四川省成都七中2025-2026学年上学期高二数学周测19（含答案）

成都七中高2027届高二上期数学第19周阶段检测
数学试题
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注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
抛物线的焦点到准线的距离为
A.2
B.4
C.
D.
在数列中，且，则
A.2
B.
C.
D.
设动点满足，则点的轨迹的离心率为
A.
B.
C.
D.
阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面。过点一个法向量为平面方程可表示为。阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
等差数列前项的和为，已知，，则
A.7
B.8
C.9
D.10
已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率
A.
B.
C.
D.
7. 在平行六面体 中，，，，则直线 与直线 所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
8. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 的右顶点. 过 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点（其中点 在第一象限）. 设 ， 分别为 ， 的内心，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 武侯区2025年一年之内12个月的降水量分别为56，46，53，48，51，53，71，58，56，66，64，66，则关于武侯区的月降水量，以下说法正确的是
A.20%分位数为51 B. 上四分位数为61 C. 平均数为57 D. 中位数为56
10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出. 反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点. 已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则
A.
B. 平分
C.
D. 延长 交直线 于点 ，则 ，， 三点共线
11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”. 他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆. 若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列说法中正确的有
A. 椭圆 的离心率为
B. 到 的左焦点的距离的最小值为
C. 面积的最大值为
D. 若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 .
13. 正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是 .
14. 已知点，分别是椭圆的左、右顶点，为直线上的动点，直线，与椭圆的另一交点分别为，，则四边形面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点.
（1） 求的方程；
（2） 求圆心在轴上，且过，两点的圆的方程.
16. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1） 根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；
（2） 现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；
（3） 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.
17. 如图，三棱锥 中，，，，，、、 的中点分别为 ，，，，点 在 上，。
（1） 证明： 平面 ；
（2） 证明：平面 平面 ；
（3） 求二面角 的正弦值。
18. 如图，已知椭圆 共顶点 ，过椭圆 上一点 作两直线与椭圆 相交于相异的两点 、，若 的角平分线垂直于 轴，直线 与 ， 轴正半轴相交，分别记交点为 ，。
（1） 求直线 的斜率；
（2） 若直线 与双曲线 的左，右两支分别交于 ，，求 的取值范围。
19. 在平面直角坐标系 中，若 ， 两点在直线 的同一侧，则称 ， 为“ 同域点”；若 ， 两点分别在直线 的两侧，则称 ， 为“ 异域点”。
已知：抛物线 ，。
（1） 若点 ， 为“ 异域点”，求实数 的取值范围。
（2） 已知过 的直线与抛物线 交于 ， 两点，
（I） 若 ， 为“ 同域点”，比较 与 的大小关系并说明理由；
（II） 直线 的斜率为 ，过原点 作斜率为 的直线 ，，点 ， 到直线 的距离分别记为 ，，若 ，求点 ， 为“ 同域点”的概率。
参考答案
1.
2.
【解析】在数列中，，则，，于是得数列是周期数列，周期为，，所以。
3.
4.
【解析】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量，同理可知，与分别为平面与的法向量。设直线的方向向量，则，即，取，则。设直线与平面所成角为，则。
5.
【解析】因为数列为等差数列，则，又因为，妮，解得或，若，则，不合题意；若，则，解得；综上所述：。
6.
【解析】设，，则，记与轴的交点为，
因为，所以，
所以，即，
因为，都在双曲线上，所以，两式相减得，
所以，所以，所以。（对称 + 第三定义）。
7.
【解析】设，，，不妨设，则，
，
即，则直线与直线所成角的余弦值为.
8.
【解析】由题意，，，，，
设，，上的切点分别为，，，则，，，
由得，
.即与重合，又轴.故，同理可得.
设直线的倾斜角为，，均在双曲线右支，则或，，即
或，则，，，则
，
当时，；当，
综上，的取值范围是.
9.
10.
【解析】对于，由题意，，即点，抛物线焦点，所以直线的方
程为，即，
将其代入可得，由韦达定理可得到，故错误；
对于，由题意知，，由选项分析知，，，即
，从而证得，所以，
由题意，所以，
所以，即平分，故正确，正确；
对于，因为，所以在直线方程中令，得，由选项分析可知
，所以由题意得，即，，的纵坐标相同得，，三点共线，故正确.
11.
【解析】对于，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上，即
有，则，椭圆的离心率，正确；
对于，依题意，点，，均在圆上，且，因此线段是圆的直径，
即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离
最大值为，因此面积的最大值为，正确；
对于，令，有，令椭圆的左焦点，有，则
，而，因此
，即，所以到的左焦点的距离的最小值为，正确；
对于，依题意，直线过原点，即点，关于原点对称，设，，有，
于是得，，又由①知，，得，所以
，正确。
12.
13.
【解析】如图所示，作，为垂足，
则易知平面，过点作，交于，
则易知平面，所以即为到直线的距离。
因为，且，所以
所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线。
如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程是，
点，，设，
所以。
所以当，取得最小值。
14.
【解析】 椭圆及直线关于轴对称，
不妨设，，，，。直线的方程为。直线
的方程为。联立消去得，解得
舍去），同理由，得舍去），
则四边形的面积为
。
设，在上单调递增， 当，时，
取得最小值，因此的最大值为。
15.（1）5分
（2）由（1）知，抛物线的准线方程为，设，，的中点为，
由消去得，则，
有，，即，
因此线段的中垂线方程为。即，令，得，
设所求圆的圆心为，则，又过的焦点，则有，
设所求圆的半径为，则，
故所求圆的方程为。
16.（1） 设参与知识竞赛者的平均年龄为，
则（岁）
（2） 由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为：
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，所以
。
（3） 设第四组、第五组的立传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有立传使者的年龄平均数为，方差为，则
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为，方差为。
17.（1） 证明设，则，，
①处用，表示，因为，
所以
，解得，
则为的中点。
②处利用找点位置找点位置
又，，分别为，，的中点，于是，，所以又平面，平面，所以平面。
（另：几何法（三角形斜边中线等于斜边一半推出直角）另：平面建系）
（2） 证明由（1）可知，
由题意可得，，
所以，因为，
则，
③处利用勾股定理证明所以，
又，，，平面，则有平面
又平面，所以平面平面。
（3） 解如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系。
则，，，.
因为，，所以设，，
则
.
④处求坐标出（2）得.所以
，所以，又，，
所以，所以，则.
⑤处利用及长求点坐标
由为的中点，得，则.
设平面的法向量为，则即
得，，取，则.易知平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则，，
所以，
⑥处利用向量法求两法向量夹角故二面角的正弦值为
18.（1） 由题椭圆，顶点，可得，
又因为点在椭圆上，即，得，所以椭圆方程为，
设等轴双曲线，，
由题意等轴双曲线的顶点为，可得，所以双曲线的方程为：，
因为直线、的倾斜角互补，且，是不同的点，所以直线、都必须有斜率.
设直线方程为，联立，
整理得，和点横坐标即为方程两个根，
可得，因为，所以，
代入直线可得，即，
又因为直线、的倾斜角互补，将换成，可得，
两点求斜率可得出，所以直线的斜率为
（2） 由（1）可设直线的方程：，又因为直线与，轴正半轴相交，则，联立方程组
，整理得，，解得.
联立直线和双曲线方程，消去得，
利用求根公式可得，所以。又因为，所以，则，即，所以，所以的取值范围为。
19.（1），要使点，为“一异域点”，则应在的下方，所以，解得；
（2）（I） 若，在的下方，则，所以，即，若，在的上方，则，即，所以，综上，若，为“一同域点”，则；
（II）方程为：，联立，得，
所以，，直线，即，
所以，，
，
①若，为“一同域点”，则，，
此时
，
令，得，又，
则满足要求的为，，，，，共组；
②若，不为“一同域点”，则，
此时，令，得，
又，则满足要求的为，，，，，共组，
综上，满足的的样本空间有个样本点，其中使点，为“一同域点”的样本点有个，故概率。