁场上边界的过程中，下落的速度可能一直增大
C. 导线框通过磁场上边界的过程中，下落的速度一直减小
D. 导线框通过磁场下边界的过程中，下落的速度一直减小
2. 两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，用长为L的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体．距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场．磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大．把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B使其匀速通过磁场，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
A. B与v0无关，与 成反比
B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率小于重力做功的功率
D. 调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
3. (2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，金属线框甲从匀强磁场的上边界由静止释放，末速度为v时，线框还未完全进入磁场；相同的线框乙从磁场的下边界以速度v竖直向上抛出，到达最高点时线框也未完全进入磁场．两线框在上述进入磁场的过程中，甲线框( )
A. 运动的时间短 B. 运动的位移大
C. 通过的电荷量小 D. 产生的内能少
4. 如图所示，在竖直平面内有一上下边界均水平，垂直线框所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2.5 T．正方形单匝金属线框在磁场上方h＝0.45 m处，质量为0.1 kg，边长为0.4 m，总阻值为1 Ω.现将线框由静止释放，下落过程中线框ab边始终与磁场边界平行，ab边刚好进入磁场和刚好离开磁场时的速度均为2 m/s，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.下列说法中错误的是( )
A. cd边刚进入磁场时克服安培力做功的功率为9 W
B. 匀强磁场区域的高度为0.65 m
C. 穿过磁场的过程中线框电阻产生的热量为0.65 J
D. 线框通过磁场上边界所用时间为0.3 s
5. 如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，ab、bc边长均为2l，gf边长为l.匀强磁场区域的上、下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，bc边离磁场上边界的距离为l，线框由静止释放，从bc边进入磁场直到gf边进入磁场前，线框做匀速运动．在gf边离开磁场后ah、ed边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且bc、gf边保持水平，重力加速度为g.
(1) 线框ah、ed边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？
(2) 若磁场上、下边界间的距离为H，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少？
6. 如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置．在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6 m，高0.5 m，大小均为0.5 T．电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8 Ω，高度为1.5 m，宽度略大于磁场．已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2 400 kg，取g＝10 m/s2，忽略摩擦阻力．当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时：
(1) 电梯下落速度达到2.5 m/s时，求线圈内产生的感应电流大小．
(2) 求电梯可达到的最大速度．
(3) 若电梯下落4.5 m，达到最大速度的，求此过程所用时间．
7. 如图所示，光滑绝缘斜面与水平面的夹角θ＝30°，斜面所在空间存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，两磁场的磁感应强度方向相反，且与斜面垂直，大小均为B＝1 T，宽度均为L＝0.3 m．现有一边长也为L，电阻R＝0.1 Ω的正方形闭合导线框abcd从距磁场Ⅰ上边界线x＝0.4 m处由静止释放，已知线框ab边刚进入磁场Ⅰ时恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ区域后经一段时间后，在ab边未出磁场Ⅱ区域下边界之前又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁Ⅰ场区域的过程中边始终水平，取g＝10 m/s2，求：
(1) 导线框abcd的质量m.
(2) 导线框从开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中线框产生的内能Q.
(3) 导线框从开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中运动的总时间t.
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专题四
电路与电磁感应
攻坚克难三 力学三大观点在电磁感应中的应用
3 力学三大观点在导体框模型中的应用
1
类型1 导体框中的动力学和能量问题
如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d＝0.55 m．有一边长L＝ 0.4 m、质量m1＝0.6 kg、电阻R＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量m2＝0.4 kg的物体相连．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1) 求线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力大小．
(2) 当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x.
(3) 在(2)问中的条件下，若cd边离开磁场边界PQ时，速度大小为2 m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量．
答案：(1) 2.4 N (2) 0.25 m (3) 0.1 J
【解析】(1) 线框还未进入磁场的过程中，以线框为研究对象，由牛顿第二定律得
m1gsin θ－T＝m1a
以物体为研究对象，由牛顿第二定律得
T－μm2g＝m2a
联立解得T＝2.4 N，a＝2 m/s2
2
类型2 力学三大观点在导体框中的应用
(2025·福建卷)光滑斜面倾角为θ＝30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B.正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，由同种材料制成且粗细均匀．Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度．线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，重力加速度为g.则：
(1) 求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离．
(2) 求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差．
(3) 求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安
培力做功的平均功率．
规律总结
如图所示，磁感应强度为B的有界匀强磁场的宽度为L，一质量为m、电阻为R、边长为d(dA. 进、出磁场过程中电流方向不同
B. 进、出磁场过程中通过线圈某一横截面的电荷量相等
C. 通过磁场的过程中产生的热量为mgL
1
C
A. 甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B. 甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1∶1
C. 乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D. 甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4∶3
2
D
热练
1. 如图所示，空间中存在一匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向与竖直平面(纸面)垂直，磁场的上、下边界(虚线)均为水平面．纸面内磁场上方有一个质量为m、总电阻为R、边长为L的正方形导线框abcd(由均匀材料制成)，其上、下两边均与磁场边界平行，边长小于磁场上、下边界的间距．导线框从ab边距磁场上边界为h处自由下落，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是( )
B
2. 两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，用长为L的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体．距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场．磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大．把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B使其匀速通过磁场，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
D
3. (2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，金属线框甲从匀强磁场的上边界由静止释放，末速度为v时，线框还未完全进入磁场；相同的线框乙从磁场的下边界以速度v竖直向上抛出，到达最高点时线框也未完全进入磁场．两线框在上述进入磁场的过程中，甲线框( )
A. 运动的时间短 B. 运动的位移大
C. 通过的电荷量小 D. 产生的内能少
B
4. 如图所示，在竖直平面内有一上下边界均水平，垂直线框所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2.5 T．正方形单匝金属线框在磁场上方h＝0.45 m处，质量为 0.1 kg，边长为0.4 m，总阻值为1 Ω.现将线框由静止释放，下落过程中线框ab边始终与磁场边界平行，ab边刚好进入磁场和刚好离开磁场时的速度均为2 m/s，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.下列说法中错误的是( )
A. cd边刚进入磁场时克服安培力做功的功率为9 W
B. 匀强磁场区域的高度为0.65 m
C. 穿过磁场的过程中线框电阻产生的热量为0.65 J
D. 线框通过磁场上边界所用时间为0.3 s
C
5. 如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，ab、bc边长均为2l，gf边长为l.匀强磁场区域的上、下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，bc边离磁场上边界的距离为l，线框由静止释放，从bc边进入磁场直到gf边进入磁场前，线框做匀速运动．在gf边离开磁场后ah、ed边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且bc、gf边保持水平，重力加速度为g.
(1) 线框ah、ed边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？
(2) 若磁场上、下边界间的距离为H，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少？
答案：(1) 4倍 (2) mg(H－13l)
6. 如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置．在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6 m，高0.5 m，大小均为0.5 T．电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8 Ω，高度为1.5 m，宽度略大于磁场．已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2 400 kg，取g＝10 m/s2，忽略摩擦阻力．当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时：
答案：(1) 50 A (2) 7.5 m/s (3) 1.2 s
7. 如图所示，光滑绝缘斜面与水平面的夹角θ＝30°，斜面所在空间存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，两磁场的磁感应强度方向相反，且与斜面垂直，大小均为B＝1 T，宽度均为L＝0.3 m．现有一边长也为L，电阻R＝0.1 Ω的正方形闭合导线框abcd从距磁场Ⅰ上边界线x＝0.4 m处由静止释放，已知线框ab边刚进入磁场Ⅰ时恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ区域后经一段时间后，在ab边未出磁场Ⅱ区域下边界之前又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁Ⅰ场区域的过程中边始终水平，取g＝10 m/s2，求：
(1) 导线框abcd的质量m.
(2) 导线框从开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中线框产生的内能Q.
(3) 导线框从开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中运动的总时间t.
答案：(1) 0.36 kg (2) 1.755 J (3) 0.85 s3 力学三大观点在导体框模型中的应用
类型1 导体框中的动力学和能量问题
如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d＝0.55 m．有一边长L＝0.4 m、质量m1＝0.6 kg、电阻R＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量m2＝0.4 kg的物体相连．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1) 求线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力大小．
(2) 当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x.
(3) 在(2)问中的条件下，若cd边离开磁场边界PQ时，速度大小为2 m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量．
答案：(1) 2.4 N (2) 0.25 m (3) 0.1 J
【解析】(1) 线框还未进入磁场的过程中，以线框为研究对象，由牛顿第二定律得
m1gsin θ－T＝m1a
以物体为研究对象，由牛顿第二定律得
T－μm2g＝m2a
联立解得T＝2.4 N，a＝2 m/s2
(2) 线框刚进入磁场时恰好做匀速直线运动
有m1gsin θ－－T＝0，T－μm2g＝0
解得v＝1 m/s
线框进入磁场前做匀加速直线运动，有v2＝2ax
解得x＝0.25 m
(3) 线框从开始运动到cd边恰好离开磁场边界PQ时，对整体有m1gsin θ(x＋d＋L)－μm2g(x＋d＋L)＝(m1＋m2)v＋Q
解得Q＝0.4 J
ab边产生的热量Qab＝Q＝0.1 J
类型2 力学三大观点在导体框中的应用
(2025·福建卷)光滑斜面倾角为θ＝30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B.正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，由同种材料制成且粗细均匀．Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度．线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，重力加速度为g.则：
(1) 求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离．
(2) 求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差．
(3) 求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率．
答案：(1) (2) (3) 见解析
【解析】(1) 线框在没有进入磁场区域时，根据牛顿第二定律mgsin θ＝ma
根据运动学公式v2＝2ad
联立可得线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离d＝
(2) 因为cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，可知线框的边长与Ⅰ区域的长度相等，根据平衡条件有mgsin θ＝BIL1
又E＝BL1v，I＝
cd边两端的电势差U＝E
联立可得U＝
(3) ①若L2≥L1，在线框进入Ⅰ区域过程中，根据动量定理
mgsin θ·t1－BIL1t1＝0
其中t1＝，q＝It1，I＝
联立可得q＝
线框在Ⅱ区域运动过程中，根据动量定理
mgsin θ·t2－2BL1t3＝0
根据q＝·t＝·t＝
知线框进入Ⅰ、Ⅱ磁场过程中电荷量都相等，即q＝t3＝
联立可得t2＝
根据能量守恒定律－W安＋mgsin θ(L2＋L1)＝0
克服安培力做功的平均功率P＝
联立可得P＝
②若L2根据动量定理mgsin θ·t4－2BL1t5＝0，其中q′＝t5
结合q＝，q＝
联立可得t4＝
根据能量守恒定律－W′安＋mgsin θ(L2＋L1)＝0
克服安培力做功的平均功率P′＝
联立可得P′＝
常见情景 动力学分析 能量分析 动量分析
在安培力作用下穿越磁场 设运动过程中某时刻的速度为v，则a＝，a与v方向相反，导线框做减速运动，v↓ a↓，即导线框做加速度减小的减速运动，最终匀速运动(全部进入磁场)或静止(导线框离开磁场过程的分析相同) 部分(或全部)动能转化为焦耳热，Q＝－ΔEk (1) 求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt(2) 求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0(3) 求时间：①－BLΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1(已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间)②－＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他·Δt＝mv2－mv1(若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间)
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场 (1) 若进入磁场时＝，则导线框匀速运动(2) 若进入磁场时>，则导线框做加速度减小的加速运动(直至匀速)(3) 若进入磁场时<，则导线框做加速度减小的减速运动(直至匀速)(导线框离开磁场过程的分析相同) 力F做的功等于导线框的动能变化量与回路中产生的焦耳热之和，WF＝ΔEk＋Q
如图所示，磁感应强度为B的有界匀强磁场的宽度为L，一质量为m、电阻为R、边长为d(dA. 进、出磁场过程中电流方向不同
B. 进、出磁场过程中通过线圈某一横截面的电荷量相等
C. 通过磁场的过程中产生的热量为mgL
D. MN边离开磁场时的速度大小为
【解析】根据楞次定律得进磁场时感应电流为逆时针方向，出磁场时感应电流为顺时针方向，A正确；q＝n，且进、出磁场时磁通量变化相同，通过线圈某截面的电荷量相等，B正确；离开磁场时匀速运动，有mg＝F安＝Bd，得出v＝，D正确；同理可得进入磁场时速度v′＝＝v，进、出磁场过程中，根据动能定理有mg(L＋d)＋W安＝0，得出Q＝－W安＝mg(L＋d)，C错误．
(2025·陕西、山西、宁夏、青海卷)如图所示，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B.甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R.两线框在光滑水平面上以相同初速度v0＝并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用．则(D)
A. 甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B. 甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1∶1
C. 乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D. 甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4∶3
【解析】根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，故A错误；甲线框刚进磁场区域时，合力为F安1＝BI1L，I1＝，乙线框刚进磁场区域时，合力为F安2＝BI2L，I2＝，可知＝2，故B错误；假设甲、乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有－B1LΔt＝mv1－mv0，q1＝1Δt＝·Δt＝＝，同理对乙根据动量定理有－B2LΔt′＝mv2－mv0，q2＝2Δt′＝·Δt′＝＝，解得v1＝0，v2＝v0＝，故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时速度大小不为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为Q1＝mv，Q2＝mv－m()2＝mv，即＝，故C错误，D正确．
配套热练
1. 如图所示，空间中存在一匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向与竖直平面(纸面)垂直，磁场的上、下边界(虚线)均为水平面．纸面内磁场上方有一个质量为m、总电阻为R、边长为L的正方形导线框abcd(由均匀材料制成)，其上、下两边均与磁场边界平行，边长小于磁场上、下边界的间距．导线框从ab边距磁场上边界为h处自由下落，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是(B)
A. ab边刚进入磁场时，受到的安培力大小为
B. 导线框通过磁场上边界的过程中，下落的速度可能一直增大
C. 导线框通过磁场上边界的过程中，下落的速度一直减小
D. 导线框通过磁场下边界的过程中，下落的速度一直减小
【解析】导线框开始做自由落体运动，有v2＝2gh，ab边刚进入磁场时有E＝BLv，I＝，此时受到的安培力大小F＝BIL＝，A错误；若导线框进入磁场的过程中，受到的安培力一直小于其受到的重力，则导线框的速度增大，B正确，C错误；导线框通过磁场下边界时，受到的安培力可能小于其受到的重力，下落的速度可能增大，D错误．
2. 两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，用长为L的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体．距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场．磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大．把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B使其匀速通过磁场，不计空气阻力．下列说法中正确的是(D)
A. B与v0无关，与 成反比
B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率小于重力做功的功率
D. 调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
【解析】将组合体以初速度v0水平无旋转抛出后，组合体做平抛运动，后进入磁场做匀速运动，由于水平方向切割磁感线产生的感应电动势相互抵消，则有mg＝，vy＝，解得B＝·，则B与成反比，A错误；当金属框刚进入磁场时，金属框的磁通量增加，感应电流的方向为逆时针方向，当金属框刚出磁场时，金属框的磁通量减少，感应电流的方向为顺时针方向，B错误；组合体通过磁场的过程中mg＝F安，则组合体克服安培力做功的功率等于重力做功的功率，C错误；无论调节哪个物理量，只要组合体仍能匀速通过磁场，都有mg＝F安，则安培力做的功都为W＝4mgL，则组合体通过磁场的过程中产生的热量不变，D正确．
3. (2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，金属线框甲从匀强磁场的上边界由静止释放，末速度为v时，线框还未完全进入磁场；相同的线框乙从磁场的下边界以速度v竖直向上抛出，到达最高点时线框也未完全进入磁场．两线框在上述进入磁场的过程中，甲线框(B)
A. 运动的时间短 B. 运动的位移大
C. 通过的电荷量小 D. 产生的内能少
【解析】 甲线框从匀强磁场的上边界由静止释放，末速度为v时，线框还未完全进入磁场．由于线框进入磁场时会受到安培力的作用，安培力的方向与线框运动方向相反，因此线框的加速度小于重力加速度g.线框在进入磁场的过程中，速度逐渐增加，直到达到末速度 v．乙线框从磁场的下边界以速度 v竖直向上抛出，到达最高点时线框也末完全进入磁场．由于线框进入磁场时会受到安培力的作用，安培力的方向与线框运动方向相反，因此乙线框的加速度大于重力加速度g.乙线框在进入磁场的过程中，速度逐渐减小，直到达到末速度0；由于甲线框的加速度小于重力加速度g，而乙线框的加速度大于重力加速度，二者速度变化相同，甲线框的运动时间比乙线框大，因此甲线框的运动位移比乙线框的运动位移大，A错误，B正确；根据q＝＝，结合上面分析可知甲通过的电荷量大，C错误；甲线框下落过程中运动的位移大，克服安培力做功多，产生的内能多，D错误．
4. 如图所示，在竖直平面内有一上下边界均水平，垂直线框所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2.5 T．正方形单匝金属线框在磁场上方h＝0.45 m处，质量为0.1 kg，边长为0.4 m，总阻值为1 Ω.现将线框由静止释放，下落过程中线框ab边始终与磁场边界平行，ab边刚好进入磁场和刚好离开磁场时的速度均为2 m/s，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.下列说法中错误的是(C)
A. cd边刚进入磁场时克服安培力做功的功率为9 W
B. 匀强磁场区域的高度为0.65 m
C. 穿过磁场的过程中线框电阻产生的热量为0.65 J
D. 线框通过磁场上边界所用时间为0.3 s
【解析】cd边刚进入磁场时的速度为v1＝＝ m/s＝3 m/s，感应电动势为E＝BLv1＝2.5×0.4×3 V＝3 V，受到的安培力为FA＝BIL＝BL＝2.5××0.4 N＝3 N，则cd边刚进入磁场时克服安培力做功的功率为P＝FAv1＝9 W，故A正确；ab边刚好进入磁场和刚好离开磁场时的速度均为v2＝2 m/s，根据对称性cd边刚到达下边界时的速度为3 m/s，从ab边刚好进入磁场到cd边刚到达下边界时，由于线框的磁通量不变，则无电流产生，加速度为重力加速度，则有v－v＝2gh，得h＝0.25 m，匀强磁场区域的高度为s＝h＋L＝0.65 m，故B正确；由能量守恒得Q＝mg(s＋L)＋mv－mv＝1.3 J，故C错误；线框通过磁场上边界过程由动量定理得mgt－BLt＝mv2－mv1，即mgt－BqL＝mv2－mv1，此过程的电荷量为q＝＝，联立解得t＝0.3 s，故D正确．
5. 如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，ab、bc边长均为2l，gf边长为l.匀强磁场区域的上、下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，bc边离磁场上边界的距离为l，线框由静止释放，从bc边进入磁场直到gf边进入磁场前，线框做匀速运动．在gf边离开磁场后ah、ed边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且bc、gf边保持水平，重力加速度为g.
(1) 线框ah、ed边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？
(2) 若磁场上、下边界间的距离为H，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少？
答案：(1) 4倍 (2) mg(H－13l)
【解析】(1) 设磁场的磁感应强度大小为B，bc边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v1，bc边上的感应电动势为E1，由法拉第电磁感应定律，有E1＝2Blv1
设线框总电阻为R，此时线框中电流为I1，由闭合电路欧姆定律，有I1＝
设此时线框所受安培力为F1，有F1＝2I1lB
由于线框做匀速运动，其受力平衡，有mg＝F1
由以上可得v1＝
设ah、ed边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v2，又
ah＋ed＝l
同理可得v2＝
则v2＝4v1
(2) 线框自释放直到bc边进入磁场前，由机械能守恒定律，有
mgl＝mv
解得v1＝，则v2＝4
线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律得
mg(2l＋H)＝mv－mv＋Q
解得Q＝mg(H－13l)
6. 如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置．在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6 m，高0.5 m，大小均为0.5 T．电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8 Ω，高度为1.5 m，宽度略大于磁场．已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2 400 kg，取g＝10 m/s2，忽略摩擦阻力．当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时：
(1) 电梯下落速度达到2.5 m/s时，求线圈内产生的感应电流大小．
(2) 求电梯可达到的最大速度．
(3) 若电梯下落4.5 m，达到最大速度的，求此过程所用时间．
答案：(1) 50 A (2) 7.5 m/s (3) 1.2 s
【解析】(1) 电梯下落，线圈上下两边均切割磁感线产生感应电动势E1＝2nBLv1
由欧姆定律，此时线圈内产生的感应电流大小为
I1＝，代入数据得I1＝50 A
(2) 当电梯达到最大速度时，电梯所受重力与安培力平衡，有
mg＝2nBImL
Im＝
联立解得vm＝，代入数据得vm＝7.5 m/s
(3) 在电梯下落过程中，电梯所受安培力不断变化，取Δt为时间微元，则此时安培力可视为恒力，由动量定理，得
mgΔt－2nBILΔt＝mΔv
I＝
代入上式得mgΔt－＝mΔv
即mgΔt－＝mΔv
将电梯下落的各段时间累加，可得mgt－＝mv
解得t＝＋
将v＝vm＝6 m/s代入解得t＝1.2 s
7. 如图所示，光滑绝缘斜面与水平面的夹角θ＝30°，斜面所在空间存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，两磁场的磁感应强度方向相反，且与斜面垂直，大小均为B＝1 T，宽度均为L＝0.3 m．现有一边长也为L，电阻R＝0.1 Ω的正方形闭合导线框abcd从距磁场Ⅰ上边界线x＝0.4 m处由静止释放，已知线框ab边刚进入磁场Ⅰ时恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ区域后经一段时间后，在ab边未出磁场Ⅱ区域下边界之前又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁Ⅰ场区域的过程中边始终水平，取g＝10 m/s2，求：
(1) 导线框abcd的质量m.
(2) 导线框从开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中线框产生的内能Q.
(3) 导线框从开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中运动的总时间t.
答案：(1) 0.36 kg (2) 1.755 J (3) 0.85 s
【解析】(1) 线框由静止开始做匀加速运动，设加速度为a，到达磁场Ⅰ上边界线时速度为v1，则mgsin θ＝ma，v＝2ax
线框ab边进入磁场Ⅰ边界切割磁感线产生感应电流，根据电磁感应定律可得
E＝BLv1，I＝，BIL＝mgsin θ
解得m＝0.36 kg
(2) 当ab边进入磁场区域Ⅱ后，再次匀速运动时的速度为v2，线框ab边和cd边同时切割磁感线，产生同方向感应电流，同理可得I2＝
线框ab边和cd边同时受到沿斜面向上的安培力，由受力平衡可得2BI2L＝mgsin θ
从线框开始运动到ab边刚到达磁场Ⅱ下边界线过程中，由能量守恒定律可得
mg(x＋2L)sin θ＝mv＋Q
解得Q＝1.755 J
(3) 设线框ab边在磁场外匀加速运动时间为t1，在磁场Ⅰ中运动的时间为t2，在磁场Ⅱ中运动的时间为t3，则t1＝，t2＝
在t3时间段内，选沿斜面向下为正方向，由动量定理可得
mgsin θ·t3－2BLt3＝mv2－mv1
在t3时间段内流过线框横截面的电荷量
q＝t3，q＝＝
t＝t1＋t2＋t3＝0.85 s
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