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第十三章 三角形
数学活动 搭等边三角形
与多边形的三角剖分
1．通过动手操作，探索等长磁力棒搭建等边三角形的不同方式，能区分平面与立体搭建的差异．
2．掌握多边形三角剖分的方法，能完成四边形、五边形、六边形的三角剖分，归纳出n边形三角剖分的三角形个数规律．
3．在经历“操作—观察—归纳—验证”的过程中提升逻辑推理和数学建模能力．
同学们，我们都知道三角形是最稳定的图形，用3根等长的磁力棒就能搭出一个等边三角形．
如果给你6根磁力棒，你能搭出4个等边三角形吗？
今天我们就通过两个数学活动，一起探索三角形的更多奥秘！
活动一：搭等边三角形
取一些等长的磁力棒（图1）．用3根磁力棒能组成一个等边三角形（图2），用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？用9根磁力棒最多能组成几个等边三角形？动手试一试，并与同学交流．（提示：可以考虑立体图形．）
问题1：6根磁力棒在平面上最多搭几个等边三角形？那换成立体结构呢？
问题2：9根磁力棒最多能搭几个等边三角形？
立体结构能更高效利用磁力棒，搭建更多等边三角形．
活动二：多边形的三角剖分
三条线段首尾顺次相接组成三角形．类似地，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．
容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢？
把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图给出了七边形的三角剖分的几种方法．
问题1：试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？n边形呢？
2个三角形
3个三角形
4个三角形
n边形三角剖分后得到（n 2）个三角形
问题2：将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？
2种
5种
1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（Dn）的公式．后来数学家发现并证明：当n≥3时，．
请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数．
当n=3时，
因为
又因为
所以=2=2
即：四边形的三角剖分方法数为2种．
当n=4时，
因为
又因为
所以==5
即：五边形的三角剖分方法数为5种．
当n=5时，
因为
又因为
所以==5=14
即：六边形的三角剖分方法数为14种．
当n=6时，
因为
又因为
所以==14=42
即：七边形的三角剖分方法数为42种．
【知识技能类练习】必做题：
1．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成5个三角形，则这个多边形是（ ）边形．
A．五 B．六 C．七 D．八
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图是一组有规律的图案，它由火柴棒搭成的正六边形组成．第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案中有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…依此规律，第个图案中有 根火柴棒（用含的代数式表示）．
【知识技能类练习】必做题：
3．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，根据你发现的规律，若一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
D
【知识技能类练习】选做题：
4．用火柴按如图方式搭正方形，搭个正方形需要根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒，，搭个正方形需要 根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒．
【综合拓展类练习】
5．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．
【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．
【综合拓展类练习】
（1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成_________个三角形；
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______；
3
4
2028
【综合拓展类练习】
【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示：
（1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形；
（2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？
5
6
（2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系．
数学活动
多边形的三角剖分
搭等边三角形
【知识技能类作业】必做题：
1．如图是由一些火柴搭建的图案，图①共需6根火柴棒，图②共需11根火柴棒，图③共需16根火柴棒，…，依此类推，则图⑧共需火柴棒（ ）
A．31根 B．36根 C．41根 D．45根
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图所示：某同学在利用火柴棍拼三角形时发现规律，图1是利用3根火柴棍能拼成边为1根火柴棍的三角形图案，图2是利用9根火柴棍拼成边为2根火柴棍的三角形图案，图3是利用18根火柴棍拼成边为3根火柴棍的三角形图案，按此规律拼图，要拼成边为100根火柴棍的三角形图案需要火柴棍的根数是：（ ）
A．891 B．5050 C．10101 D．15150
D
【知识技能类作业】必做题：
3．阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形．
（1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个
（2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个．
4
5
6
【知识技能类作业】选做题：
4．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）
计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．
如图给出了一个格点五边形，则该五边形
的面积 ．
6
【综合拓展类作业】
5．用火柴棒按图中所示的方法搭图形．
(1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用___根火柴棒，搭第③个图形用___根火柴棒；搭第n个图形需________根火柴棒；
(2)应用：搭第202个图形用________根火柴棒；若使用2023根火柴，________（填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形；
(3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？
12
17
（5n＋2）
1012
不能
【综合拓展类作业】
（3）令5n＋2＝187，解得n＝37，
即第37个图形用的火柴棒根数为187根．
又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1；
…，
所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个，
当n＝37时，3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个），
即第37个图形产生的正方形个数为110个，
所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分 单元 第十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．通过动手操作，探索等长磁力棒搭建等边三角形的不同方式，能区分平面与立体搭建的差异． 2．掌握多边形三角剖分的方法，能完成四边形、五边形、六边形的三角剖分，归纳出n边形三角剖分的三角形个数规律． 3．在经历“操作—观察—归纳—验证”的过程中提升逻辑推理和数学建模能力．
重点 探索多边形三角剖分的规律，掌握n边形三角剖分的三角形个数及不同剖分方法数的计算．
难点 理解多边形三角剖分公式的推导逻辑，能从具体图形的剖分中归纳出一般规律，并灵活运用公式解决问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 我们都知道三角形是最稳定的图形，用3根等长的磁力棒就能搭出一个等边三角形．那如果给你6根磁力棒，你能搭出4个等边三角形吗？
新知探究 本节课来研究： 本节我们就通过两个数学活动，一起探索三角形的更多奥秘！ 活动一：搭等边三角形 取一些等长的磁力棒（图1）．用3根磁力棒能组成一个等边三角形（图2），用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？用9根磁力棒最多能组成几个等边三角形？动手试一试，并与同学交流．（提示：可以考虑立体图形．） 问题1：6根磁力棒在平面上最多搭几个等边三角形？那换成立体结构呢？ 问题2：9根磁力棒最多能搭几个等边三角形？ 归纳：立体结构能更高效利用磁力棒，搭建更多等边三角形． 活动二：多边形的三角剖分 三条线段首尾顺次相接组成三角形．类似地，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢？ 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图给出了七边形的三角剖分的几种方法． 问题1：试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？n边形呢？ 归纳：n边形三角剖分后得到__________个三角形 问题2：将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？ 阅读探究：1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（Dn）的公式．后来数学家发现并证明：当n≥3时，．请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成5个三角形，则这个多边形是（ ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 2．如图是一组有规律的图案，它由火柴棒搭成的正六边形组成．第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案中有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…依此规律，第个图案中有 根火柴棒（用含的代数式表示）． 3．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，根据你发现的规律，若一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，则这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 选做题： 4．用火柴按如图方式搭正方形，搭个正方形需要根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒，，搭个正方形需要 根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒． 【综合拓展类练习】 5．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图是由一些火柴搭建的图案，图①共需6根火柴棒，图②共需11根火柴棒，图③共需16根火柴棒，…，依此类推，则图⑧共需火柴棒（ ） A．31根 B．36根 C．41根 D．45根 2．如图所示：某同学在利用火柴棍拼三角形时发现规律，图1是利用3根火柴棍能拼成边为1根火柴棍的三角形图案，图2是利用9根火柴棍拼成边为2根火柴棍的三角形图案，图3是利用18根火柴棍拼成边为3根火柴棍的三角形图案，按此规律拼图，要拼成边为100根火柴棍的三角形图案需要火柴棍的根数是：（ ） A．891 B．5050 C．10101 D．15150 3．阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形． （1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个 （2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个． 选做题： 4．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【综合拓展类作业】 5．用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用________根火柴棒；搭第n个图形需______ 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 ______根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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分课时教学设计
第八课时《数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级上册第13章三角形这一章的章末拓展数学活动，是在学生掌握三角形基本性质知识后的实践探究课．它既是对三角形相关知识的深化与应用，也为后续学习平面图形的分割、组合及拓扑思想奠定基础．“搭等边三角形”从直观操作入手，培养学生的空间想象与动手能力；“多边形的三角剖分”则从具体图形到一般规律，渗透从特殊到一般的数学思想，帮助学生建立几何图形与数量关系的联系，提升逻辑推理和模型构建能力，同时让学生体会数学的趣味性与严谨性，增强对几何知识的综合应用意识．
学习者分析 学生已具备三角形的基础认知，有一定的动手操作和简单推理能力，但对空间立体图形的想象、多边形三角剖分的规律探究仍存在困难．他们好奇心强，乐于参与实践活动，但抽象思维和归纳总结能力有待提升．在“搭等边三角形”活动中，学生易局限于平面思维，忽略立体搭建；在“三角剖分”时，难以从具体图形的剖分中归纳出一般公式，也不易理解公式的推导逻辑．教学中需借助直观操作、小组合作，引导学生突破思维局限，逐步提升抽象与归纳能力．
教学目标 1．通过动手操作，探索等长磁力棒搭建等边三角形的不同方式，能区分平面与立体搭建的差异． 2．掌握多边形三角剖分的方法，能完成四边形、五边形、六边形的三角剖分，归纳出n边形三角剖分的三角形个数规律． 3．在经历“操作—观察—归纳—验证”的过程中提升逻辑推理和数学建模能力．
教学重点 探索多边形三角剖分的规律，掌握n边形三角剖分的三角形个数及不同剖分方法数的计算．
教学难点 理解多边形三角剖分公式的推导逻辑，能从具体图形的剖分中归纳出一般规律，并灵活运用公式解决问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．通过动手操作，探索等长磁力棒搭建等边三角形的不同方式，能区分平面与立体搭建的差异． 2．掌握多边形三角剖分的方法，能完成四边形、五边形、六边形的三角剖分，归纳出n边形三角剖分的三角形个数规律． 3．在经历“操作—观察—归纳—验证”的过程中提升逻辑推理和数学建模能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：同学们，我们都知道三角形是最稳定的图形，用3根等长的磁力棒就能搭出一个等边三角形．那如果给你6根磁力棒，你能搭出4个等边三角形吗？ 导入：今天我们就通过两个数学活动，一起探索三角形的更多奥秘！学生活动2： 学生认真听老师提出的问题活动意图说明： 通过情境化问题的设计，激发学生的学习兴趣，为即将进行的数学活动做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 活动一：搭等边三角形 取一些等长的磁力棒（图1）．用3根磁力棒能组成一个等边三角形（图2），用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？用9根磁力棒最多能组成几个等边三角形？动手试一试，并与同学交流．（提示：可以考虑立体图形．） 问题1：6根磁力棒在平面上最多搭几个等边三角形？那换成立体结构呢？ 问题2：9根磁力棒最多能搭几个等边三角形？ 归纳：立体结构能更高效利用磁力棒，搭建更多等边三角形． 活动二：多边形的三角剖分 三条线段首尾顺次相接组成三角形．类似地，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢？ 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图给出了七边形的三角剖分的几种方法． 问题1：试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？n边形呢？ 预设：2个三角形，3个三角形，4个三角形 归纳：n边形三角剖分后得到（n 2）个三角形 问题2：将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？ 预设：四边形的三角剖分方法数为2种， 五边形的三角剖分方法数为5种 阅读：1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（Dn）的公式．后来数学家发现并证明：当n≥3时，．请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数． 预设： 当n=3时， 因为 又因为 所以=2=2 即：四边形的三角剖分方法数为2种． 当n=4时， 因为 又因为 所以==5 即：五边形的三角剖分方法数为5种． 当n=5时， 因为 又因为 所以==5=14 即：六边形的三角剖分方法数为14种． 当n=6时， 因为 又因为 所以==14=42 即：七边形的三角剖分方法数为42种．学生活动3： 学生分成 4 人小组，尝试数学活动．各小组分享成果，在各小组发表自己的见解后，认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过活动1从平面到立体的搭建对比，引导学生突破二维空间的思维局限，在动手操作中培养空间想象能力与创新思维；通过活动2让学生经历“具体—特殊—一般”的探究过程，渗透从特殊到一般的数学思想，在观察与归纳中提升逻辑推理能力，并巩固多边形内角和等知识基础，最终实现知识、能力与思维的协同发展．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分一、搭等边三角形 二、多边形的三角剖分教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成5个三角形，则这个多边形是（ ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 答案：C 解：设这个多边形是边形，根据边形三角剖分得到的三角形个数为， 由题意得，解得， 故这个多边形是七边形． 故选：C． 2．如图是一组有规律的图案，它由火柴棒搭成的正六边形组成．第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案中有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…依此规律，第个图案中有 根火柴棒（用含的代数式表示）． 答案：/ 解：由图可知：后一个图形比前一个图形多5根火柴棒， ∴第个图案中有根火柴棒， 故答案为：． 3．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，根据你发现的规律，若一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，则这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：D 解：由图可知，四边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为个， 五边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为个， 六边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为个， 归纳类推得：边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为个， ∵一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形， ∴这个多边形的边数是， 故选：D． 选做题： 4．用火柴按如图方式搭正方形，搭个正方形需要根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒，，搭个正方形需要 根火柴棒，搭个正方形需要 根火柴棒． 答案： 解：观察第一个图得，搭1个正方形要4根火柴棒； 观察第二个图得，搭2个正方形要火柴根，即7根火柴棒； 观察第三个图得，搭3个正方形要火柴根，即根火柴棒； 所以搭个正方形要火柴根，即根火柴棒； 搭n个正方形要火柴根，即根火柴棒． 【综合拓展类练习】 5．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 答案：初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 解：初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图是由一些火柴搭建的图案，图①共需6根火柴棒，图②共需11根火柴棒，图③共需16根火柴棒，…，依此类推，则图⑧共需火柴棒（ ） A．31根 B．36根 C．41根 D．45根 答案：C 解：根据题意可得， 图①共需6根火柴棒， 图②共需根火柴棒， 图③共需根火柴棒， 则图⑧共需火柴棒为：根， 故选：C． 2．如图所示：某同学在利用火柴棍拼三角形时发现规律，图1是利用3根火柴棍能拼成边为1根火柴棍的三角形图案，图2是利用9根火柴棍拼成边为2根火柴棍的三角形图案，图3是利用18根火柴棍拼成边为3根火柴棍的三角形图案，按此规律拼图，要拼成边为100根火柴棍的三角形图案需要火柴棍的根数是：（ ） A．891 B．5050 C．10101 D．15150 答案：D 解：边为1根火柴棍的三角形图案需要3根火柴棒，即； 边为2根火柴棍的三角形图案需要9根火柴棒，即； 边为3根火柴棍的三角形图案需要18根火柴棒，即； 边为4根火柴棍的三角形图案需要30根火柴棒，即； …… 边为100根火柴棍的三角形图案需要火柴棍的根数是： 故选：D 3．阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形． （1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个 （2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个． 答案： 4 5 6 解：（1）如图，每种方法所得到的小三角形的个数分别为：4个，5个，6个； 故答案为：4，5，6 （2）观察图1和图2所作图形可得： 第一种分割方法把n边形分割成了（n-2）个三角形； 第二种分割方法把n边形分割成了（n-1）个三角形； 第三种分割方法把n边形分割成了n个三角形， 故答案为（n-2），（n-1），n 选做题： 4．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 答案：6 解：由图可知：五边形内部格点有4个，故 五边形边上格点有6个，故 ∴＝ 故答案为：6． 【综合拓展类作业】 5．用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 答案：(1)12；17；（5n＋2） (2)1012；不能 (3)110个 解：（1）（1）由所给图形可知， 第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2； 第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2； 第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2； …， 所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根． 故答案为：12，17，（5n＋2）． （2）（2）由（1）知， 当n＝202时， 5n＋2＝5×202＋2＝1012（根）， 即第202个图形用的火柴棒根数为1012根． 使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形． 当5n＋2＝2023时， 解得n＝404.2， 因为n为正整数， 所以不能搭建完整的正方形组建的图形． 故答案为：1012，不能． （3）（3）令5n＋2＝187， 解得n＝37， 即第37个图形用的火柴棒根数为187根． 又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1； 第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1； 第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1； …， 所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个， 当n＝37时， 3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个）， 即第37个图形产生的正方形个数为110个， 所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形．
教学反思 本节课通过动手操作与规律探究，让学生在实践中深化了对三角形和多边形的认识，但部分学生在立体搭建和公式推导时仍存在障碍．后续需优化活动引导，如提前准备立体模型的拆解演示，帮助学生突破空间想象难点；在公式讲解中增加阶梯式问题，降低理解难度．同时，要更关注个体差异，对思维较慢的学生给予针对性指导，让不同层次的学生都能在活动中获得成就感，提升数学核心素养．
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