辽宁省铁岭市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（含答案）

高二期末质量监测
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
*注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.下列是离散型随机变量的是
A.车载大灯的使用寿命
B.从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为
C.某次物理实验测量所得的实验误差
D.某培养皿上的细菌个数
2.若服从两点分布，且，则
A. B.
C. D.
3.直线与圆的公共点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知平面，的法向量分别为，，若，则
A. B.1
C.2 D.3
5.已知抛物线的焦点为，，点在抛物线上，则的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.6
6.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若与所成角的正弦值为，则
A. B.
C.2 D.4
7. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，一条渐近线为，过点作的垂线，垂足为，则
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
8. 已知椭圆的左焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为
A. 或　　
B. 或　　
C. 或　　
D. 或
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线的渐近线方程为，其焦点分别为，，点在上，则
A.
B. 的离心率为
C. 当时，到渐近线的距离为4
D. 当时，
10. 已知空间向量，，，则
A. 　　　　
B. 当时，
C. 　　　　　
D.
11. 已知函数，其展开式中项的系数为，则
A. 当时，
B. 当时，
C. 其展开式中所有项的系数之和为
D. 当，时，
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 圆与圆的公切线条数为。
13. 将小明，小红等5人分成，，三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为。
14. 某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知。（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从甲、乙两个抽样后的批次中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分18分）
某公司招募了A，B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作。已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8。
（1）求A，B两位员工均能完成工作的概率；
（2）证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立；
（3）求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率。
16.（本小题满分15分）
如图，AC，BD为圆柱的母线，AB，CD为圆柱的底面直径，点F在底面圆周上（不与A，B重合），E为BF中点。
(1)证明：平面平面FBD；
(2)若A，求直线AE与平面FCD所成角的正弦值。
17.（本小题满分15分）
已知抛物线E：的焦点为，其上两点P，Q满足。
（1）求E的方程；
（2）若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标；
（3）求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时的面积。
18.（本小题满分17分）
现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球。
（1）若抽完球记录后放回口袋，进行次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率；
（2）若抽完球记录后不放回口袋。
（Ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率；
（Ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为，求的分布列。
19.（本小题满分17分）
在直角坐标系中，，点到的距离为，记的轨迹为。
（1）求的方程；
（2）已知与轴交于点，过点的直线与交于，两点，点，满足，，直线与交于，两点。
（Ⅰ）证明：直线过定点；
（Ⅱ）若直线斜率存在，记，，的斜率分别为，，，证明：是定值。
高二期末质量监测·数学
说明：
一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C D C B D A
二、多选题
9 10 11
ACD ABD AC
三、填空题
12.0 13.36 14.50
四、解答题
15. 解：（1）设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”，
由题意可知，。（1分）
因为，两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件，所以。（2分）
根据概率的加法公式，，解得。（4分）
所以，两位员工均能完成工作的概率为。（5分）
（2）由（1）可得，（6分）
且。（7分）
由于，（9分）
故事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立。（10分）
（3）所求概率为条件概率。
则由条件概率公式，。（12分）
故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为。（13分）
16. 解：（1）由平面几何知识知，（1分）
由平面，平面知，（2分）
由，平面，平面知平面，（4分）
由平面得平面平面。（6分）
（2）取中点，以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，（8分）
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，则，，，（10分）
记平面的法向量为，
，即，
可取。（12分）
记直线与平面所成角为，（13分）
则。（14分）
故直线与平面所成角的正弦值为。（15分）
17. 解：（1）显然，，（1分）
。（2分）
（2）不妨设，，，
联立，有，（4分）
，
此时，，（5分）
故，（7分）
即.
当 斜率 时，，
于是 ，解得 ，（9分）
故交点坐标为。（10分）
（3）求最大值不妨考虑 。
注意到 ，当且仅当 时，等号成立，（12分）
此时 ，。（13分）
注意到此时 到 的距离 ，（14分）
故的面积 。（15分）
18. 解：（1） 记事件 ： 抽到 次黑球，易知抽到黑球次数服从二项分布 ，（2分）
于是 ，（4分）
，（5分）
故所求概率 。（6分）
（2）（ⅰ） 事实上，只需考虑前三次抽球。
记事件 ： 第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，
： 第一次抽到白球，： 第一次抽到灰球，： 第一次抽到黑球，
则 ，（8分）
，（9分）
，（10分）
可得 。（11分）
（ⅱ） 显然前 次应该抽非灰球，在此条件下，此时第 次抽到灰球的概率为
，（13分）
而前 次抽不到灰球，对应概率为 ，（14分）
故可得第 次抽到灰球的概率为 ，（15分）
而的取值可以是，故可得分布列为
（17分）
19.解：（1）不妨设，， （2分）
化简得. （4分）
（2）（Ⅰ），斜率为时过轴上点，
不妨设， （5分）
可由平行线分线段成比例知，
故记， （6分）
由条件知，得，
故，其过定点. （7分）
（Ⅱ）设，，注意到在椭圆上，不妨设，
联立，有，
可得的纵坐标为，
于是， （10分）
联立，得，
于是，，
于是， （13分）
可得，
而， （15分）
而，于是，为定值，故得证. （17分）