4 带电粒子在立体空间中的运动
类型1 带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
(2024·苏州三模)图甲为洛伦兹力演示仪，调节玻璃泡角度使电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状．图乙为电子运动轨迹示意图，空间存在平行x轴的匀强磁场，在xOy平面内由坐标原点以初速度v0将电子射入磁场，方向与x轴正方向成α角(α<90°)，螺旋线的直径为D、螺距为Δx，则下列关系式正确的是( )
A. sin α＝ B. sin α＝
C. tan α＝ D. tan α＝
类型2 带电粒子在立体空间中的偏转
(2025·南通四模)如图所示，在直角坐标系O－xyz整个空间中有沿＋z方向的匀强电场，在z＝＋d处有一边长为d的正方形荧光屏ABCD，AB边在xOz面内．坐标原点O处有一粒子源，能向xOy平面第一象限内各个方向均匀射出粒子，粒子的质量为m、电荷量为＋q，初速度大小为v0，其中沿＋y方向射出的粒子恰好打在荧光屏上D处．不计粒子的重力及粒子间相互作用力．
(1) 求电场强度的大小E.
(2) 若整个空间同时存在沿＋z方向的匀强磁场，磁感应强度B＝，求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度L.
(3) 在(2)问的条件下，将荧光屏沿z轴方向平移至某位置，粒子初速度大小范围为0～v0，射出的粒子刚好有一半能打到荧光屏上，求荧光屏的坐标z.
粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在平面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的平面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个平面的运动
(2024·如皋调研)如图所示的三维空间中，yOz平面左侧区域记为Ⅰ，区域Ⅰ内存在沿y轴负方向的匀强电场；yOz平面与垂直于x轴足够大的荧光屏之间的区域记为Ⅱ，区域Ⅱ内存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，荧光屏与x轴交点位置的坐标不确定．一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标(－L,0,0)处进入区域Ⅰ，粒子初速度大小为v0，方向沿着x轴正方向，经过yOz平面时的坐标为(0，－L,0)，再经过磁场偏转后击中荧光屏，不计粒子的重力．
(1) 求粒子经过yOz平面时沿y轴的速度大小vy.
(2) 若荧光屏与x轴交点的x轴坐标为，求粒子在磁场中的运动时间t.
(3) 若粒子击中荧光屏时z轴坐标为，求荧光屏与x轴交点的x轴坐标．
配套热练
1. (2025·连云港期末)如图所示，O－xyz三维坐标系所在的整个空间内存在沿z轴正方向的匀强电场和匀强磁场．t＝0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A(0，L,0)点以初速度v沿x轴正方向进入场区，已知粒子运动中可以经过z轴，匀强电场的电场强度大小为E，粒子重力不计，求：
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 粒子第一次经过z轴时离O点的距离d.
(3) 粒子经过z轴的时刻t.
2. 某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示．在空间直角坐标系O-xyz的y>0区域有沿－z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿－z方向的匀强磁场，在x＝－2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙所示．质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，－d,0)以初速度v0沿＋y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与－x方向的夹角θ＝60°.不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收．求：
(1) 粒子的电性．
(2) 磁感应强度大小B.
(3) 粒子打到屏上位置的z轴坐标z1.
3. (2025·常州高三期末调研)如图所示，空间直角坐标系O－xyz内存在直四棱柱空间区域，四棱柱的截面NPMO与ABCD、EFGH两个底面平行，其中N点的坐标为(1.5L,0,0)，M点的坐标为(0,2L,0)，D点坐标为(0,0，L)，H点的坐标为(0,0，－πL)．四棱柱ABCD－NPMO空间内有沿z轴负方向的匀强电场，NPMO－EFGH空间内有沿z轴正方向的匀强磁场．质量为m、电荷量为＋q的粒子以速度v0从D点沿DC方向射入电场，经电场偏转在OM的中点Q进入匀强磁场，调整磁感应强度的大小，使粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，不计粒子重力．求：
(1) 电场强度的大小．
(2) 磁感应强度的大小．
(3) 粒子在EFGH面出射点的x坐标．
4. (2025·徐州调研)在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动．现有一种较为简单的控制粒子的装置，其内部结构可简化为如图所示模型：空间三维直角坐标系O－xyz中，在x≥0、y≥0的空间中有沿y轴正方向、电场强度大小E＝×105 V/m的匀强电场，在x<0的空间中有沿z轴负方向、磁感应强度的大小B1＝0.2 T的匀强磁场，xOz平面内x≥0区域有一足够大的吸收屏，屏下方存在有沿y轴正方向、大小为B2＝ T的匀强磁场．有一小型粒子源紧贴在x轴上点Q(0.2 m,0,0)的上侧，粒子源能沿x轴负方向持续发射速度为v0＝1×106 m/s的带正电的粒子，其比荷为 ＝5×107 C/kg.忽略粒子重力及带电粒子间的相互作用．求：
(1) 带电粒子第1次穿过y轴时的速度大小．
(2) 带电粒子第2次穿过y轴时的位置坐标．
(3) 若电场强度的大小E可在×105 V/m～×105 V/m之间进行连续调节，带电粒子打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4 带电粒子在立体空间中的运动
类型1 带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
(2024·苏州三模)图甲为洛伦兹力演示仪，调节玻璃泡角度使电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状．图乙为电子运动轨迹示意图，空间存在平行x轴的匀强磁场，在xOy平面内由坐标原点以初速度v0将电子射入磁场，方向与x轴正方向成α角(α<90°)，螺旋线的直径为D、螺距为Δx，则下列关系式正确的是(D)
A. sin α＝ B. sin α＝
C. tan α＝ D. tan α＝
【解析】根据题意可知，电子在zOy平面做匀速圆周运动，周期为T＝，电子沿x方向做匀速直线运动，则有Δx＝v0cos α·T＝v0cos α·，沿z方向有D＝2r＝2，联立可得tan α＝，故D正确．
类型2 带电粒子在立体空间中的偏转
(2025·南通四模)如图所示，在直角坐标系O－xyz整个空间中有沿＋z方向的匀强电场，在z＝＋d处有一边长为d的正方形荧光屏ABCD，AB边在xOz面内．坐标原点O处有一粒子源，能向xOy平面第一象限内各个方向均匀射出粒子，粒子的质量为m、电荷量为＋q，初速度大小为v0，其中沿＋y方向射出的粒子恰好打在荧光屏上D处．不计粒子的重力及粒子间相互作用力．
(1) 求电场强度的大小E.
(2) 若整个空间同时存在沿＋z方向的匀强磁场，磁感应强度B＝，求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度L.
(3) 在(2)问的条件下，将荧光屏沿z轴方向平移至某位置，粒子初速度大小范围为0～v0，射出的粒子刚好有一半能打到荧光屏上，求荧光屏的坐标z.
答案：(1) (2) d (3) 9d2(n＝0,1,2,3，…)
【解析】(1) 设粒子运动的加速度为a，运动到D点的时间为t1，则y方向d＝v0t1
z方向qE＝ma，d＝at
解得E＝
(2) 设粒子在磁场中运动的半径为r，周期为T，粒子在磁场中的偏转角为θ，粒子的运动可以分解为xOy平面内的匀速圆周运动与沿＋z方向的匀加速直线运动，则由牛顿第二定律得
qv0B＝m
解得r＝<
入射的粒子在荧光屏上形成的亮线轨迹如图甲中实线所示
甲
则T＝，θ＝t1
由几何关系得L＝×2rsin
解得L＝d
(3) 入射速度v0与x轴成45°的粒子恰好击中荧光屏时，有一半被荧光屏吸收，设粒子从射出到击中荧光屏的最短时间为t2，粒子在xOy平面内偏转的轨迹如图乙所示
乙
则t2＝T
射入的粒子击中荧光屏的运动时间可能是
t＝nT＋t2(n＝0,1,2,3，…)
荧光屏在z轴方向的坐标z＝at2
解得z＝9d2(n＝0,1,2,3，…)
粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在平面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的平面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个平面的运动
(2024·如皋调研)如图所示的三维空间中，yOz平面左侧区域记为Ⅰ，区域Ⅰ内存在沿y轴负方向的匀强电场；yOz平面与垂直于x轴足够大的荧光屏之间的区域记为Ⅱ，区域Ⅱ内存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，荧光屏与x轴交点位置的坐标不确定．一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标(－L,0,0)处进入区域Ⅰ，粒子初速度大小为v0，方向沿着x轴正方向，经过yOz平面时的坐标为(0，－L,0)，再经过磁场偏转后击中荧光屏，不计粒子的重力．
(1) 求粒子经过yOz平面时沿y轴的速度大小vy.
(2) 若荧光屏与x轴交点的x轴坐标为，求粒子在磁场中的运动时间t.
(3) 若粒子击中荧光屏时z轴坐标为，求荧光屏与x轴交点的x轴坐标．
答案：(1) 2v0 (2) (3) (n＝0,1,2,3，…)或(n＝1,2,3，…)
【解析】(1) 在区域Ⅰ内，粒子在x轴方向做匀速直线运动，则可得粒子在区域Ⅰ内所用的时间为t1＝
因受到电场力的作用，粒子在区域Ⅰ内时，在y轴上做匀加速运动，可得L＝a1t
解得a1＝
则可得粒子经过yOz平面时沿y轴的速度大小为
vy＝a1t1＝2v0
(2) 因在区域Ⅱ内的磁场方向沿x轴正方向，则可将进入区域Ⅱ内的速度分解为沿x轴方向和垂直于x轴方向，沿x轴方向的速度大小为v0，垂直于x轴方向的速度大小为2v0，则可得粒子在磁场中的运动时间为t＝＝
(3) 根据洛伦兹力提供向心力，可得m＝Bq·2v0
解得R＝
已知粒子击中荧光屏时z轴坐标为，即在z轴方向上的位移为d＝
设粒子在yOz平面上的速度偏转的角度为θ，则可得
cos θ＝＝
解得θ＝2nπ＋(n＝0,1,2,3，…)或θ＝2nπ－(n＝1,2,3，…)
粒子在磁场中运动的周期为T＝
则粒子在磁场中经历的时间为
t＝T＝(n＝0,1,2,3，…)或t＝(n＝1,2,3，…)
荧光屏与x轴交点的x坐标为
x＝v0t＝(n＝0,1,2,3，…)或x＝(n＝1,2,3，…)
配套热练
1. (2025·连云港期末)如图所示，O－xyz三维坐标系所在的整个空间内存在沿z轴正方向的匀强电场和匀强磁场．t＝0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A(0，L,0)点以初速度v沿x轴正方向进入场区，已知粒子运动中可以经过z轴，匀强电场的电场强度大小为E，粒子重力不计，求：
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 粒子第一次经过z轴时离O点的距离d.
(3) 粒子经过z轴的时刻t.
答案：(1) (2) (3) (n＝0,1,2,3，…)
【解析】(1) 粒子经过z轴，则R＝
根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m
可得B＝
(2) 沿z轴正方向，粒子做初速度为0的匀加速运动，则
d＝at2，a＝，t＝T，T＝
由以上各式得d＝
(3) 根据题意可得t＝T(n＝0,1,2,3，…)，T＝
所以t＝(n＝0,1,2,3，…)
2. 某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示．在空间直角坐标系O-xyz的y>0区域有沿－z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿－z方向的匀强磁场，在x＝－2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙所示．质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，－d,0)以初速度v0沿＋y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与－x方向的夹角θ＝60°.不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收．求：
(1) 粒子的电性．
(2) 磁感应强度大小B.
(3) 粒子打到屏上位置的z轴坐标z1.
答案：(1) 正电 (2) (3) －
【解析】(1) 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由左手定则知粒子带正电
(2) 设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ＝d
根据洛伦兹力提供向心力qv0B＝m
解得B＝
(3) 设粒子经过x轴时的坐标为－x1，则x1＋rsin θ＝2d
粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，则v0t1＝
粒子运动的加速度a＝
在z轴负方向运动的距离z′1＝at
解得t1＝，z′1＝
所以打到屏上位置的z轴坐标z1＝－
3. (2025·常州高三期末调研)如图所示，空间直角坐标系O－xyz内存在直四棱柱空间区域，四棱柱的截面NPMO与ABCD、EFGH两个底面平行，其中N点的坐标为(1.5L,0,0)，M点的坐标为(0,2L,0)，D点坐标为(0,0，L)，H点的坐标为(0,0，－πL)．四棱柱ABCD－NPMO空间内有沿z轴负方向的匀强电场，NPMO－EFGH空间内有沿z轴正方向的匀强磁场．质量为m、电荷量为＋q的粒子以速度v0从D点沿DC方向射入电场，经电场偏转在OM的中点Q进入匀强磁场，调整磁感应强度的大小，使粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，不计粒子重力．求：
(1) 电场强度的大小．
(2) 磁感应强度的大小．
(3) 粒子在EFGH面出射点的x坐标．
答案：(1) (2) (3) L
【解析】 (1) 电场中粒子做类平抛运动
L＝v0t1
L＝at
a＝
解得E＝
(2) 磁场中粒子做等距螺旋线运动，不从侧面出射必从下底面出射
粒子在z轴负方向分速度大小vz＝t
解得vz＝2v0
运动时间t2＝
洛伦兹力提供向心力Bqv0＝
T＝
若轨迹与ABFE面相切，则R＝L
此时t＝T＝>，粒子未到达ABFE即出射，不符合题意．
若轨迹与BCGF面相切，则R′＝L
此时t＝T′＝，粒子恰好从FG边出射．
可得R＝L
解得B＝
(3) 由上述分析可知，x＝L
4. (2025·徐州调研)在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动．现有一种较为简单的控制粒子的装置，其内部结构可简化为如图所示模型：空间三维直角坐标系O－xyz中，在x≥0、y≥0的空间中有沿y轴正方向、电场强度大小E＝×105 V/m的匀强电场，在x<0的空间中有沿z轴负方向、磁感应强度的大小B1＝0.2 T的匀强磁场，xOz平面内x≥0区域有一足够大的吸收屏，屏下方存在有沿y轴正方向、大小为B2＝ T的匀强磁场．有一小型粒子源紧贴在x轴上点Q(0.2 m,0,0)的上侧，粒子源能沿x轴负方向持续发射速度为v0＝1×106 m/s的带正电的粒子，其比荷为 ＝5×107 C/kg.忽略粒子重力及带电粒子间的相互作用．求：
(1) 带电粒子第1次穿过y轴时的速度大小．
(2) 带电粒子第2次穿过y轴时的位置坐标．
(3) 若电场强度的大小E可在×105 V/m～×105 V/m之间进行连续调节，带电粒子打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度．
答案：(1) 2×106 m/s (2) (3) m
【解析】(1) 根据题意可知，带电粒子在xOy平面的电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示
粒子沿x轴负方向做匀速直线运动t0＝
沿y轴正方向电场力提供加速度a＝
到达y轴时，沿y轴正方向速度为vy＝at0
粒子速度为v＝＝2×106 m/s
(2) 带电粒子在电场中做类平抛运动，则y＝at
带电粒子在磁场B1中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
qvB1＝
解得半径为R＝
根据几何关系，粒子再次回到y轴时，与第一次到y轴之间的距离Δy＝2Rcos θ
则有|y2|＝Δy－y＝ m
可知，粒子第2次到达y轴时坐标为
(3) 若所加电场E′＝×105 V/m
则有a′＝，y′＝a′t
v′y＝a′t0，v′＝，R′＝
Δy′＝2R′cos θ′，|y′|＝Δy′－y′＝ m
当E＝×105 V/m时，带电粒子进入磁场B2中后，粒子在平行于xOz的平面内以vx＝v0做匀速圆周运动，同时在沿y轴方向上做速度为vy＝v0tan θ的匀速直线运动．即做螺旋向上运动．调节E的数值后，易知在垂直于磁场B2的方向上，粒子每次进入磁场B2的速度水平分量总保持vx＝v0不变．故粒子在平行于xOz的平面内做圆周运动的半径为R2＝
粒子运动的周期为T＝
所加电场E＝×105 V/m时，粒子到达吸收屏的时间
t1＝
所加电场E′＝×105 V/m时，粒子到达吸收屏的时间
t2＝
吸收屏能接受到粒子的持续时间为Δt＝t2－t1
由于t1＝3×10－7 s，可知t1带电粒子均落在吸收屏上，设痕迹的长度为s，则
s＝·2πR2＝ m
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专题三
电场与磁场
攻坚克难二 带电粒子在复合场中的运动
4 带电粒子在立体空间中的运动
1
类型1 带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
(2024·苏州三模)图甲为洛伦兹力演示仪，调节玻璃泡角度使电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状．图乙为电子运动轨迹示意图，空间存在平行x轴的匀强磁场，在xOy平面内由坐标原点以初速度v0将电子射入磁场，方向与x轴正方向成α角(α<90°)，螺旋线的直径为D、螺距为Δx，则下列关系式正确的是( )
D
2
类型2 带电粒子在立体空间中的偏转
(2025·南通四模)如图所示，在直角坐标系O－xyz整个空间中有沿＋z方向的匀强电场，在z＝＋d处有一边长为d的正方形荧光屏ABCD，AB边在xOz面内．坐标原点O处有一粒子源，能向xOy平面第一象限内各个方向均匀射出粒子，粒子的质量为m、电荷量为＋q，初速度大小为v0，其中沿＋y方向射出的粒子恰好打在荧光屏上D处．不计粒子的重力及粒子间相互作用力．
乙
粒子在立体空间常见运动及解题策略
规律总结
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在平面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的平面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个平面的运动
(2024·如皋调研)如图所示的三维空间中，yOz平面左侧区域记为Ⅰ，区域Ⅰ内存在沿y轴负方向的匀强电场；yOz平面与垂直于x轴足够大的荧光屏之间的区域记为Ⅱ，区域Ⅱ内存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，荧光屏与x轴交点位置的坐标不确定．一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标(－L,0,0)处进入区域Ⅰ，粒子初速度大小为v0，方向沿着x轴正方向，经过yOz平面时的坐标为(0，－L,0)，再经过磁场偏转后击中荧光屏，不计粒子的重力．
1
热练
1. (2025·连云港期末)如图所示，O－xyz三维坐标系所在的整个空间内存在沿z轴正方向的匀强电场和匀强磁场．t＝0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的A(0，L,0)点以初速度v沿x轴正方向进入场区，已知粒子运动中可以经过z轴，匀强电场的电场强度大小为E，粒子重力不计，求：
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 粒子第一次经过z轴时离O点的距离d.
(3) 粒子经过z轴的时刻t.
2. 某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示．在空间直角坐标系O-xyz的y>0区域有沿－z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿－z方向的匀强磁场，在x＝－2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙所示．质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，－d,0)以初速度v0沿＋y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与－x方向的夹角θ＝60°.不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收．求：
(1) 粒子的电性．
(2) 磁感应强度大小B.
(3) 粒子打到屏上位置的z轴坐标z1.
3. (2025·常州高三期末调研)如图所示，空间直角坐标系O－xyz内存在直四棱柱空间区域，四棱柱的截面NPMO与ABCD、EFGH两个底面平行，其中N点的坐标为(1.5L,0,0)，M点的坐标为(0,2L,0)，D点坐标为(0,0，L)，H点的坐标为(0,0， －πL)．四棱柱ABCD－NPMO空间内有沿z轴负方向的匀强电场，NPMO－EFGH空间内有沿z轴正方向的匀强磁场．质量为m、电荷量为＋q的
粒子以速度v0从D点沿DC方向射入电场，经电场偏转在OM
的中点Q进入匀强磁场，调整磁感应强度的大小，使粒子
恰好未从四棱柱的侧面飞出，不计粒子重力．求：
(1) 电场强度的大小．
(2) 磁感应强度的大小．
(3) 粒子在EFGH面出射点的x坐标．
(1) 带电粒子第1次穿过y轴时的速度大小．
(2) 带电粒子第2次穿过y轴时的位置坐标．
