河北省名校联盟2025-2026学年上学期数学高二1月月考试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 河北省名校联盟2025-2026学年上学期数学高二1月月考试卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 21:57:08 | ||
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文档简介
2025-2026学年度第一学期高二年级期末教学质量监测
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.以（-1，2）为圆心，3为半径的圆的方程为
A. B.
C. D.
2.在数列中，，，则=
A. B.3
C. D.2
3.直线l：被圆C： 截得的弦长为，则k的值为
A. B.
C. D.
4.在三棱锥中，，，，若点M在棱AB上，且，N是OM中点，G是CN中点，则等于
A. B.
C. D.
5.已知双曲线C：的一条渐近线与直线(k >； 0)垂直，离心率，则
A. B.
C.2 D.3
6.已知圆P： 与圆Q： 交于A，B两点，则四边形PAQB的面积为
A.2 B.4 C.6 D.8
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点，若 ，且 ，则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
8. 定义 为数列 的“均匀平均值”。若数列 的“均匀平均值”为1，设数列 的前 项和为 ，且 对任意的 恒成立，则实数 的最小值为
A.3 B.2
C. D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知双曲线 ，则下列说法正确的是
A. 双曲线实轴长为6
B. 双曲线虚轴长为
C. 双曲线离心率为
D. 双曲线的两渐近线夹角的正切值为
10. 已知数列 ，，记数列 ， 的前 项和分别为 ，，则下列说法正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则数列 单调递增
D. 若 ，，，则
11. 已知正方体 的棱长为1，向量 ，， 分别为平面 ，平面 的中心，则
A. ， 与 ， 共面
B. 当 时，三棱锥 的体积为
C. 当 时，
D. 当 时， 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 抛物线 的准线方程为 。
13. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共 升。
14. 若圆 与椭圆 至多有3个公共点，则 的取值范围为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分） 已知直线 与直线 平行。
（1） 求 的值；
（2） 若直线 到 的距离与 到 的距离相等，求直线 的方程。
16.（本小题满分15分） 已知数列 的前 项和为 ，且 ，。
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 设 ，求数列 的前 项和 。
17.（本小题满分15分） 如图，已知平面四边形 中， 为 的中点，，，且 。将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 、，设点 是棱 上的一点。
（1） 若 ，证明： 平面 ；
（2） 若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值。
18.（本小题满分17分）已知椭圆E 的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆E交于P，Q两点，线段PQ的中点为M（1，m）（m>；0），证明 ；
（3）分别过椭圆E的左焦点 ，右焦点 作两条互相垂直的弦AC与BD，求的最小值.
19.（本小题满分17分）过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，点A在第一象限.
（1）若点M（2，0）且 ，求直线l的方程；
（2）过点P（1，2）作直线PM，PN交抛物线于M，N两点，且 ，过点P作 交直线MN于点H，是否存在定点Q使得是定值？如果存在，请求出点Q的坐标并写出的长度，如果不存在，请说明理由.
高二数学参考答案及解析
20G201
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D D C A C B AD ACD ACD
1.D 【解析】以为圆心，3为半径的圆的方程为.故选D.
2.C 【解析】方法1：因为，，所以，，，，，以上各项相加得.因为也适合上式，所以.所以.故选C.
方法2：由，得，所以数列为常数列，又，所以.所以，即.故选C.
3.D 【解析】因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.故选D.
4.D 【解析】，所以，故选D.
5.C 【解析】双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线与直线垂直，可得，又，所以，又，解得.故选C.
6.A 【解析】①，②，① - ②得，即圆与圆的公共弦所在的直线方程是，因为圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以，易知，，则四边形的面积为.故选A.
7.C 【解析】设，因为，所以可设，则，又因为，所以在直角中，，所以，由椭圆定义可知，，由，即，解得，所以，，又，，，在中，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，即.解得，又，所以，所以椭圆离心率.故选C.
8.B 【解析】由题意知，，即，所以当时，，两式相减得，即，又因为满足上式，所以。所以，则，所以，又对任意的恒成立，即对任意恒成立，所以，又，整理得，解得，所以实数的最小值为2，故选B。
9.AD 【解析】由双曲线方程可知，，，所以，，，所以，所以实轴长为，虚轴长为，离心率，故A正确，B，C错误；双曲线渐近线方程为，所以两渐近线的倾斜角分别为，，所以两渐近线夹角为，又，故D正确。故选AD。
10.ACD 【解析】对于A，因为，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，所以A正确；对于B，因为，所以，所以B错误；对于C，，当时，，，满足上式，因此，则数列单调递增，所以C正确；对于D，因为，所以，即，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以D正确。故选ACD。
11.ACD 【解析】因为，所以与，共面，故选项A正确；在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，，，，显然，，即，，所以向量是平面的法向量，同理是平面的法向量，而平面，平面，因此平面平面，由，且，得点平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积。故选项B错误；
由题可知，，，，由，得，得，故选项C正确；当时，，则点在以为球心，1为半径的球面上运动，而，因此的最小值为，故选项D正确。故选ACD。
12.【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，故其准线方程为。
13.【答案】
【解析】设此等差数列为，首项为，公差为，由题可知，，即，，联立解得，，所以。
14.【答案】
【解析】联立，消去，整理得。（※）
若圆与椭圆有4个公共点，则方程（※）在上有两个不相等的实数根。令，则有 由②③可知。由①可知，所以，即。由④可知，所以（舍去）或。因此，若圆与椭圆有4个公共点，则，即。故若圆与椭圆至多有3个公共点，则必有。
15.【解】（1）因为直线与直线平行，
所以，解得。（5分）
（2）由（1）知直线，即，（7分）
设直线，（8分）
因为直线到的距离与到的距离相等，所以，解得，（10分）
故直线，即直线的方程为。（13分）
16.【解】（1）证明：由题意可得，当时，，（1分）
当时，，，两式相减得，（3分）
当时，，满足上式，（4分）
所以数列是以为首项，为公比的等比数列。（6分）
（2）由（1）知，，所以，（7分）
所以，① （9分）
所以，② （10分）
由① - ②，得，（13分）
所以。（15分）
17.【解】解法1：折叠前，因为，，所以，所以，，（2分）
折叠后，，仍然成立，
又因为二面角为直二面角，所以，（3分）
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知条件可知，，，，，（4分）
则，，，（5分）
（1）因为，所以，，（6分）
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，（8分）
可得，（9分）
又因为平面，所以平面。（10分）
（2）因为为的中点，所以，， （11分）
设平面的法向量为，
则令，得，，所以， （13分）
设直线与平面所成角为，
所以，。
所以直线与平面所成角的正弦值是。 （15分）
解法2：（1）连接交于点，连接， （2分）
因为，，所以， （4分）
由题意可知，，所以，所以， （5分）
又因为平面，平面，所以平面。
（2）同解法1。
18.【解】（1）由题意知，所以，所以， （1分）
因为双曲线的焦点坐标为，所以，所以， （2分）
所以椭圆的方程为。 （3分）
（2）证明：设，，
则有，，两式相减，得，
即，即（为坐标原点）， （5分）
即，即。 （6分）
因为点（）在椭圆内，所以，所以， （7分）
所以，所以。 （8分）
（3）设，
当或时，易求得，，或，，
所以。 （10分）
根据椭圆的对称性，不妨设，由，可得，
因为，所以，
即，解得， （12分）
同理可得，所以，
同样可求得， （14分）
所以（此处原答案可能有笔误，按照原答案排版保留）
，当且仅当，即时取等号. （16分）
由于，故的最小值为. （17分）
1.【解】（1）设，，
由题意知，，所以，所以， （2分）
又抛物线的焦点为，
所以， （4分）
所以直线的方程为，即. （6分）
（2）设直线：，，，且，，
联立，消去，整理得， （8分）
则，可得，， （10分）
因为，，，
则，
可得，整理可得，
则，即， （13分）
此时，符合题意，
则直线：，过定点， （15分）
又因为，所以点在以为直径的圆上，
且线段的中点为，，则， （16分）
所以存在定点使得是定值，此时点，. （17分）
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.以（-1，2）为圆心，3为半径的圆的方程为
A. B.
C. D.
2.在数列中，，，则=
A. B.3
C. D.2
3.直线l：被圆C： 截得的弦长为，则k的值为
A. B.
C. D.
4.在三棱锥中，，，，若点M在棱AB上，且，N是OM中点，G是CN中点，则等于
A. B.
C. D.
5.已知双曲线C：的一条渐近线与直线(k >； 0)垂直，离心率，则
A. B.
C.2 D.3
6.已知圆P： 与圆Q： 交于A，B两点，则四边形PAQB的面积为
A.2 B.4 C.6 D.8
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点，若 ，且 ，则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
8. 定义 为数列 的“均匀平均值”。若数列 的“均匀平均值”为1，设数列 的前 项和为 ，且 对任意的 恒成立，则实数 的最小值为
A.3 B.2
C. D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知双曲线 ，则下列说法正确的是
A. 双曲线实轴长为6
B. 双曲线虚轴长为
C. 双曲线离心率为
D. 双曲线的两渐近线夹角的正切值为
10. 已知数列 ，，记数列 ， 的前 项和分别为 ，，则下列说法正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则数列 单调递增
D. 若 ，，，则
11. 已知正方体 的棱长为1，向量 ，， 分别为平面 ，平面 的中心，则
A. ， 与 ， 共面
B. 当 时，三棱锥 的体积为
C. 当 时，
D. 当 时， 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 抛物线 的准线方程为 。
13. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共 升。
14. 若圆 与椭圆 至多有3个公共点，则 的取值范围为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分） 已知直线 与直线 平行。
（1） 求 的值；
（2） 若直线 到 的距离与 到 的距离相等，求直线 的方程。
16.（本小题满分15分） 已知数列 的前 项和为 ，且 ，。
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 设 ，求数列 的前 项和 。
17.（本小题满分15分） 如图，已知平面四边形 中， 为 的中点，，，且 。将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 、，设点 是棱 上的一点。
（1） 若 ，证明： 平面 ；
（2） 若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值。
18.（本小题满分17分）已知椭圆E 的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆E交于P，Q两点，线段PQ的中点为M（1，m）（m>；0），证明 ；
（3）分别过椭圆E的左焦点 ，右焦点 作两条互相垂直的弦AC与BD，求的最小值.
19.（本小题满分17分）过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，点A在第一象限.
（1）若点M（2，0）且 ，求直线l的方程；
（2）过点P（1，2）作直线PM，PN交抛物线于M，N两点，且 ，过点P作 交直线MN于点H，是否存在定点Q使得是定值？如果存在，请求出点Q的坐标并写出的长度，如果不存在，请说明理由.
高二数学参考答案及解析
20G201
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D D C A C B AD ACD ACD
1.D 【解析】以为圆心，3为半径的圆的方程为.故选D.
2.C 【解析】方法1：因为，，所以，，，，，以上各项相加得.因为也适合上式，所以.所以.故选C.
方法2：由，得，所以数列为常数列，又，所以.所以，即.故选C.
3.D 【解析】因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.故选D.
4.D 【解析】，所以，故选D.
5.C 【解析】双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线与直线垂直，可得，又，所以，又，解得.故选C.
6.A 【解析】①，②，① - ②得，即圆与圆的公共弦所在的直线方程是，因为圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以，易知，，则四边形的面积为.故选A.
7.C 【解析】设，因为，所以可设，则，又因为，所以在直角中，，所以，由椭圆定义可知，，由，即，解得，所以，，又，，，在中，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，即.解得，又，所以，所以椭圆离心率.故选C.
8.B 【解析】由题意知，，即，所以当时，，两式相减得，即，又因为满足上式，所以。所以，则，所以，又对任意的恒成立，即对任意恒成立，所以，又，整理得，解得，所以实数的最小值为2，故选B。
9.AD 【解析】由双曲线方程可知，，，所以，，，所以，所以实轴长为，虚轴长为，离心率，故A正确，B，C错误；双曲线渐近线方程为，所以两渐近线的倾斜角分别为，，所以两渐近线夹角为，又，故D正确。故选AD。
10.ACD 【解析】对于A，因为，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，所以A正确；对于B，因为，所以，所以B错误；对于C，，当时，，，满足上式，因此，则数列单调递增，所以C正确；对于D，因为，所以，即，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以D正确。故选ACD。
11.ACD 【解析】因为，所以与，共面，故选项A正确；在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，，，，显然，，即，，所以向量是平面的法向量，同理是平面的法向量，而平面，平面，因此平面平面，由，且，得点平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积。故选项B错误；
由题可知，，，，由，得，得，故选项C正确；当时，，则点在以为球心，1为半径的球面上运动，而，因此的最小值为，故选项D正确。故选ACD。
12.【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，故其准线方程为。
13.【答案】
【解析】设此等差数列为，首项为，公差为，由题可知，，即，，联立解得，，所以。
14.【答案】
【解析】联立，消去，整理得。（※）
若圆与椭圆有4个公共点，则方程（※）在上有两个不相等的实数根。令，则有 由②③可知。由①可知，所以，即。由④可知，所以（舍去）或。因此，若圆与椭圆有4个公共点，则，即。故若圆与椭圆至多有3个公共点，则必有。
15.【解】（1）因为直线与直线平行，
所以，解得。（5分）
（2）由（1）知直线，即，（7分）
设直线，（8分）
因为直线到的距离与到的距离相等，所以，解得，（10分）
故直线，即直线的方程为。（13分）
16.【解】（1）证明：由题意可得，当时，，（1分）
当时，，，两式相减得，（3分）
当时，，满足上式，（4分）
所以数列是以为首项，为公比的等比数列。（6分）
（2）由（1）知，，所以，（7分）
所以，① （9分）
所以，② （10分）
由① - ②，得，（13分）
所以。（15分）
17.【解】解法1：折叠前，因为，，所以，所以，，（2分）
折叠后，，仍然成立，
又因为二面角为直二面角，所以，（3分）
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知条件可知，，，，，（4分）
则，，，（5分）
（1）因为，所以，，（6分）
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，（8分）
可得，（9分）
又因为平面，所以平面。（10分）
（2）因为为的中点，所以，， （11分）
设平面的法向量为，
则令，得，，所以， （13分）
设直线与平面所成角为，
所以，。
所以直线与平面所成角的正弦值是。 （15分）
解法2：（1）连接交于点，连接， （2分）
因为，，所以， （4分）
由题意可知，，所以，所以， （5分）
又因为平面，平面，所以平面。
（2）同解法1。
18.【解】（1）由题意知，所以，所以， （1分）
因为双曲线的焦点坐标为，所以，所以， （2分）
所以椭圆的方程为。 （3分）
（2）证明：设，，
则有，，两式相减，得，
即，即（为坐标原点）， （5分）
即，即。 （6分）
因为点（）在椭圆内，所以，所以， （7分）
所以，所以。 （8分）
（3）设，
当或时，易求得，，或，，
所以。 （10分）
根据椭圆的对称性，不妨设，由，可得，
因为，所以，
即，解得， （12分）
同理可得，所以，
同样可求得， （14分）
所以（此处原答案可能有笔误，按照原答案排版保留）
，当且仅当，即时取等号. （16分）
由于，故的最小值为. （17分）
1.【解】（1）设，，
由题意知，，所以，所以， （2分）
又抛物线的焦点为，
所以， （4分）
所以直线的方程为，即. （6分）
（2）设直线：，，，且，，
联立，消去，整理得， （8分）
则，可得，， （10分）
因为，，，
则，
可得，整理可得，
则，即， （13分）
此时，符合题意，
则直线：，过定点， （15分）
又因为，所以点在以为直径的圆上，
且线段的中点为，，则， （16分）
所以存在定点使得是定值，此时点，. （17分）
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