辽宁省丹东市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省丹东市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 96.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 21:54:22 | ||
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文档简介
上学期期末教学质量监测
高二数学
本试卷共19题，共150分，共4页。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题和
答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确
粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹
的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书
写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正
带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆的长轴长为
A．2 B．3 C．4 D．6
2．直线与直线垂直，则实数a的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．圆：与圆：的位置关系是
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
4．已知向量，，若，则
A．1 B．
C．5 D．
5．已知直线与抛物线交于，两点，弦的中点为，则直线
的方程为
A． B．
C． D．
6．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．已知圆：关于直线对称的圆记为，点在上，，则的最大值为
A． B．4
C． D．6
8．记为坐标原点，已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，，，是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是
A．若，，，则向量，，共面
B．若，，则
C．若，则，，，共面
D．若，则，，，共面
10．已知，则
A． B．
C． D．
11．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，，，且是等边三角形，则
A．的准线为
B．直线与相切
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．双曲线的渐近线方程为 ______．
13．有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有______种．（结果用数字作答）
14．若圆：上到直线：的距离为2的点有且仅有2个，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点．
（1）求的方程；
（2）求．
16．（15分）
如图，在正三棱柱中，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
17.（15分）
已知点是椭圆上的动点，过点作轴，垂足为，点满足，记点的轨迹为，为坐标原点。
（1）求的方程；
（2）已知直线：与交于，两点，若的面积为，求的值。
18.（17分）
已知双曲线：的离心率为，右焦点为。
（1）求的方程；
（2）记的左右顶点分别为，，过的直线与交于，两点，在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上。
19.（17分）
如图，已知菱形和菱形的边长均为2，，分别为、上的点，且。
（1）用向量法证明：平面；
（2）设，，当的长度最小时，求与平面所成角的正弦值。
上学期期末教学质量监测
高二数学试题评分参考
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.A
5.A
6.C
7.D
8.A
二、选择题
9.AC
10.ABD
11.BCD
三、填空题
12.
13.72
14.
四、解答题
15. 解：
（1）因为直线过的焦点，则，所以，即
所以的方程为.
5分
（2）由联立得，
设，，所以
则.
13分
16. 解：
（1）证明：取的中点，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。取
则，，，，
，
，所以.
（2）由（1）知，
设平面的法向量为，由
可得，可取。
又是平面的法向量
，，所以，。
平面与平面所成角的正弦值。
15分
17. 解：
（1）设点，，则。
由，，，得，。
将代入中，整理得。
5分
（2）设圆心到直线的距离为。
则，所以。
的面积。解得或。
当时，，解得。
当时，，解得或。
综上所述，的取值为或或。
15分
18. 解：
（1）依题意得，，所以，，所以的方程为。
5分
（2）设，，直线：，直线：。
由，得。
由于，，。
由，得。
由于，，。
13分
由题设可知，故，由题意可知，故。
点，满足且，所以，故点在定直线上。
17分
19．解：
（1）设，则有，
所以
因为平面，所以平面。
6分
（2）思路1：
取的中点，连接，，由题意，，
所以平面，从而平面平面。
以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系。则，，。
由，得，。
设，则，，所
以
。
从而，当时，取最小值，此时
。
设为平面的法向量，则，即可取
。
因为，所以当的长度最小时，与平面所成角的正弦值
为，
17分
（2）思路2：
以为基底，由题设，故。
设，则，，所以。
故，当时，取最小值，此时，分别为、上的中点，平面就是平面。
取的中点，连接，，由题意，，所以平面，从而平面平面，故到平面距离为。
可知面积为，面积为，设到平面距离为。由得，因此当的长度最小时，与平面所成角的正弦值为。
17分
高二数学
本试卷共19题，共150分，共4页。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题和
答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确
粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹
的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书
写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正
带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆的长轴长为
A．2 B．3 C．4 D．6
2．直线与直线垂直，则实数a的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．圆：与圆：的位置关系是
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
4．已知向量，，若，则
A．1 B．
C．5 D．
5．已知直线与抛物线交于，两点，弦的中点为，则直线
的方程为
A． B．
C． D．
6．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．已知圆：关于直线对称的圆记为，点在上，，则的最大值为
A． B．4
C． D．6
8．记为坐标原点，已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，，，是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是
A．若，，，则向量，，共面
B．若，，则
C．若，则，，，共面
D．若，则，，，共面
10．已知，则
A． B．
C． D．
11．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，，，且是等边三角形，则
A．的准线为
B．直线与相切
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．双曲线的渐近线方程为 ______．
13．有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有______种．（结果用数字作答）
14．若圆：上到直线：的距离为2的点有且仅有2个，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点．
（1）求的方程；
（2）求．
16．（15分）
如图，在正三棱柱中，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
17.（15分）
已知点是椭圆上的动点，过点作轴，垂足为，点满足，记点的轨迹为，为坐标原点。
（1）求的方程；
（2）已知直线：与交于，两点，若的面积为，求的值。
18.（17分）
已知双曲线：的离心率为，右焦点为。
（1）求的方程；
（2）记的左右顶点分别为，，过的直线与交于，两点，在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上。
19.（17分）
如图，已知菱形和菱形的边长均为2，，分别为、上的点，且。
（1）用向量法证明：平面；
（2）设，，当的长度最小时，求与平面所成角的正弦值。
上学期期末教学质量监测
高二数学试题评分参考
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.A
5.A
6.C
7.D
8.A
二、选择题
9.AC
10.ABD
11.BCD
三、填空题
12.
13.72
14.
四、解答题
15. 解：
（1）因为直线过的焦点，则，所以，即
所以的方程为.
5分
（2）由联立得，
设，，所以
则.
13分
16. 解：
（1）证明：取的中点，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。取
则，，，，
，
，所以.
（2）由（1）知，
设平面的法向量为，由
可得，可取。
又是平面的法向量
，，所以，。
平面与平面所成角的正弦值。
15分
17. 解：
（1）设点，，则。
由，，，得，。
将代入中，整理得。
5分
（2）设圆心到直线的距离为。
则，所以。
的面积。解得或。
当时，，解得。
当时，，解得或。
综上所述，的取值为或或。
15分
18. 解：
（1）依题意得，，所以，，所以的方程为。
5分
（2）设，，直线：，直线：。
由，得。
由于，，。
由，得。
由于，，。
13分
由题设可知，故，由题意可知，故。
点，满足且，所以，故点在定直线上。
17分
19．解：
（1）设，则有，
所以
因为平面，所以平面。
6分
（2）思路1：
取的中点，连接，，由题意，，
所以平面，从而平面平面。
以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系。则，，。
由，得，。
设，则，，所
以
。
从而，当时，取最小值，此时
。
设为平面的法向量，则，即可取
。
因为，所以当的长度最小时，与平面所成角的正弦值
为，
17分
（2）思路2：
以为基底，由题设，故。
设，则，，所以。
故，当时，取最小值，此时，分别为、上的中点，平面就是平面。
取的中点，连接，，由题意，，所以平面，从而平面平面，故到平面距离为。
可知面积为，面积为，设到平面距离为。由得，因此当的长度最小时，与平面所成角的正弦值为。
17分
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