湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2019八下·保山期中）平行四边形具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．四个角都是直角
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、平行四边形的两组对边分别相等，故A不符合题意；
BC、平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B不符合题意，C符合题意，
D、平行四边形的两组对角分别相等，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】平行四边形的性质有：①平行四边形的对角线互相平分；②平行四边形的两组对边分别相等、两组对角分别相等；③平行四边形的两组对边分别平行。根据平行四边形的性质即可判断求解。
2．（2025八下·惠州期末）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A．平行四边形对角线互相平分，即，，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意；
B．平行四边形对边相等，即，，只有平行四边形是菱形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意；
C．因为四边形是平行四边形，所以，根据两直线平行，内错角相等，可得，该选项正确，符合题意；
D．平行四边形邻角互补，即，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【分析】 本题考查平行四边形的性质 ，平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，对边平行又会导致内错角相等，而C项的两个角是内错角，所以一定相等.
3．（2024八下·蒸湘期末）阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力，如图．
解决问题：设两个共点的合力为，现保持两力的夹角不变，使得其中一个力增大，则（ ）
A．合力一定增大 B．合力的大小可能不变
C．合力可能增大，也可能减小 D．合力一定减小
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
两力的夹角不变，使得其中一个力不变，增大时，合力F也在增大，故A正确，B，C，D错误，
故答案为∶A．
【分析】已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大．据此即可判断
4．（2024八下·浏阳期末）如图，在中，对角线，相交于点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 与的周长相等 D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
，故D正确，符合题意；
∵与不一定相等，故B错误，不符合题意；
∵与不一定相等，故 与的周长不一定相等，故C错误，不符合题意，
∴和不一定全等，故A错误，不符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024八下·柳南期中）如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（ ）
A．10 B．16 C．18 D．21
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，
∴，，
∴的周长，
故选：D．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．
6．（2024八下·铜梁月考）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O．若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中 ，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而利用勾股定理得，进而可得的长．
7．（2025八下·来宾期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度．
【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：90．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
8．（2023八下·苏州期末）如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为 cm．
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AD=BC=7cm，AO=AC，DO=BD.
∵，，
∴AO=3cm，DO=5cm.
∴的周长为 AD+AO+DO=7+3+5=15（cm）.
故答案为：15.
【分析】先根据平行四边形的性质，求得AD，AO，DO，再根据三角形周长计算方法求得△AOD的周长 .
9．（2023八下·驿城期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
，
阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
阴影部分面积为，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质可证明△AEO≌△CFO，即可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
10．（2025八上·中山月考）如图平行四边形的对角线与交于点 O，．求的周长．
【答案】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴．
∴的周长为21.
【知识点】平行四边形的性质；多边形的周长
【解析】【分析】根据四边形为平行四边形，得即可得．
11．（2024八下·惠阳期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再根据线段的和差可得EO=FO，最后根据SAS定理证明△BOE≌△DOF即可得出结论．
二、能力提升
12．（2024八下·泸县期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长为（ ）
A．28 B．18 C．14 D．24
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，，
故选：.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等、对角线互相平分”可得CD=AB，OC=AC，OD=BD，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解．
13．（2025八下·南充月考）平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设，，，画出下图，
∵四边形是平行四边形，且点O为角平分线交点
∴，，
∵三角形两边之和小于第三边，
∴中，，即，
∴，
故选：．
【分析】
本题主要对平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理进行考查．
根据题意优先画出图形，在中根据平行四边形对角线互相平分，可得出，再根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，在中建立不等式并进行求解，解得．
14．（2025八下·射洪期中）如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，
∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，
∵AB=8cm，AD=10cm，
∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.
15．（2024八下·自贡期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线与相交于点O，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得再根据含30°角的直角三角形性质可得根据勾股定理可得AC，求出AO，再根据勾股定理即可求出答案.
16．（2024八下·重庆市月考）有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
①平行四边形具有四边形的所有性质，
∴此命题正确；
②平行四边形不是轴对称图形，
∴此命题错误；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，
∴此命题正确；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，
∴此命题正确；
∴正确说法的序号为：①③④.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质依次判断即可求解.
17．（2024八下·拱墅期中）如图，已知平行四边形的周长是12，对角线与交于点，的周长比的周长多1，则的长为 .
【答案】2.5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：的周长为12，
，，
的周长比的周长多1，
，
，．
故答案为：2.5．
【分析】根据平行四边形的性质及题意可得的长度，的长度，即可求出的长．
18．（2025八下·宜州期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求得、的长度，用三角形面积公式求得，然后根据三角形OED的面积可得关于EF的方程，解方程即可求解．
19．（2024八下·睢宁月考）如图， ABCD的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，
，相交于点，
为的中点，
，
是的垂直平分线，
，
∵的周长是，
∴，
的周长，
故答案为：．
【分析】
因为平行四边形的对角线互相平分，即O为BD中点，又EO垂直BD，则EO垂直平分BD，由线段垂直平分线的性质知ED等于EB，则的周长等于AB与AD的和，又平行四边形的对边分别相等，即的周长等于平行四边形ABCD周长的一半．
20．（2025八下·柯桥期中）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得，利用平行四边形的性质得到AO的长度，再通过勾股定理计算出BO的长度，进而求得BD的长度.
21．（2025八下·潮阳期中）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，与交于点O，
四边形为平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
22．（2025八下·梓潼期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，则的长为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴，，
∴，
在△ABE和△CDF中，
，
．
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（2）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵AB=CD=8
∴OD=DC，
∵点F是CO的中点，
∴DF⊥AC，
∵CF=5，CD=8，
∴在Rt△DCF中，．
故答案为：.
【分析】
（1）由平行四边形性质：对边平行且相等，对角线互相平分可知：AB=CD，OA=OC，AB∥CD，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠BAE=∠DCF，再根据中点的定义可知：，；等量代换可得：AE=CF，结合AB=CD和，∠BAE=∠DCF，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△ABE≌△CDF，由此可证得结论；
（2）根据BD=2AB和AB=8，等量代换得：BD=16；再根据平行四边形性质：对角线互相平分可知：，结合AB=CD=8，等量代换得：OD=DC，结合点F是CO的中点，根据等腰三角形的性质推论：三线合一可得：DF⊥AC，最后利用勾股定理：在Rt△DCF中，，由此可得出答案．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别为的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：∵，
∴，
∵平行四边形，
，
∴为等腰三角形，
∵点F是的中点，
∴，
在中，，，
∴．
23．（2023八下·南海月考）如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：∵在中，对角线与相交于点，∴，
∵点分别为的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长，然后根据勾股定理得到的长，进而求出和的长解题．
（1）解：∵在中，对角线与相交于点，
∴，
∵点分别为的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
三、解答题
24．一次数学探究活动，小强用两条直线把分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．
（1）在下面的三个平行四边形中分别画出满足小强分割方法的直线．
（2）从上述分割方法中，你发现所画的两条直线有什么规律吗？
【答案】（1）解：如图.
（2）答：这两条直线过平行四边形对角线的交点.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)过平行四边形对角线的交点任意画两条直线即可.
(2)由平行四边形的性质可得这两条直线过平行四边形对角线的交点.
25．（2024八下·路桥期末）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：．
小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，．
在和中，．
在中，．
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长；
【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长．
【答案】（1）小应的证明：作于点，交的延长线于点，
由四边形是平行四边形，容易证得（），
得到，，
设，，，
在和中，，
在中，，
，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，
∵，
∴，
∵，是斜边的三等分点，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
由 ，有，
∴，
解得：（负值舍去），
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先结合平行四边形的性质，证出，得到，，然后设，，，利用勾股定理得的值，从而得的值，进而求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得，然后根据（1）的结论，代入数据，即可求解；
（3）以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，根据三等分点可设，则，根据（1）的结论得出，，然后利用勾股定理可得，解方程，即可求解．
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2019八下·保山期中）平行四边形具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．四个角都是直角
2．（2025八下·惠州期末）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·蒸湘期末）阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力，如图．
解决问题：设两个共点的合力为，现保持两力的夹角不变，使得其中一个力增大，则（ ）
A．合力一定增大 B．合力的大小可能不变
C．合力可能增大，也可能减小 D．合力一定减小
4．（2024八下·浏阳期末）如图，在中，对角线，相交于点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 与的周长相等 D．
5．（2024八下·柳南期中）如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（ ）
A．10 B．16 C．18 D．21
6．（2024八下·铜梁月考）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O．若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．（2025八下·来宾期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度．
8．（2023八下·苏州期末）如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为 cm．
9．（2023八下·驿城期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是 ．
10．（2025八上·中山月考）如图平行四边形的对角线与交于点 O，．求的周长．
11．（2024八下·惠阳期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
二、能力提升
12．（2024八下·泸县期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长为（ ）
A．28 B．18 C．14 D．24
13．（2025八下·南充月考）平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025八下·射洪期中）如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
15．（2024八下·自贡期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024八下·重庆市月考）有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
17．（2024八下·拱墅期中）如图，已知平行四边形的周长是12，对角线与交于点，的周长比的周长多1，则的长为 .
18．（2025八下·宜州期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ．
19．（2024八下·睢宁月考）如图， ABCD的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为 ．
20．（2025八下·柯桥期中）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 ．
21．（2025八下·潮阳期中）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
22．（2025八下·梓潼期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，则的长为 ．
23．（2023八下·南海月考）如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）若，求的周长．
三、解答题
24．一次数学探究活动，小强用两条直线把分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．
（1）在下面的三个平行四边形中分别画出满足小强分割方法的直线．
（2）从上述分割方法中，你发现所画的两条直线有什么规律吗？
25．（2024八下·路桥期末）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：．
小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，．
在和中，．
在中，．
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长；
【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、平行四边形的两组对边分别相等，故A不符合题意；
BC、平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B不符合题意，C符合题意，
D、平行四边形的两组对角分别相等，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】平行四边形的性质有：①平行四边形的对角线互相平分；②平行四边形的两组对边分别相等、两组对角分别相等；③平行四边形的两组对边分别平行。根据平行四边形的性质即可判断求解。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A．平行四边形对角线互相平分，即，，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意；
B．平行四边形对边相等，即，，只有平行四边形是菱形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意；
C．因为四边形是平行四边形，所以，根据两直线平行，内错角相等，可得，该选项正确，符合题意；
D．平行四边形邻角互补，即，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【分析】 本题考查平行四边形的性质 ，平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，对边平行又会导致内错角相等，而C项的两个角是内错角，所以一定相等.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
两力的夹角不变，使得其中一个力不变，增大时，合力F也在增大，故A正确，B，C，D错误，
故答案为∶A．
【分析】已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大．据此即可判断
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
，故D正确，符合题意；
∵与不一定相等，故B错误，不符合题意；
∵与不一定相等，故 与的周长不一定相等，故C错误，不符合题意，
∴和不一定全等，故A错误，不符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，
∴，，
∴的周长，
故选：D．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中 ，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而利用勾股定理得，进而可得的长．
7．【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：90．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
8．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AD=BC=7cm，AO=AC，DO=BD.
∵，，
∴AO=3cm，DO=5cm.
∴的周长为 AD+AO+DO=7+3+5=15（cm）.
故答案为：15.
【分析】先根据平行四边形的性质，求得AD，AO，DO，再根据三角形周长计算方法求得△AOD的周长 .
9．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
，
阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
阴影部分面积为，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质可证明△AEO≌△CFO，即可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
10．【答案】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴．
∴的周长为21.
【知识点】平行四边形的性质；多边形的周长
【解析】【分析】根据四边形为平行四边形，得即可得．
11．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再根据线段的和差可得EO=FO，最后根据SAS定理证明△BOE≌△DOF即可得出结论．
12．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，，
故选：.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等、对角线互相平分”可得CD=AB，OC=AC，OD=BD，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解．
13．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设，，，画出下图，
∵四边形是平行四边形，且点O为角平分线交点
∴，，
∵三角形两边之和小于第三边，
∴中，，即，
∴，
故选：．
【分析】
本题主要对平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理进行考查．
根据题意优先画出图形，在中根据平行四边形对角线互相平分，可得出，再根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，在中建立不等式并进行求解，解得．
14．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，
∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，
∵AB=8cm，AD=10cm，
∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.
15．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线与相交于点O，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得再根据含30°角的直角三角形性质可得根据勾股定理可得AC，求出AO，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
①平行四边形具有四边形的所有性质，
∴此命题正确；
②平行四边形不是轴对称图形，
∴此命题错误；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，
∴此命题正确；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，
∴此命题正确；
∴正确说法的序号为：①③④.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质依次判断即可求解.
17．【答案】2.5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：的周长为12，
，，
的周长比的周长多1，
，
，．
故答案为：2.5．
【分析】根据平行四边形的性质及题意可得的长度，的长度，即可求出的长．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求得、的长度，用三角形面积公式求得，然后根据三角形OED的面积可得关于EF的方程，解方程即可求解．
19．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，
，相交于点，
为的中点，
，
是的垂直平分线，
，
∵的周长是，
∴，
的周长，
故答案为：．
【分析】
因为平行四边形的对角线互相平分，即O为BD中点，又EO垂直BD，则EO垂直平分BD，由线段垂直平分线的性质知ED等于EB，则的周长等于AB与AD的和，又平行四边形的对边分别相等，即的周长等于平行四边形ABCD周长的一半．
20．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得，利用平行四边形的性质得到AO的长度，再通过勾股定理计算出BO的长度，进而求得BD的长度.
21．【答案】证明：连接，与交于点O，
四边形为平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴，，
∴，
在△ABE和△CDF中，
，
．
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（2）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵AB=CD=8
∴OD=DC，
∵点F是CO的中点，
∴DF⊥AC，
∵CF=5，CD=8，
∴在Rt△DCF中，．
故答案为：.
【分析】
（1）由平行四边形性质：对边平行且相等，对角线互相平分可知：AB=CD，OA=OC，AB∥CD，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠BAE=∠DCF，再根据中点的定义可知：，；等量代换可得：AE=CF，结合AB=CD和，∠BAE=∠DCF，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△ABE≌△CDF，由此可证得结论；
（2）根据BD=2AB和AB=8，等量代换得：BD=16；再根据平行四边形性质：对角线互相平分可知：，结合AB=CD=8，等量代换得：OD=DC，结合点F是CO的中点，根据等腰三角形的性质推论：三线合一可得：DF⊥AC，最后利用勾股定理：在Rt△DCF中，，由此可得出答案．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别为的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：∵，
∴，
∵平行四边形，
，
∴为等腰三角形，
∵点F是的中点，
∴，
在中，，，
∴．
23．【答案】（1）证明：∵在中，对角线与相交于点，∴，
∵点分别为的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长，然后根据勾股定理得到的长，进而求出和的长解题．
（1）解：∵在中，对角线与相交于点，
∴，
∵点分别为的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
24．【答案】（1）解：如图.
（2）答：这两条直线过平行四边形对角线的交点.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)过平行四边形对角线的交点任意画两条直线即可.
(2)由平行四边形的性质可得这两条直线过平行四边形对角线的交点.
25．【答案】（1）小应的证明：作于点，交的延长线于点，
由四边形是平行四边形，容易证得（），
得到，，
设，，，
在和中，，
在中，，
，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，
∵，
∴，
∵，是斜边的三等分点，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
由 ，有，
∴，
解得：（负值舍去），
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先结合平行四边形的性质，证出，得到，，然后设，，，利用勾股定理得的值，从而得的值，进而求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得，然后根据（1）的结论，代入数据，即可求解；
（3）以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，根据三等分点可设，则，根据（1）的结论得出，，然后利用勾股定理可得，解方程，即可求解．
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