湖北省孝感市2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷（含答案）

孝感市2026届高三年级第一次统一考试
数学试卷
考试时长：120分钟 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷、草稿纸上无效.
2.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷、草稿纸上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是
A.3 + i B...
2.设全集，集合，则中元素个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知点M（2，4）在抛物线C：上，则点M到抛物线C的焦点的距离为
A.2 B.
C.4 D.6
4.设数列满足，且，则的值为
A. B.
C..1
5.若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为
A. B.
C. D.
6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边BC上的中线长为
A. B.
C.6 D.10
7.已知正实数x，y满足，则的最小值是
A.6 B.8 C.12 D.16
8. 已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是
A. 存在，使得
B. 存在，使得与圆相切
C. ，且，都与圆相交，但被圆截得的两条弦长不可能相等
D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 关于定义域为的函数，下列说法正确的是
A. 存在函数，使得恒成立
B. 存在函数，使得恒成立
C. 存在函数，使得恒成立
D. 存在函数，使得恒成立
10. 若三棱锥的所有棱长均为1，，分别为棱，的中点，则
A.
B. 该三棱锥的表面积为
C. 该三棱锥外接球的体积为
D. 异面直线，所成角的余弦值为
11. 曲线，，下列说法正确的是
A. 若点在曲线上，则点也一定在曲线上
B. 若曲线表示双曲线，则其离心率
C. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆
D. 不论为何值，直线与曲线恒有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为，则。
13. 已知数列为等比数列，，公比，是数列的前项积。若，则的最小值为。
14. 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6。活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖。现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立。记中奖人数为，则的数学期望为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）已知函数，且。
（1）求在点处的切线方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域。
16.（本小题15分）2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时燃战。湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能。组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下：
（1）从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望；
（2）利用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数。
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，。
17.（本小题15分）如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.）
（1）求曲线的方程；
（2）矩形中，，.、、、分别是矩形的四条边的中点.
（Ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于、两点，与圆交于、两点，求的值；
（Ⅱ）如图③，已知点，，，是线段的等分点，点，，，是线段的等分点.证明：直线与的交点在曲线上.
18.（本小题17分）已知长方体中，，，点在棱上，点在棱上，且，，为棱中点。
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积。
19.（本小题17分）已知定义在上的函数满足以下条件：
；
当时，；
对，均有，且。
（1）用表示；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）已知数列满足，求数列的前项和。
数学参考答案
1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D 9.BC 10.ACD 11.ABD1.A 【解析】 因为.故本题选A
2.C 【解析】 因为中有10个元素，而中有4个元素，所以中有6个元素，故本题选C
3.C 【解析】 因为代入，得，到焦点的距离等于到准线的距离，所以，故本题选C
4.A因为，，，所以数列是周期为2的周期数列，故，故本题选A
5.D 【解析】 因为
所以，故本题选D
6.B 【解析】 中，由余弦定理得，联立，得，因为，，可得，故本题选B
7.B 【解析】 因为
所以，当且仅当时取等. 故本题选B
8.D 【解析】 A：若，则无解，所以A错误
B：直线，令则，所以直线过定点，又因为在圆内，所以直线与圆相交，所以B错误
C：若两弦长相等，则，所以或，所以C错误
D：直线，令，则，所以直线也过定点，所以为定值，所以D正确，故本题选D
9.BC 【解析】 因为 为偶函数， 为奇函数，故AD错误，令 可得BC正确，故本题选BC
10.ACD 【解析】
A： 平面 ，所以 ，所以A正确
B： 表面积为 ，所以B错误
C： 半径为 ，体积为 ，所以C正确
D： ，，所以D正确
故本题选ACD
11.ABD 【解析】 A： 曲线 关于原点对称，所以A正确
B： ，所以B正确
C： 焦点在 轴上，所以C错误
D： 当曲线表示圆，椭圆，双曲线，双直线时，都有两个交点，所以D正确
故本题选ABD
12.2 【解析】 因为 所以 ，故本题答案为2
13.26 【解析】 由题意 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，则 或 ，又 为正整数，所以 的最小值是26. 故本题答案是26
14. 【解析】 由题意，三次抽奖的所有情况共有 种
和为5的倍数的情况有：
① 三个编号均不相同 ，，，，，，，， 共 种
② 恰有两个编号相同 ，，，，，，，，，，，， 共 种
③ 三个编号都相同 ，， 共1种
所以 ，易知
所以 的数学期望 . 故本题答案为
15.【答案】 （1） （2）
【解析】 （1）因为 且 ，所以 …………………… 2分
所以
所以
所以 …………………………………………………… 4分
所以切线方程为： ……………………………………………………………… 6分
（2）因为 ………………………………………… 9分
……………………………………………………………… 12分
所以，函数 在 上的值域为 ………………………………………… 13分
16.【答案】 （1）分布列如下：
1 2 3
所以
（2）回归方程为 ，预测宣传费用8万元时的现场观众人数为33.2百人
【解析】 （1）因为观众不少于24百人的县共有3个，所以 的可能取值为1，2，3 ………
…………………………………………………………………………………………… 1分
，， …………………………………………………… 4分
所以分布列如下：
1 2 3
………………… 5分
所以 …………………………………………………… 7分
（2）由题意 ，
…………………………………………………… 9分
所以 …………………………………………………… 11分
所以关于的线性回归方程为 ………………………………………… 13分
当时，（百人） …………………………………………………… 14分
故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人. ………………………………………… 15分
17.【答案】 （1） （2）① ②证明（见解析）
【解析】 （1）设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
由得，，所以， ……………………………… 2分
因为点在圆上，所以，把，代入得：，即曲线的方程是： …………………………………………………… 4分
（2）（ⅰ）由题意，点，，，
所以直线方程为 …………………………………………………… 5分
由得所以 …………………………………………………… 6分
由得所以 …………………………………………………… 7分
由相似得 …………………………………………………… 9分
（ⅱ）证明：由题知：，，，
， …………………………………………………… 10分
直线方程：
直线方程： …………………………………………………… 11分
联立直线 方程和直线 方程，得 ，所以
代入直线 方程得
所以 …………………………………………………………… 13分
所以
所以，点 在椭圆 上 ……………………………………………………………… 15分
备注：第（2）（ⅱ）问中用交轨法证明也行，请阅卷老师酌情给分。
18.【答案】 （1）证明（见解析）（2） （3）
【解析】 （1）取 中点 ，连接 ，， ……………… 2分
因为 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ， …………………………………………………………………………………… 3分
且 平面
平面
所以 平面 ………………………………………………………………………… 4分
（2）以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，，
， …………………………………………………… 5分
设平面 的法向量为
由 取 ，，
所以平面 的一个法向量为 ………………………………………………… 6分
又平面 的一个法向量为 …………………………………………… 7分
平面 与平面 夹角为
则 ， ……………………………… 8分
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ……………………………………… 9分
（3）取 中点 ，由（1）知 ，所以 ，，， 四点共面
所以四边形 为梯形 11分
设
则 平面 ， 平面
所以 平面 平面
所以 直线 ，所以直线 ，直线 ，直线 共点
所以以 为三棱台，显然为体积较小部分 14分
，，高
其体积为 17分
备注：第（1）问用空间坐标系做也行，请阅卷老师酌情给分。
19.【答案】 （1） （2） 是 上的单调递增函数
（3）
【解析】 （1） 对③式，令 ，，则
又 ， 1分
对③式，令 ，则
又 ，即
3分
（2） 是 上的单调递增函数
证明：，且 则
5分
，
又 时，， 6分
当 时，，则 ，
又时，，而，
, 7分
，即
是上的单调递增函数 9分
（3）对③式，令，则
13分
又是上的单调递增函数
14分
设
则
②①得：
17分
注：第3问其它方法，请阅卷老师酌情给分.