湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·椒江期末） 在 ABCD中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·中山期末）已知□ABCD的周长为10，其中AB=3，则BC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．（2025八下·潮南期末） 在中，，，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
4．（2024八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·新昌期末） 已知，在中，，则= 度.
6．（2025八下·射洪期末）已知平行四边形的周长是20，相邻两边的长度相差2，则该四边形的较长边的长度为 ．
7．（2024八下·滨城期中）如图，在中，是的平分线，，，则 ．
8．（2023八下·莆田期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
9．（2024八下·凉州期末）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
二、能力提升
10．（2025八下·嘉兴期末） 在中，若，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
11．（2025八下·龙湾月考） 如图，在中，的角平分线交于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024八下·重庆市开学考）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2.5
14．（2024八下·富阳期中）如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2025八下·瑞安期中）已知平行四边形中的两个内角度数分别为和，且满足，则 .
16．（2025八下·射洪期中）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于、两点；分别以点、为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，，，则平行四边形的周长为 ．
17．（2024八下·宁波期中）如图，在中，平分交于点，交的延长线于点，，则的长为 ．
18．（2025八下·宁波开学考）在中，的平分线分别与边CD交于点E、F，若点相邻两点间的距离相等，则的值为 .
19．（2024八下·坪山期末）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
20．（2024八下·越秀期中）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两个点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
三、拓展提升
21．（2024八下·青秀期中）如图，在等边三角形中，边长为，点为中点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为（）（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，求出的值，若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：A .
【分析】利用平行四边形的对角相等求解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵2（AB+BC）=10，AB=3，
∴BC=2.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可知平行四边形的周长等于一组邻边之和的2倍，可得出等式2（AB+BC）=10，进一步即可求得BC的长度.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，AD=5
∴
即：平行四边形ABCD的周长为16
故答案为：D .
【分析】
本题考查平行四边形的性质及周长的计算方法，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对边相等可知：AB=CD=3，AD=BC=5，根据平行四边形的周长的计算方法：四边相加可得：，代入数据即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，将代入求出，即可解决问题．
5．【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°
故答案为：110.
【分析】利用平行四边形的对角相等性质直接求解.
6．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；多边形的周长
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是平行四边形，
∴，，
∵相邻两边的长度相差2，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：6 ．
【分析】先利用平行四边形的性质结合已知列出方程，再求解即可．
7．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，，再证出，利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
8．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可以证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，即可得到AE=CF．
9．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到，即可利用SAS证明，即可利用全等三角形的性质证明得到．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=4∠D，
∴AD∥BC，∠D=∠B，
∴∠A+∠B=180°，∠A=4∠B，
∴4∠B+∠B=180°，
∴∠B=36°，
故答案为：B .
【分析】 由平行四边形的性质得AD∥BC，∠D=∠B，则∠A+∠B=180°，而∠A=4∠D=4∠B，所以4∠B+∠B=180°，求得∠B=36°，于是得到问题的答案．
11．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 在中，
∴AB∥CD，∠AED=∠EDC
∴AE=AD，
设AE=AD=a，则AB=AE+BE=a+2，
∵ 平行四边形的周长为16 ，即（AB+AD）×2=（a+2+a）×2=16，
解得a=3，
∴AE的长度为3.
故答案为：A .
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边等相关知识。
首先根据“平行四边形的两组对边分别平行且相等”以及“两直线平行、内错角相等”，可以推出∠AED=∠EDC，继而得出AE=AD，然后可以用未知数表示AB的长，此时根据平行四边形的周长可以列出一元一次方程（a+2+a）×2=16，求解即可。
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵的中点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，，，继而利用勾股定理得，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
13．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
的平分线和的平分线交于上一点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行得CD=AB=2，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠BAE=∠BEA，由等角对等边得BE=AB=2，同理可得CE=CD=2，则AD=BC=BE+CE=4；由平行四边形的邻角互补及角平分线的定义可得∠EAD+∠ADE=90°，由三角形的内角和定理得∠AED=90°，从而根据勾股定理算出DE即可.
14．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD=6，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠DFC=∠FCD，由等角对等边得DF=CD=6，同理AE=AB=6，然后根据线段和差计算即可.
15．【答案】30或70
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①这两个内角相等，则
∴
解得：
②这两个内角互补，则
∴
解得：
综上所述，
故答案为：30或70.
【分析】根据平行四边形的性质可知需分两种情况讨论，①这两个内角相等，则②这两个内角互补，则然后代入计算即可．
16．【答案】28
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：BE平分∠ABC，
，
四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AB=CD，AD=BC=9，
∠AEB=∠EBC，
∠AEB=∠ABE，
AB=AE，
设AB=AE=x，
∴AD=AE+DE=x+4，
AD=9，
x+4=9
∴x=5，
即AE=5
AB=CD=5，
平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=，
故答案为：28．
【分析】
本题考查作图——基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题干中作图方法可知： BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义可知：∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD∥BC，AB=CD，AD=BC=9，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠AEB=∠EBC，等量代换得：∠AEB=∠ABE，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：AB=AE，设AB=AE=x，根据线段AD的长度列出关于x的方程，解得x的值，即可得到AB的长，再利用平行四边形周长公式，代入数据求出周长，即可得到答案.
17．【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【分析】根据平行四边形性质“平行四边形的对边平行且相等”以及角平分线定义可得，再由等腰三角形的等角对等边可得，然后根据线段的和差BF=CF-CB计算即可求解．
18．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图1，当点E在点F左边时，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
AE平分，
，
，
，
点相邻两点间的距离相等，
，
；
如图2，当点E在点F右边时，
点相邻两点间的距离相等，
，
.
故答案为：或.
【分析】由平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义证得，进而得到AD=DE，对点E、F的位置进行分类讨论，即可求得的值 .
19．【答案】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】①利用平行四边形的性质∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，结合AF＝DF，可判定△ABF≌△DEF，即可得出AB=DE；
②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF=AB=3，进而得出BC=AD=6，CD=AB=3，依据△ABF≌△DEF，可得DE=AB=3，EF=BF=5，进而得到△BCE的周长.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ＤＣ，AB＝CD
∴∠ABE＝∠CDF
在△ABE△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：由（1）知：△ABE≌△CDF
∴∠AEB＝∠DFC＝140°
∴∠AED＝180°－∠AEB＝40°
∵AD＝AE
∴∠AED＝∠ADE＝40°
∴∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝100°．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活运用相关性质是解题关键．（1）由平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥DC，AB＝CD，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠ABE＝∠CDF，再根据全等三角形的判定定SAS可证得：△ABE≌△CDF，最后由全等三角形的性质：对应边相等可知：AE＝CF，由此可证得结论；
（2）由可得，进而求得，再根据可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
21．【答案】（1）解：是等边三角形，，
连接BD，∠ABD=30°
当，则，
由题意得：，，
∴
解得：，
∴当t为时，；
（2）解：存在，理由如下：
①当P点未过中点，四边形是平行四边形时，如图2所示：
，
，
是等边三角形，
，
是平行四边形时
∴QB=PD=t
，
，
，
；
②当P点已过中点，当四边形是平行四边形时，如图3所示：
同①得：是等边三角形，
，
，
，
，
；
综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得当，则，，由题意得：，，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当四边形是平行四边形时，则，根据直线平行性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；②当四边形是平行四边形时，则，同①得：是等边三角形，则，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·椒江期末） 在 ABCD中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：A .
【分析】利用平行四边形的对角相等求解.
2．（2025八下·中山期末）已知□ABCD的周长为10，其中AB=3，则BC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵2（AB+BC）=10，AB=3，
∴BC=2.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可知平行四边形的周长等于一组邻边之和的2倍，可得出等式2（AB+BC）=10，进一步即可求得BC的长度.
3．（2025八下·潮南期末） 在中，，，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，AD=5
∴
即：平行四边形ABCD的周长为16
故答案为：D .
【分析】
本题考查平行四边形的性质及周长的计算方法，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对边相等可知：AB=CD=3，AD=BC=5，根据平行四边形的周长的计算方法：四边相加可得：，代入数据即可得出答案.
4．（2024八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，将代入求出，即可解决问题．
5．（2025八下·新昌期末） 已知，在中，，则= 度.
【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°
故答案为：110.
【分析】利用平行四边形的对角相等性质直接求解.
6．（2025八下·射洪期末）已知平行四边形的周长是20，相邻两边的长度相差2，则该四边形的较长边的长度为 ．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；多边形的周长
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是平行四边形，
∴，，
∵相邻两边的长度相差2，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：6 ．
【分析】先利用平行四边形的性质结合已知列出方程，再求解即可．
7．（2024八下·滨城期中）如图，在中，是的平分线，，，则 ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，，再证出，利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
8．（2023八下·莆田期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可以证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，即可得到AE=CF．
9．（2024八下·凉州期末）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到，即可利用SAS证明，即可利用全等三角形的性质证明得到．
二、能力提升
10．（2025八下·嘉兴期末） 在中，若，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=4∠D，
∴AD∥BC，∠D=∠B，
∴∠A+∠B=180°，∠A=4∠B，
∴4∠B+∠B=180°，
∴∠B=36°，
故答案为：B .
【分析】 由平行四边形的性质得AD∥BC，∠D=∠B，则∠A+∠B=180°，而∠A=4∠D=4∠B，所以4∠B+∠B=180°，求得∠B=36°，于是得到问题的答案．
11．（2025八下·龙湾月考） 如图，在中，的角平分线交于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 在中，
∴AB∥CD，∠AED=∠EDC
∴AE=AD，
设AE=AD=a，则AB=AE+BE=a+2，
∵ 平行四边形的周长为16 ，即（AB+AD）×2=（a+2+a）×2=16，
解得a=3，
∴AE的长度为3.
故答案为：A .
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边等相关知识。
首先根据“平行四边形的两组对边分别平行且相等”以及“两直线平行、内错角相等”，可以推出∠AED=∠EDC，继而得出AE=AD，然后可以用未知数表示AB的长，此时根据平行四边形的周长可以列出一元一次方程（a+2+a）×2=16，求解即可。
12．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵的中点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，，，继而利用勾股定理得，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
13．（2024八下·重庆市开学考）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2.5
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
的平分线和的平分线交于上一点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行得CD=AB=2，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠BAE=∠BEA，由等角对等边得BE=AB=2，同理可得CE=CD=2，则AD=BC=BE+CE=4；由平行四边形的邻角互补及角平分线的定义可得∠EAD+∠ADE=90°，由三角形的内角和定理得∠AED=90°，从而根据勾股定理算出DE即可.
14．（2024八下·富阳期中）如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD=6，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠DFC=∠FCD，由等角对等边得DF=CD=6，同理AE=AB=6，然后根据线段和差计算即可.
15．（2025八下·瑞安期中）已知平行四边形中的两个内角度数分别为和，且满足，则 .
【答案】30或70
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①这两个内角相等，则
∴
解得：
②这两个内角互补，则
∴
解得：
综上所述，
故答案为：30或70.
【分析】根据平行四边形的性质可知需分两种情况讨论，①这两个内角相等，则②这两个内角互补，则然后代入计算即可．
16．（2025八下·射洪期中）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于、两点；分别以点、为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，，，则平行四边形的周长为 ．
【答案】28
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：BE平分∠ABC，
，
四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AB=CD，AD=BC=9，
∠AEB=∠EBC，
∠AEB=∠ABE，
AB=AE，
设AB=AE=x，
∴AD=AE+DE=x+4，
AD=9，
x+4=9
∴x=5，
即AE=5
AB=CD=5，
平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=，
故答案为：28．
【分析】
本题考查作图——基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题干中作图方法可知： BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义可知：∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD∥BC，AB=CD，AD=BC=9，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠AEB=∠EBC，等量代换得：∠AEB=∠ABE，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：AB=AE，设AB=AE=x，根据线段AD的长度列出关于x的方程，解得x的值，即可得到AB的长，再利用平行四边形周长公式，代入数据求出周长，即可得到答案.
17．（2024八下·宁波期中）如图，在中，平分交于点，交的延长线于点，，则的长为 ．
【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【分析】根据平行四边形性质“平行四边形的对边平行且相等”以及角平分线定义可得，再由等腰三角形的等角对等边可得，然后根据线段的和差BF=CF-CB计算即可求解．
18．（2025八下·宁波开学考）在中，的平分线分别与边CD交于点E、F，若点相邻两点间的距离相等，则的值为 .
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图1，当点E在点F左边时，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
AE平分，
，
，
，
点相邻两点间的距离相等，
，
；
如图2，当点E在点F右边时，
点相邻两点间的距离相等，
，
.
故答案为：或.
【分析】由平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义证得，进而得到AD=DE，对点E、F的位置进行分类讨论，即可求得的值 .
19．（2024八下·坪山期末）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
【答案】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】①利用平行四边形的性质∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，结合AF＝DF，可判定△ABF≌△DEF，即可得出AB=DE；
②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF=AB=3，进而得出BC=AD=6，CD=AB=3，依据△ABF≌△DEF，可得DE=AB=3，EF=BF=5，进而得到△BCE的周长.
20．（2024八下·越秀期中）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两个点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ＤＣ，AB＝CD
∴∠ABE＝∠CDF
在△ABE△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：由（1）知：△ABE≌△CDF
∴∠AEB＝∠DFC＝140°
∴∠AED＝180°－∠AEB＝40°
∵AD＝AE
∴∠AED＝∠ADE＝40°
∴∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝100°．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活运用相关性质是解题关键．（1）由平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥DC，AB＝CD，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠ABE＝∠CDF，再根据全等三角形的判定定SAS可证得：△ABE≌△CDF，最后由全等三角形的性质：对应边相等可知：AE＝CF，由此可证得结论；
（2）由可得，进而求得，再根据可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
三、拓展提升
21．（2024八下·青秀期中）如图，在等边三角形中，边长为，点为中点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为（）（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：是等边三角形，，
连接BD，∠ABD=30°
当，则，
由题意得：，，
∴
解得：，
∴当t为时，；
（2）解：存在，理由如下：
①当P点未过中点，四边形是平行四边形时，如图2所示：
，
，
是等边三角形，
，
是平行四边形时
∴QB=PD=t
，
，
，
；
②当P点已过中点，当四边形是平行四边形时，如图3所示：
同①得：是等边三角形，
，
，
，
，
；
综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得当，则，，由题意得：，，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当四边形是平行四边形时，则，根据直线平行性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；②当四边形是平行四边形时，则，同①得：是等边三角形，则，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；
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