(共38张PPT)
专题四
电路与电磁感应
攻坚克难三 力学三大观点在电磁感应中的应用
2 力学三大观点在“双杆＋导轨”模型中的应用
1
类型1 无外力作用
如图所示，两光滑平行长直导轨，间距为d，放置在水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为r的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，初始两导体棒距离足够远，L1静止，L2以初速度v0向右运动，不计导轨电阻，忽略感生电流产生的磁场，则( )
D
2
类型2 有外力作用
如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的热量为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法中正确的是( )
C
3
(2025·海南卷)间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ＝30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd与水平导轨的动摩擦因数μ＝0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R，cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为g.
(1) 锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当ab棒下滑距离为x0时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热．
(2) 此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd棒的速度大小之差．
(3) ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t1时刻cd棒速度为0，加速度不为0，此后某时刻，cd棒的加速度为0，速度不为0，求从t1时刻到某时刻，ab、cd的路程之差．
“双杆＋导轨”模型
规律总结
(2025·苏锡常镇调研一)如图所示，两根足够长且光滑的平行金属导轨与水平面成θ＝30°，导轨上放置两根质量均为m、电阻均为R的导体棒ab、cd，导轨电阻不计，并处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．t＝0时刻，在ab棒上施加一沿导轨平面向上、大小为mg的恒力，同时释放cd棒．下列图像中，a、v、x、Eab分别为ab棒的加速度、速度、位移和机械能，E为ab、cd棒组成系统的机械能，可能正确的是( )
1
C
(2024·南师附中)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.3 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，取g＝10 m/s2，求：
2
(1) cd棒通过轨道最高位置PP′的速度大小v及cd棒刚进入半圆轨道瞬间的速度大小v2.
(2) cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热Q.
(3) cd棒刚进入半圆轨道时，与初始时刻相比，两棒间距变化量Δx.
热练
1. (2025·湖北卷)如图甲所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、有效电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好．导轨电阻忽略不计．导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图乙所示，t＝T时刻，B＝0.t＝0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为0，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0～T时间内流过回路的电荷量为( )
B
2. (2025·盐城考前指导试卷)如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，电阻不计，图中EFHG矩形区域内有方向垂直导轨平面向上的匀强磁场．在t＝0时刻，两金属棒a、b以相同速率分别从EF、GH进入磁场．在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰．设b棒速度为v，通过b棒横截面的电荷量为q，两棒间的距离为d.规定向右为正方向．下列关于b棒的v－t和q－d的图像可能正确的是( )
A. ②③ B. ①③
C. ②④ D. ①④
B
3. (2024·海南卷改编)两根足够长的导轨由上下段电阻不计且光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L＝1 m，连接处平滑．导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R＝0.02 Ω的电阻和C＝1 F的电容器，整个装置处于B＝0.2 T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1＝0.8 kg，m2＝0.4 kg，ab棒电阻为0.08 Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0＝4.32 m处在一个大小F＝4.64 N、方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5 m/s，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是( )
A. ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44 s
B. ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为3.9 J
C. 两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3 m/s
D. 两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4 m/s
D
(1) ab刚越过MP时产生的感应电动势大小．
(2) 金属环刚开始运动时的加速度大小．
(3) 为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离．
5. (2025·甘肃卷)已知在一磁感应强度为B的磁场中存在一光滑双轨，左端接入电容器C，两机械臂1和机械臂2(可视为杆)质量均为m，两机械臂接入磁场中的长度均为L，电阻均为R.机械臂1的初速度为v0，机械臂2静止，两者不相撞．求：
(1) 初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向．
(2) 在达到稳定前，两机械臂电流分别为I1和I2，求此时两机械臂所受安培力的大小，以及此时电容器电荷量的表达式．
(3) 稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值．
【解析】(1) 初始时刻机械臂1的感应电动势大小为E＝BLv0
由右手定则可知感应电流方向竖直向上．
6. 如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，导轨间距L＝0.5 m，导轨上端接一阻值R＝1 Ω的电阻．匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B＝2 T．两导体棒a、b质量均为 m＝1 kg、电阻均为r＝0.5 Ω，且导体棒a与导轨之间的动摩擦因数μ1＝0.5，导体棒b与导轨之间的动摩擦因数μ2＝0.8.开始时a棒固定，b棒静止，现让a棒由静止开始下滑，当b棒在安培力作用下刚要开始运动时，两棒恰好相碰，并一起向下运动．a、b始终与导轨垂直并保持良好接触．取 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.2 力学三大观点在“双杆＋导轨”模型中的应用
类型1 无外力作用
如图所示，两光滑平行长直导轨，间距为d，放置在水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为r的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，初始两导体棒距离足够远，L1静止，L2以初速度v0向右运动，不计导轨电阻，忽略感生电流产生的磁场，则( )
A. 导体棒L1的最终速度为v0
B. 导体棒L2产生的焦耳热为
C. 通过导体棒横截面的电荷量为
D. 两导体棒的初始距离最小为
类型2 有外力作用
如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的热量为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法中正确的是( )
A. v的大小等于
B. 撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为 v，方向向右
C. 撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为 v，方向向右
D. 撤去拉力F后，整个回路产生的热量为 mv2
(2025·海南卷)间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ＝30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd与水平导轨的动摩擦因数μ＝0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R，cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为g.
(1) 锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当ab棒下滑距离为x0时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热．
(2) 此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd棒的速度大小之差．
(3) ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t1时刻cd棒速度为0，加速度不为0，此后某时刻，cd棒的加速度为0，速度不为0，求从t1时刻到某时刻，ab、cd的路程之差．
“双杆＋导轨”模型
物理模型
两杆都在运动，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒
分析方法 动力学观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和(合外力为0)
动量观点 对双杆合外力为0，应用动量守恒定律处理速度问题，对其中一杆应用动量定理可解电荷量、时间及位移差问题
(2025·苏锡常镇调研一)如图所示，两根足够长且光滑的平行金属导轨与水平面成θ＝30°，导轨上放置两根质量均为m、电阻均为R的导体棒ab、cd，导轨电阻不计，并处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．t＝0时刻，在ab棒上施加一沿导轨平面向上、大小为mg的恒力，同时释放cd棒．下列图像中，a、v、x、Eab分别为ab棒的加速度、速度、位移和机械能，E为ab、cd棒组成系统的机械能，可能正确的是( )
A B C D
(2024·南师附中)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.3 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，取g＝10 m/s2，求：
(1) cd棒通过轨道最高位置PP′的速度大小v及cd棒刚进入半圆轨道瞬间的速度大小v2.
(2) cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热Q.
(3) cd棒刚进入半圆轨道时，与初始时刻相比，两棒间距变化量Δx.
配套热练
1. (2025·湖北卷)如图甲所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、有效电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好．导轨电阻忽略不计．导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图乙所示，t＝T时刻，B＝0.t＝0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为0，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0～T时间内流过回路的电荷量为( )
甲 乙
A. B.
C. D.
2. (2025·盐城考前指导试卷)如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，电阻不计，图中EFHG矩形区域内有方向垂直导轨平面向上的匀强磁场．在t＝0时刻，两金属棒a、b以相同速率分别从EF、GH进入磁场．在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰．设b棒速度为v，通过b棒横截面的电荷量为q，两棒间的距离为d.规定向右为正方向．下列关于b棒的v－t和q－d的图像可能正确的是( )
A. ②③ B. ①③
C. ②④ D. ①④
3. (2024·海南卷改编)两根足够长的导轨由上下段电阻不计且光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L＝1 m，连接处平滑．导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R＝0.02 Ω的电阻和C＝1 F的电容器，整个装置处于B＝0.2 T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1＝0.8 kg，m2＝0.4 kg，ab棒电阻为0.08 Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0＝4.32 m处在一个大小F＝4.64 N、方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5 m/s，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是( )
A. ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44 s
B. ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为3.9 J
C. 两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3 m/s
D. 两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4 m/s
4. (2024·湖北卷)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切．MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场．长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点．质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等．忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g.现将金属棒ab由静止释放，求：
(1) ab刚越过MP时产生的感应电动势大小．
(2) 金属环刚开始运动时的加速度大小．
(3) 为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离．
5. (2025·甘肃卷)已知在一磁感应强度为B的磁场中存在一光滑双轨，左端接入电容器C，两机械臂1和机械臂2(可视为杆)质量均为m，两机械臂接入磁场中的长度均为L，电阻均为R.机械臂1的初速度为v0，机械臂2静止，两者不相撞．求：
(1) 初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向．
(2) 在达到稳定前，两机械臂电流分别为I1和I2，求此时两机械臂所受安培力的大小，以及此时电容器电荷量的表达式．
(3) 稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值．
6. 如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，导轨间距L＝0.5 m，导轨上端接一阻值R＝1 Ω的电阻．匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B＝2 T．两导体棒a、b质量均为 m＝1 kg、电阻均为r＝0.5 Ω，且导体棒a与导轨之间的动摩擦因数μ1＝0.5，导体棒b与导轨之间的动摩擦因数μ2＝0.8.开始时a棒固定，b棒静止，现让a棒由静止开始下滑，当b棒在安培力作用下刚要开始运动时，两棒恰好相碰，并一起向下运动．a、b始终与导轨垂直并保持良好接触．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.
(1) 求a棒跟b棒刚要相碰时，a棒的速度大小．
(2) 求a、b棒一起下滑的最大速度．
(3) 若两棒相碰后，经过t＝ s发现已经达到最大速度，求在这段时间内电路中产生的焦耳热．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2 力学三大观点在“双杆＋导轨”模型中的应用
类型1 无外力作用
如图所示，两光滑平行长直导轨，间距为d，放置在水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为r的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，初始两导体棒距离足够远，L1静止，L2以初速度v0向右运动，不计导轨电阻，忽略感生电流产生的磁场，则(D)
A. 导体棒L1的最终速度为v0
B. 导体棒L2产生的焦耳热为
C. 通过导体棒横截面的电荷量为
D. 两导体棒的初始距离最小为
【解析】根据楞次定律，导体棒L1、L2最终以相同的速度匀速直线运动，设共同速度为v1，水平向右为正方向，根据动量守恒定律可得mv0＝2mv1，解得v1＝，故A错误；设导体棒L1、L2在整个过程中产生的焦耳热为Q总，根据能量守恒定律可得mv＝Q总＋(2m)v，解得Q总＝mv，导体棒L1、L2的电阻都为r，因此导体棒L2产生的焦耳热为Q＝Q总＝mv，故B错误；对导体棒L1，由动量定理得Bidt＝mv1，因为q＝it，故Bdq＝mv1，因此通过导体棒横截面的电荷量为q＝＝，故C错误；当导体棒L1、L2速度相等时距离为0，则两棒初始距离最小，设最小初始距离为l，则通过导体棒横截面的电荷量q＝iΔt＝Δt＝Δt＝＝，解得l＝，故D正确．
类型2 有外力作用
如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的热量为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法中正确的是(C)
A. v的大小等于
B. 撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为 v，方向向右
C. 撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为 v，方向向右
D. 撤去拉力F后，整个回路产生的热量为 mv2
【解析】根据动能定理可知Fs－Q总＝·2mv2，根据AB棒上产生的热量可知Q总＝3Q，可解得v＝，故A错误；最终稳定后，则有BlvAB＝B·2lvCD，分别对两根导体棒列动量定理，则有Blt＝m(vAB－v)，2Blt＝m(v－vCD)，联立解得vAB＝v，vCD＝v，AB的速度方向向左，CD的速度方向向右，故B错误，C正确；根据能量守恒可知Q＝·2mv2－＝mv2，故D错误．
(2025·海南卷)间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ＝30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd与水平导轨的动摩擦因数μ＝0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R，cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为g.
(1) 锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当ab棒下滑距离为x0时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热．
(2) 此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd棒的速度大小之差．
(3) ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t1时刻cd棒速度为0，加速度不为0，此后某时刻，cd棒的加速度为0，速度不为0，求从t1时刻到某时刻，ab、cd的路程之差．
答案：(1) mgx0－ (2)
(3)
【解析】(1) ab棒静止在倾斜导轨上，根据平衡条件可得
mgsin 30°＝BIabL
解得通过ab棒的电流为Iab＝
设当ab棒下滑距离为x0时速度为v0，cd棒开始运动时回路中的电流为I1，此时对cd棒有F安cd＝μmg
同时有F安cd＝BI1L，I1＝
分析可知cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒产生的焦耳热与ab棒产生的焦耳热相等，整个过程根据能量守恒可得
mgx0sin 30°－mv＝2Qcd
联立解得cd棒产生的焦耳热为Qcd＝mgx0－
(2) 分析可知ab棒在下滑过程中产生的电动势与cd棒在向左运动的过程中产生的电动势方向相反，故当电流达到稳定时，两棒的速度差恒定，故可知此时两棒的加速度相等，由于两棒受到的安培力大小相等，对两棒有mgsin 30°－F安＝ma，F安－μmg＝ma
同时有F安＝BIL，I＝＝
联立解得此时ab、cd棒的速度大小之差为Δv＝
(3) 分析可知从开始到t1时刻，两棒整体所受的合外力为0，故该过程系统动量守恒，设t1时刻ab棒的速度为v′1，可知mΔv＝mv′1
解得v′1＝Δv＝
设某时刻时，ab棒速度为v″1，cd棒速度为vcd，cd棒的加速度为0，可得F安cd2＝μmg①
其中F安cd2＝BI2L
分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得
I2＝②
从t1时刻到某时刻，对两棒分别根据动量定理有
－(μmg＋BL)Δt＝mv″1－mv′1，(BL－μmg)Δt＝mvcd
变式可得μmgΔt＋BLq＝mv′1－mv″1，BLq－μmgΔt＝mvcd
两式相加得2BLq＝mv′1－m(v″1－vcd)③
同时有q＝Δt＝·Δt＝＝④
联立①②③④可得从t1到某时刻，ab、cd的路程之差为
Δs＝
“双杆＋导轨”模型
物理模型
两杆都在运动，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒
分析方法 动力学观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和(合外力为0)
动量观点 对双杆合外力为0，应用动量守恒定律处理速度问题，对其中一杆应用动量定理可解电荷量、时间及位移差问题
(2025·苏锡常镇调研一)如图所示，两根足够长且光滑的平行金属导轨与水平面成θ＝30°，导轨上放置两根质量均为m、电阻均为R的导体棒ab、cd，导轨电阻不计，并处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．t＝0时刻，在ab棒上施加一沿导轨平面向上、大小为mg的恒力，同时释放cd棒．下列图像中，a、v、x、Eab分别为ab棒的加速度、速度、位移和机械能，E为ab、cd棒组成系统的机械能，可能正确的是(C)
A B C D
【解析】释放两棒后ab棒向上运动，cd棒向下运动，对ab棒分析可知加速度a＝，其中F ＝mg，F安＝BL＝，随速度的增加，安培力变大，则加速度减小，当加速度减为0时，F安＝mgsin 30°，此时对cd因满足F安＝mgsin 30°，则cd也匀速运动，即两棒的加速度减为0后均做匀速运动，A、B错误；ab棒的机械能变化量等于力F与F安做功的代数和，开始时随安培力变大，则这两个力做功的代数和逐渐减小，最后匀速时两个力的合力为mg，则合力不变，随位移增加合力做功逐渐增加，即Eab图像的斜率先减小，后不变，C正确；对两棒整体，机械能的变化量等于力F与两棒受的安培力做功的代数和，因最终两棒均匀速运动，且由于系统沿斜面方向受合外力为0，系统沿斜面方向动量守恒，可知最终两棒匀速运动的速度相等，安培力(均为mg)对两棒均做负功，力F对系统做正功，可知两个安培力和力F做功代数和为0，则系统的机械能不变，D错误．
(2024·南师附中)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.3 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，取g＝10 m/s2，求：
(1) cd棒通过轨道最高位置PP′的速度大小v及cd棒刚进入半圆轨道瞬间的速度大小v2.
(2) cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热Q.
(3) cd棒刚进入半圆轨道时，与初始时刻相比，两棒间距变化量Δx.
答案：(1) m/s 5 m/s (2) 1.25 J (3) m
【解析】(1) cd棒在轨道最高位置由重力提供向心力，有
m2g＝m2
解得v＝ m/s
cd棒从刚进入半圆轨道到通过轨道最高位置的过程中机械能守恒 m2v＝m2g·2r＋m2v2
解得v2＝5 m/s
(2) cd棒与ab棒组成的系统动量守恒，设cd棒刚进入半圆轨道时ab的速度大小为v1，规定向右为正方向
m1v0＝m1v1＋m2v2
解得v1＝7.5 m/s
根据能量守恒有 m1v＝m1v＋m2v＋Q′
根据电路特点有cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热
Q＝Q′
解得Q＝1.25 J
(3) 根据动量定理可得 －Bdt＝m1v1－m1v0
则－Bqd＝m1v1－m1v0
解得q＝ C
根据法拉第电磁感应定律可知平均电动势＝＝
平均电流＝
电荷量q＝t
解得Δx＝ m
配套热练
1. (2025·湖北卷)如图甲所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、有效电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好．导轨电阻忽略不计．导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图乙所示，t＝T时刻，B＝0.t＝0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为0，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0～T时间内流过回路的电荷量为(B)
甲 乙
A. B.
C. D.
【解析】通过导体的电荷量q＝Δt，而＝，t＝T时，磁感应强度为0，故＝＝，联立以上各式，可得q＝，故B正确．
2. (2025·盐城考前指导试卷)如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，电阻不计，图中EFHG矩形区域内有方向垂直导轨平面向上的匀强磁场．在t＝0时刻，两金属棒a、b以相同速率分别从EF、GH进入磁场．在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰．设b棒速度为v，通过b棒横截面的电荷量为q，两棒间的距离为d.规定向右为正方向．下列关于b棒的v－t和q－d的图像可能正确的是(B)
A. ②③ B. ①③
C. ②④ D. ①④
【解析】 由于b棒初速度向左为负值，图②错误；设两棒初速度大小为v0，若两棒质量ma>mb，两棒系统动量守恒，系统总动量向右，b棒先向左减速，后向右加速，且加速度一直减小，图①可能正确；设EF和GH的距离为d0，a、b棒电阻分别为Ra、Rb，导轨间距为L，a、b棒距离为d时，通过b棒横截面的电荷量q＝t，平均电流＝，根据法拉第电磁感应定律＝，联立可得q＝＝，故图③正确，图④错误，故B正确．
3. (2024·海南卷改编)两根足够长的导轨由上下段电阻不计且光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L＝1 m，连接处平滑．导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R＝0.02 Ω的电阻和C＝1 F的电容器，整个装置处于B＝0.2 T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1＝0.8 kg，m2＝0.4 kg，ab棒电阻为0.08 Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0＝4.32 m处在一个大小F＝4.64 N、方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5 m/s，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是(D)
A. ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44 s
B. ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为3.9 J
C. 两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3 m/s
D. 两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4 m/s
【解析】由于金属棒ab、cd同时由静止释放，且恰好在M、N处发生弹性碰撞，则说明ab、cd在到达M、N处所用的时间是相同的，对金属棒cd和电容器组成的回路有Δq＝C·BLΔv.对cd根据牛顿第二定律有F－BIL－m2gsin 30°＝m2a2，其中a2＝，I＝，联立有a2＝，则说明金属棒cd做匀加速直线运动，则有x0＝a2t2，联立解得a2＝6 m/s2，t＝1.2 s，故A错误；由题知碰前瞬间ab的速度为4.5 m/s，则根据功能关系有m1gxabsin 30°－Q＝m1v，金属棒下滑过程中根据动量定理有m1gsin 30°·t－BL·t＝m1v1，其中q＝t＝，R总＝R＋Rab＝0.1 Ω，联立解得q＝6 C，xab＝3 m，Q＝3.9 J，则R上消耗的焦耳热为QR＝Q＝0.78 J，故B错误；由于两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，取沿斜面向下为正，有m1v1－m2v2＝m1v′1＋m2v′2，m1v＋m2v＝m1v′＋m2v′，其中v2＝a2t＝7.2 m/s，联立解得v′1＝－3.3 m/s，v′2＝8.4 m/s，故C错误，D正确．
4. (2024·湖北卷)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切．MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场．长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点．质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等．忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g.现将金属棒ab由静止释放，求：
(1) ab刚越过MP时产生的感应电动势大小．
(2) 金属环刚开始运动时的加速度大小．
(3) 为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离．
答案：(1) BL (2)
(3)
【解析】(1) 根据题意可知，对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程中，由动能定理得mgL＝mv
解得v0＝
则ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为
E＝BLv0＝BL
(2) 根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为R0＝×＝R
可知，整个回路的总电阻为R总＝R＋＝R
ab刚越过MP时，通过ab的感应电流为
I＝＝
对金属环由牛顿第二定律有2BL·＝2ma
解得a＝
(3) 根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，由动量守恒定律有mv0＝mv＋2mv
解得v＝v0
对金属棒ab，由动量定理有－BLt＝m·－mv0
则有BLq＝mv0
设金属棒运动距离为x1，金属环运动的距离为x2，则有
q＝
联立解得Δx＝x1－x2＝
则金属环圆心初始位置到MP的最小距离
d＝L＋Δx＝
5. (2025·甘肃卷)已知在一磁感应强度为B的磁场中存在一光滑双轨，左端接入电容器C，两机械臂1和机械臂2(可视为杆)质量均为m，两机械臂接入磁场中的长度均为L，电阻均为R.机械臂1的初速度为v0，机械臂2静止，两者不相撞．求：
(1) 初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向．
(2) 在达到稳定前，两机械臂电流分别为I1和I2，求此时两机械臂所受安培力的大小，以及此时电容器电荷量的表达式．
(3) 稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值．
答案：(1) BLv0 竖直向上 (2) BI1L BI2L Q＝ (3)
【解析】(1) 初始时刻机械臂1的感应电动势大小为E＝BLv0
由右手定则可知感应电流方向竖直向上．
(2) 在达到稳定前，两机械臂电流分别为I1和I2，两机械臂安培力的大小分别为F1＝BI1L，F2＝BI2L
设此时两机械臂的速度分别为v1、v2
根据动量守恒－B1L·Δt＝mv1－mv0，B2L·Δt＝mv2
而1·Δt＝Q1，2·Δt＝Q2
电容器的带电荷量Q＝Q1－Q2
电容器两端的电压U＝＝BLv1－I1R＝BLv2＋I2R
联立解得U＝
所以此时电容器电荷量为Q＝CU＝
(3) 当I1＝I＝0时，两机械臂的速度相同，此时U＝BLv
可得两机械臂的速度为v＝
此过程中，对机械臂1，根据动量定理
－·Δt＝－＝mv－mv0
对机械臂2，根据动量定理 ·Δt＝＝mv
初始距离的最小值Δx＝x1－x2
解得Δx＝
6. 如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，导轨间距L＝0.5 m，导轨上端接一阻值R＝1 Ω的电阻．匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B＝2 T．两导体棒a、b质量均为 m＝1 kg、电阻均为r＝0.5 Ω，且导体棒a与导轨之间的动摩擦因数μ1＝0.5，导体棒b与导轨之间的动摩擦因数μ2＝0.8.开始时a棒固定，b棒静止，现让a棒由静止开始下滑，当b棒在安培力作用下刚要开始运动时，两棒恰好相碰，并一起向下运动．a、b始终与导轨垂直并保持良好接触．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.
(1) 求a棒跟b棒刚要相碰时，a棒的速度大小．
(2) 求a、b棒一起下滑的最大速度．
(3) 若两棒相碰后，经过t＝ s发现已经达到最大速度，求在这段时间内电路中产生的焦耳热．
答案：(1) 0.5 m/s (2) 2 m/s (3) J
【解析】(1) b棒刚要运动时，有
mgsin 37°＋BIbL＝μ2mgcos 37°
解得Ib＝0.4 A
此时a棒中的电流Ia＝Ib＋＝0.6 A
整个电路的总电阻为R总＝r＋＝ Ω
a棒产生的感应电动势E＝BLv1
由闭合电路欧姆定律得E＝IaR总
得此时a棒的速度为v1＝0.5 m/s
(2) a、b棒碰撞过程动量守恒，有mv1＋0＝2mv2
解得v2＝0.25 m/s
最后匀速时速度最大，则电路中的电阻为R′总＝＋R
ab棒产生的感应电动势E′＝BLv3
回路中的感应电流I＝
ab棒所受的安培力F＝BIL
2mgsin 37°＝BIL＋μ1mgcos 37°＋μ2mgcos 37°
解得v3＝2 m/s
(3) 两导体棒一起向下运动的过程中，根据动量定理得
(2mgsin 37°－μ1mgcos 37°－μ2mgcos 37°)t－BLt＝2mv3－2mv2
平均感应电动势为 ＝
其中ΔΦ＝BLs，q＝t，＝
通过电阻R的净电荷量q＝＝
根据能量守恒得Q＝2mgssin 37°－μ1mgscos 37°－μ2mgscos 37°－
解得Q＝ J
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