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浙教版2025—2026学年八年级上册期末聚焦考情押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·叙永期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·温州期末）如图，在 中， ．以 为圆心，为半径画弧交 于点 ；分别以 为圆心，大于 长为半径画弧交于点 ，射线 交 于点 ，连结 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·简阳期末）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第二、三、四象限
B．图象与x轴交于点
C．点在函数图象上
D．点和在函数的图象上，若，则
4．（2024八上·柯桥期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（ ）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八上·成都期末）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点
C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限
6．（2024八上·雨湖期末）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7
7．（2024八上·余姚期末）已知a＜b，则下列不等式中错误的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B． C．﹣2a＜﹣2b D．a+2＜b+2
8．（2023八上·潮南期末）下列线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．（2024八上·江北期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021八上·宝安期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·镇海区期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，则 ．
12．（2024八上·鄞州期末）若数a既使得关于的二元一次方程组有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的a的值之和为 ．
13．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是 ．
14．（2024八上·渠县期末）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S的边长为 cm．
15．（2024八上·蔡甸期末）在中，与的角平分线交于点，边AB和边AC的垂直平分线交于点，则与的数量关系是
16．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·余姚期末）解下列不等式（组）．
（1）．
（2）．
18．（2025八上·贵阳期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求梯子的长；
（2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长．
19．（2025八上·宁远期末）某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多元，已知用元购进A种服装的数量是用元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进A品牌的服装多少套？
20．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
21．（2025八上·祁东期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
22．（2025八上·吴兴期末）一次函数的图象过点和点．
（1）求该函数的表达式；
（2）判断点是否在该函数的图象上．
23．（2024八上·奉化期末）春节前夕，某商店从厂家购进、两种礼盒，已知、两种礼盒的单价比为，单价和为210元，该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元.
（1）求、两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）若购进种礼盒最多36个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，则有几种进货方案？
（3）根据市场行情，销售一个种礼盒可获利12元，销售一个种礼盒可获利18元.为奉献爱心，该店主决定每售出一个种礼盒，为爱心公益基金捐款元，每个种礼盒的利润不变，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，值是多少？此时店主获利多少元？
24．（2025八上·播州期末）小明用下列方法作射线：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线即为所求．
（1）如图1，写出一组相等角或线段：___________；
（2）如图2，连接，试说明射线与线段的位置关系；
（3）如图3，的平分线与相交于点，请说明点在的平分线上．
25．（2024八上·香洲期末）如图，在中，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．
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浙教版2025—2026学年八年级上册期末聚焦考情押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·叙永期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意；
B、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；
D、根据，，能推出，正确，故本不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八上·温州期末）如图，在 中， ．以 为圆心，为半径画弧交 于点 ；分别以 为圆心，大于 长为半径画弧交于点 ，射线 交 于点 ，连结 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由作法得AC=AD，AE平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=∠BAC=45°，
在△ACF和△ADF中，
，
∴△ACF≌△ADF(SAS)
∴∠AFC=∠AFD，
∵∠BAC=90，∠B=30°
∴∠C=90°-∠B=60°
∴∠AFD=∠AFC=180°-45°-60°=75°；
故答案为：B.
【分析】根据题中条件，用SAS证得△ACF≌△ADF，再根据全等三角形性质得对应角相等，再利用三角形内角和定理即可得到∠AFD的度数.
3．（2024八上·简阳期末）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第二、三、四象限
B．图象与x轴交于点
C．点在函数图象上
D．点和在函数的图象上，若，则
【答案】C
【解析】【解答】解：A、因为，，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，所以选项A错误，不符合题意；
B、令，则，解得，所以图象与x轴交于点，所以选项B错误，不符合题意；
C、当时，，所以点在函数图象上，所以选项C正确，符合题意；
D、因为，所以y随着x的增大而减小，若点和在函数的图象上，当，则，所以选项D错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，当k＞0时，图象经过第一三象限，y随x的增大而增大，当k＜0时，图象经过二四象限，y随x的增大而减小；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此可判断A、D选项；根据直线与x轴交点的坐标特点“纵坐标为零”可判断B选项；根据一次函数图象上点的坐标特点，将x=3代入y=-3x+6算出对应的函数y的值，可判断C选项.
4．（2024八上·柯桥期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（ ）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD， ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD， ∠ABD=∠ACE，
∴原结论符合题意；
④由①得：∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴S四边形BCDE=BD CE，
∴原结论符合题意；
⑤在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，
在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2，
∴原结论符合题意；
②从题干信息没有给出∴只有时，=90°，
无法说明，更不能说明
∴原结论不符合题意；
③由①得：△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
条件不足以证明
∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，∴原结论不符合题意；
综上可得，正确的结论有①④⑤共3个．
故答案为：C．
【分析】①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等可求解；④根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和可判断求解；⑤根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2；②再求出时，∠ADC=90°；③∠AEC与∠BAE不一定相等．
5．（2024八上·成都期末）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点
C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限
【答案】A
【解析】【解答】k=-2<0，
y随x的增大而减小，故A说法正确，符合题意；
令y=0得，解得x=2，
图象与轴交于点，故B说法错误，不符合题意；
将点x=1代入得故点不在一次函数图象上，C说法错误，不符合题意；
由一次函数可得该图象经过第一、二、四象限，故D说法错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的性质、图象与系数的关系进行逐一判断即可求解.
6．（2024八上·雨湖期末）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7
【答案】B
【解析】【解答】，
由①可得：x≤m，
由②可得：x>3，
∴不等式组的解集为：3∵不等式组的整数解有3个，
∴6≤m<7，
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的解集为37．（2024八上·余姚期末）已知a＜b，则下列不等式中错误的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B． C．﹣2a＜﹣2b D．a+2＜b+2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵aB、∵aC、∵aD、∵a故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐一判断即可.
8．（2023八上·潮南期末）下列线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】【解答】解：∵3+5=8，∴，，不能组成三角形，∴A不符合；
∵2+2<6，∴，，不能组成三角形， ∴B不符合；
∵1.2+1.2=2.4>1.2，∴，， 能组成三角形， ∴C符合；
∵9+4=13<15，∴，， 不能组成三角形， ∴D不符合.
故答案为：C.
【分析】找出最长线段与其它两条线段之和比较大小，来判断能否组成三角形.
9．（2024八上·江北期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，故①正确．
②①中，
，故②正确．
③①中
，
在中，
，
，
，
，
即，故③正确．
④由③可知，，
易知，
若，则有，
则有，则可得为等边三角形，
这与①中的矛盾，故④错误．
⑤由③可知，，
，故⑤正确．
四项正确，
故答案为：D．
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定.利用等腰直角三角形的性质可推出，利用角平分线的性质可推出，进而可证明，利用三角形全等的性质可推出，，据此可判断①和②，因为，利用三角形全等的性质可推出结合已知条件证明：，利用三角形全等的性质可推出，，据此可判断③和⑤.由可推出，再结合已知条件，若，则可证明，进而推出为等边三角形，利用等边三角形的性质可判断
④ ；综合可得答案
10．（2021八上·宝安期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作点E关于y轴的对称点F，连接，交y轴于点Q，则，连接，
的周长，点是定点，则的长不变，
当重合时，的周长最小，
由，令，令，则
是的中点
，点F是E关于y轴对称的点
设直线的解析式为：，将，代入，
解得
直线的解析式为：
令，则
即
故答案为：A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，结合点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，作点E关于y轴的对称点F，连接，交y轴于点Q，则，连接，点是定点，则的长不变，利用待定系数法可求出直线DF的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·镇海区期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵点在第四象限且到两坐标轴的距离相等，
∴点的横、纵坐标互为相反数，
∴，
解得，
故答案为：1．
【分析】根据题意可得方程，解方程即可解题．
12．（2024八上·鄞州期末）若数a既使得关于的二元一次方程组有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的a的值之和为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：，
∵二元一次方程组有正整数解，
∴是正整数且也是正整数，
∴，或，
∴所有满足条件的a的值之和，
故答案为：．
【分析】先求出二元一次方程组的解为，然后解不等式得到，即可得到，然后根据已知二元一次方程组有正整数解得到，或，然后求和解题即可．
13．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵ 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点
∴CH是∠ACB的角平分线
∴∠HCG=∠BCH=40°
∵
∴∠GHC=∠HCB=40°
在△HGC中，∠CGH=180°-∠GHC-∠HCG=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据角平分线的作法可知CH是∠ACB的角平分线， 平行线的内错角相等可知∠GHC=∠HCB=40°，在△HGC中计算内角就可得出答案。
14．（2024八上·渠县期末）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S的边长为 cm．
【答案】7
【解析】【解答】解：由勾股定理知： 最大的正方形的面积S=SA+SB+SC+SD=49，
∴ 最大的正方形的边长为=7cm.
故答案为：7.
【分析】由勾股定理的几何意义知：最大的正方形的面积S=SA+SB+SC+SD，即而求解.
15．（2024八上·蔡甸期末）在中，与的角平分线交于点，边AB和边AC的垂直平分线交于点，则与的数量关系是
【答案】4∠BIC+∠BOC=360°或4∠BIC+∠BOC=720°
【解析】【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，如图：
∵∠B和∠C的平分线交于点I，
∴，，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
，
即∠BAC=2∠BIC-180°；
∵AB和AC的垂直平分线交于点O，
∴OA=OB=OC，
∴∠1=∠OBA，∠2=∠OCA，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC-∠1+∠ACB-∠2）
=180°-（180°-∠BAC-∠1-∠2）
=∠BAC+∠1+∠2
=2∠BAC，
即，
∴，
∴4∠BIC+∠BOC=360°；
当△ABC是钝角三角形时，如图：
∵∠B和∠C的平分线交于点I，
∴，，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
，
即∠BAC=2∠BIC-180°；
∵AB和AC的垂直平分线交于点O，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
则∠BOA=180°-2∠OAB，∠COA=180°-2∠OAC，
故∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-2∠OAB+180°-2∠OAC=360°-2∠BAC，
∴，
∴，
∴4∠BIC+∠BOC=720°．
∴∠BIC与∠BOC的数量关系是4∠BIC+∠BOC=360°或4∠BIC+∠BOC=720°；
故答案为：4∠BIC+∠BOC=360°或4∠BIC+∠BOC=720°.
【分析】分类讨论：当△ABC是锐角三角形时，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得，，根据三角形的内角和是180°可推得∠BAC=2∠BIC-180°，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB=OC，根据等边对等角可得∠1=∠OBA，∠2=∠OCA，根据三角形的内角和是180°可推得∠BOC=2∠BAC，即可列出等式，得出数量关系；当△ABC是钝角三角形时，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得，，根据三角形的内角和是180°可推得∠BAC=2∠BIC-180°，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB=OC，根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形的内角和是180°可推得，即可列出等式，得出数量关系.
16．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·余姚期末）解下列不等式（组）．
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为．
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为．
18．（2025八上·贵阳期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求梯子的长；
（2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长．
【答案】（1）解：，
，
在中，，，
（2）解：在中，，，
，
．
【解析】【分析】（1）由题意可知MD⊥DE，则在中，由勾股定理得=25；
（2）在中，由勾股定理得=15，DE=BD+BE=22．
（1）解：，
，
在中，，，
；
（2）解：在中，，，
，
．
19．（2025八上·宁远期末）某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多元，已知用元购进A种服装的数量是用元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进A品牌的服装多少套？
【答案】（1）解：设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为元、元；
（2）解：设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装套，
由题意得：
解得
因为a取整数
所以
答：至少购进A品牌服装的数量是9套．
【解析】【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，根据等量关系“用元购进A种服装的数量是用元购进B种服装数量的2倍．”列出方程并求解即可；
（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装套，根据不 等关系“可使总利润不少于元”列出不等式并求解出最小整数解即可．
（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为元、元；
（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装套，
由题意得：
解得
因为a取整数
所以
答：至少购进A品牌服装的数量是9套．
20．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：
【解析】【分析】将A、B两点坐标代入解析式，求出k、b的值，即可写出一次函数解析；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
21．（2025八上·祁东期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
【答案】解：（1）△BDE是等腰三角形．由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵ADBC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．
【解析】【分析】（1）由折叠知∠CBD=∠EBD，再由ADBC得∠CBD=∠EDB，等量代换得∠EBD=∠EDB，即BE=DE；
（2）由于 △BDE底边DE上的高AB已知，则求出底边DE即可，可设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中应用勾股定理求出x的值即可．
22．（2025八上·吴兴期末）一次函数的图象过点和点．
（1）求该函数的表达式；
（2）判断点是否在该函数的图象上．
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为，
把点和点代入，得：
，
解得：，
所以该函数的表达式为
（2）解：将代入得，
，
所以点P不在该函数的图象上
【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为，将点M、N的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）将点代入（1）中所求函数解析式进行验证即可．
（1）解：设一次函数的表达式为，
把点和点代入，得：
，
解得：，
所以该函数的表达式为．
（2）解：将代入得，
，
所以点P不在该函数的图象上．
23．（2024八上·奉化期末）春节前夕，某商店从厂家购进、两种礼盒，已知、两种礼盒的单价比为，单价和为210元，该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元.
（1）求、两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）若购进种礼盒最多36个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，则有几种进货方案？
（3）根据市场行情，销售一个种礼盒可获利12元，销售一个种礼盒可获利18元.为奉献爱心，该店主决定每售出一个种礼盒，为爱心公益基金捐款元，每个种礼盒的利润不变，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，值是多少？此时店主获利多少元？
【答案】（1）解：设种礼盒单价为元，种礼盒单价为元，则：
解得：
所以种礼盒单价为元，种礼盒单价为元.
（2）解：设种礼盒购进个，购进种礼盒个，则：
，可列不等式组为：
解得：
因为礼盒个数为整数，所以符合的方案有2种，分别是：
第一种：种礼盒30个，种礼盒60个，
第二种：种礼盒34个，种礼盒57个.
（3）解：设该商店获利元，可知：，
则
若使所有方案都获利相同，则令，得，
此时店主获利1320元.
【解析】【分析】（1）设种礼盒单价为元，种礼盒单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求得；
（2）设种礼盒购进个，购进种礼盒个，根据题意列出一元一次不等式组，根据a的取值范围和a，b均为整数，即可求得；
（3）设该商店获利元，根据题意列出方程，根据一次函数可得m的值，即可求得.
24．（2025八上·播州期末）小明用下列方法作射线：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线即为所求．
（1）如图1，写出一组相等角或线段：___________；
（2）如图2，连接，试说明射线与线段的位置关系；
（3）如图3，的平分线与相交于点，请说明点在的平分线上．
【答案】（1）或
（2）解：由（1）知，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴点在的平分线上．
【解析】【解答】解：（1）由作图方法可得，，
故答案为：或；
【分析】
（1）由作图方法 ① 可得，由作图方法 ②可得作的是的平分线得到，解答即可；
（2）先证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一即可解答；
（3）连接，先用可证明，根据全等三角形的性质得，进而得到，由等边对等角得，进而得到，由角平分线的定义结合角的和差求出，进而得到，即可说明点在的平分线上，解答即可．
（1）解：由作图方法可得，，
故答案为：或；
（2）解：由（1）知，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴点在的平分线上．
25．（2024八上·香洲期末）如图，在中，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．
【答案】（1）证明：
，
在和中
（2）解：过点分别作于点，如图所示：
为的中点，，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
平分，
，
，
，
由（1）可知，
（3）解：由（2）可知
，
，
，，
，
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点分别作于点，先证出，再利用“AAS”证出，可得FN=FM，再利用角平分线的定义可得，再结合，求出即可；
（3）先求出，，再求出即可.
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