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浙教版2025—2026学年九年级上册期末冲刺真题通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·井陉期末）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2024九上·自贡期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96：
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
3．（2024九上·蓬溪期末）如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
5．（2024九上·绵阳期末）已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·宁波期末）如图，矩形矩形GBEF，且点E、A、B三点共线，连结AG，CE，CE与AD交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·东阳期末）已知点，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·越城期末）已知的半径为3，点在外，则的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025九上·海曙期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·耒阳期末）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·朝阳期末）已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是 ．
12．（2024九上·义乌期末）若实数，满足，则的最小值为 .
13．（2024九上·桐乡市期末）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
14．（2023九上·宣化期末）小明想利用影长测量学校的旗杆的高度，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米；同时旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在墙上，分别测得长度为米和米，则学校的旗杆的高度为 米．
15．（2023九上·海珠期末）如图，直径为的，，弦于点C，则 cm．
16．（2025九上·游仙期末）如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南开期末）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，小球上分别标有数，，，．
（1）摇匀后，从口袋中随机摸出一个小球．若将摸出的小球上所标的数恰好是正数记为事件，求事件的概率；
（2）摇匀后，先从口袋中随机摸出一个小球（不放回），再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．若将两次摸出的小球上所标的数之和等于记为事件．用列表或画树状图的方法，求事件的概率．
18．（2024九上·河东期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径，
（1）如图①，连接和，若，求的度数；
（2）如图②，连接和，若，求的度数．
19．（2024九上·盘龙期末）2023年9月17日，中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功，成为全球首个茶主题世界文化遗产．景迈山古树茶成本为每饼400元，当售价为每饼480元时，每月可销售100饼．为庆祝申遗成功，让更多的人了解景迈山古树茶，商家决定降价销售．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月多销售10饼．设每饼古树茶的售价为x元，每月的销售量为y饼．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大．
20．（2024九上·长沙期末）如图，在 ABCD中，点E在AB上，AEAB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求的值．
（2）若AB：AC：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
21．（2024九上·长沙期末）如图，，．
求证：
（1）∽；
（2）．
22．（2024九上·东莞期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
23．（2024九上·防城期末）已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
24．（2024九上·缙云期末）已知，二次函数（为常数）．
（1）若，判断点是否在此函数的图象上；
（2）若此函数图象经过点，求的值；
（3）若此函数图象经过点，，求证：．
25．（2024九上·渠县期末）如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末冲刺真题通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·井陉期末）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．
【分析】本题考查相似三角形的性质.令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，根据△ABC∽△PQR，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，据此可找到点R对应的位置
2．（2024九上·自贡期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96：
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理；
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解。
3．（2024九上·蓬溪期末）如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴当或时，根据两组对应角相等判断，
∴当，根据对应边成比例，中间夹角相等即可判定，
∴ABD选项均可判定，
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】C
【解析】【解答】由题意得：
与满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l、S与R的关系即可求解.
5．（2024九上·绵阳期末）已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：直线经过第一、三、四象限，
抛物线 开口向上，对称轴在y轴的右侧，且经过原点，
结合选项中的图像可知B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据直线的图像所经过的象限确定a、b的符号，再结合a、b的符号判断抛物线的开口、对称轴，以及必经过的点即可判断.
6．（2024九上·宁波期末）如图，矩形矩形GBEF，且点E、A、B三点共线，连结AG，CE，CE与AD交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形GBEF∽矩形ABCD，
∴矩形GBEF与矩形ABCD的相似比是，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH∥BC ，
∴△EBC∽△EAH，
∴，
∴要求两个矩形的相似比，只需知道，
故答案为：C.
【分析】由矩形GBEF∽矩形ABCD，得到矩形GBEF与矩形ABCD的相似比是，由△EBC∽△EAH，推出，即可得到答案.
7．（2024九上·东阳期末）已知点，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y2=x2-2x+n，
∴抛物线y2=x2-2x+n的开口向上，对称轴是直线，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∵点(0，y1)，(1，y2)，(3，y3)是抛物线y2=x2-2x+n的点，
∴点(0，y1)关于对称轴x=1的对称点是(2，y1)，
∵1<2<3，
∴y2故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可.
8．（2024九上·越城期末）已知的半径为3，点在外，则的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为3，且点P在圆外，
∴点P到点O的距离大于3，
∵1＜2＜3＜4，
∴A、B、C三个选项都错误，不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
9．（2025九上·海曙期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，．
正十边形内接于，
，，
，
，
，
，，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
（负根已经舍去），
，，
．
故答案为：D．
【分析】连接，．由正十边形的中心角是36度可得，再由等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可得，再由圆周角定理可得，则AJ//OC，再由三角形相似的预备定理可得，此时可设，，再由相似比可得关于y的一元二次方程并求解，再根据m、y的取值范围取符合题意的解即可．
10．（2024九上·耒阳期末）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵图像开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；
∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上可知：正确的有①④，共2个，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，可知，
∴，故①正确；把点A，C的坐标代入y=ax2+bx+c可得，解得c=-3a，b=-2a消去a得3b-2c=0，所以 ②不 正确；由②可知，抛物线的对称轴为直线，所以当时，该二次函数取最小值，当时，，即，故③不正确；根据等腰直角三角形的性质可求出，由②结合顶点式可求出，故④正确；由，是一元二次方程的两个根知，抛物线与直线相交于，因为抛物线交轴于，，所以，故⑤不正确.综上可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·朝阳期末）已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵二次函数的图象经过（6，c），
∴当x=0时，y=c；x=6时，y=c，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵抛物线开口向上，且，
∴到对称轴的距离小于等于点到对称轴的距离，如图所示：
∴，
解得：2≤m≤5，
故答案为：.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=3，再结合抛物线开口向上，且，可得到对称轴的距离小于等于点到对称轴的距离，再列出不等式组求解即可.
12．（2024九上·义乌期末）若实数，满足，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】【解答】∵实数a，b满足a+b2=3，
∴b2=3 a≥0，即：a≤3，
∴a2+8b2=a2+8(3 a)=a2 8a+24=(a 4)2+8，
∵二次函数y=(a 4)2+8，在a≤3时，y随a的增大而减小，
∴当a=3时，a2+8b2有最小值为9，
故答案为：9.
【分析】由a+b2=3，可得b2=3 a≥0，即得a≤3，从而求出a2+8b2=a2+8(3 a)=(a 4)2+8，再利用二次函数的性质求解即可.
13．（2024九上·桐乡市期末）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【分析】根据平移的性质先求出，再求解即可。
14．（2023九上·宣化期末）小明想利用影长测量学校的旗杆的高度，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米；同时旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在墙上，分别测得长度为米和米，则学校的旗杆的高度为 米．
【答案】16
【解析】【解答】解：作CE⊥AB于E，
∵DC⊥BD于D，AB⊥BD于B，
∴四边形BDCE为矩形，
∴CE=BD=21m，BE=DC=2m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴=，
解得AE=14m，
∴AB=14+2=16m.
故答案为：16.
【分析】作CE⊥AB于E，可得矩形BDCE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度．
15．（2023九上·海珠期末）如图，直径为的，，弦于点C，则 cm．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=，
又∵2OA=10，即OA=5，
在Rt△ACO中，
.
故答案为：3.
【分析】由垂径定理及已知直径易考虑连接OA或OB，分析并结合勾股定理计算弦心距OC即可.
16．（2025九上·游仙期末）如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】延长至，使得，连接，如图
∵
∴为等边三角形
∵绕着点逆时针旋转60°得到
∴为等边三角形
∴，
∵
即
在和中
∴（）
∴
过点作于点
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案为.
【分析】延长至，使得，连接，可以证明为等边三角形，利用旋转的性质可证得为等边三角形，利用等边三角形的性质可推出，；再利用证明，过点做于点，由30°的角的性质以及勾股定理可求，又，可求出DC的长；然后根据根据三角形的面积公式可求出△ABC'的面积.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南开期末）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，小球上分别标有数，，，．
（1）摇匀后，从口袋中随机摸出一个小球．若将摸出的小球上所标的数恰好是正数记为事件，求事件的概率；
（2）摇匀后，先从口袋中随机摸出一个小球（不放回），再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．若将两次摸出的小球上所标的数之和等于记为事件．用列表或画树状图的方法，求事件的概率．
【答案】（1）解：在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球，小球上的数可能是，，，共种，
这些数出现的可能性相等．
又出现的数为正数的可能有种，分别为或，
；
（2）解：画树状图如下图所示：
从树状图可以看出共有个可能的结果，即
这些结果出现的可能性相等，
两次摸出小球上的数之和等于的结果有个，
即和（第一次摸出，且第二次摸出，或是第一次摸出，且第二次摸出），
．
【解析】【分析】本题主要考查了画树状图求一个随机事件的概率．
根据个数中一共有个正数，根据，可以求出摸出的小球的数为正数的概率；
画树状图可知一共有个等可能的结果，和为的结果一共有个，可以求出任意摸出个小球和为的概率．
（1）解：在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球，小球上的数可能是，，，共种，
这些数出现的可能性相等．
又出现的数为正数的可能有种，分别为或，
；
（2）解：画树状图如下图所示：
从树状图可以看出共有个可能的结果，即
这些结果出现的可能性相等，
两次摸出小球上的数之和等于的结果有个，
即和（第一次摸出，且第二次摸出，或是第一次摸出，且第二次摸出），
．
18．（2024九上·河东期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径，
（1）如图①，连接和，若，求的度数；
（2）如图②，连接和，若，求的度数．
【答案】（1）解：是的直径，
，
又，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
的度数为
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，即，
是的直径，
，
，
，
的度数为
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，再利用三角形的内角和是，得出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补可求出的度数；
（2）根据圆内接四边形的对角互补，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，再结合同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍计算即可解答．
（1）解：是的直径，
，
又，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
的度数为．
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，即，
是的直径，
，
，
，
的度数为．
19．（2024九上·盘龙期末）2023年9月17日，中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功，成为全球首个茶主题世界文化遗产．景迈山古树茶成本为每饼400元，当售价为每饼480元时，每月可销售100饼．为庆祝申遗成功，让更多的人了解景迈山古树茶，商家决定降价销售．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月多销售10饼．设每饼古树茶的售价为x元，每月的销售量为y饼．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大．
【答案】（1）；
（2）解：由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
答：当销售单价为465元时，每月获得的利润最大．
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
【分析】（1）根据销售单价每降5元，则每月多销售10饼，即可求出答案.
（2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
答：当销售单价为465元时，每月获得的利润最大．
20．（2024九上·长沙期末）如图，在 ABCD中，点E在AB上，AEAB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求的值．
（2）若AB：AC：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
【答案】（1）解：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
又∵∠DFC＝∠AFE，
∴△AFE∽△CFD，
∴；
（2）解：①证明：∵，
可设AC＝2a，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵∠BAC＝∠FAE，
∴△FAE∽△BAC，
∴∠AEF＝∠ACB；
②证明：∵FG∥AB，
∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠GFD，
又∵∠GDF＝∠FDA，
∴△GDF∽△FDA，
∴，
∴DF2＝DG DA．
【解析】【分析】（1）证明△AFE∽△CFD，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）① 根据， 可设AC＝2a，则， 由（1）相似三角形的性质得到， 进而得到， 结合∠BAC＝∠FAE，证明△FAE∽△BAC， 最后根据相似三角形的性质即可求解；② 利用平行线的性质得到∠FAD＝∠GFD， 结合∠GDF＝∠FDA，进而证明△GDF∽△FDA， 根据相似三角形的性质列出比例式，进行变形即可求解.
21．（2024九上·长沙期末）如图，，．
求证：
（1）∽；
（2）．
【答案】（1）证明：，
，
即，
，
∽；
（2）解：∽，
：：，
．
【解析】【分析】（1）先根据题意证明，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到：：，进而即可求解。
22．（2024九上·东莞期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直径AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
【解析】【分析】（1）根据D是的中点，由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出；
（2）根据AG＝6，BG＝4，求出AB的长为10，得到，据此再求出，由勾股定理求出，由垂径定理即可得到，即可求出CD的长．
23．（2024九上·防城期末）已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
【答案】（1）解：抛物线的图象经过点和点
，解得
抛物线的解析式为：.
（2）解：对称轴为，令，
解得，，，如图所示.
点C与点A关于直线对称，
连接与对称轴的交点即为所求之P点，
的长是个定值，则此时的点P，使的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，则此时最小.
设直线的解析式为，由可得，
解得，，直线解析式为；
当时，，点坐标为；
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由（1）知，求出对称轴为x=-1，C（1，0），由△PBC的周长=PB+PC+BC，而BC长为定值，则当PB+PC的值最小时，△PBC的周长就最小，连接BA交对称轴于点P，此时PB+PC的值最小，求出此时点P的坐标即可.
24．（2024九上·缙云期末）已知，二次函数（为常数）．
（1）若，判断点是否在此函数的图象上；
（2）若此函数图象经过点，求的值；
（3）若此函数图象经过点，，求证：．
【答案】（1）解：把代入二次函数（是常数）得，当时，，
∴时，点在此函数的图象上；
（2）解：把代入得
，
解得或；
（3）解：点，在上，∴对称轴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即．
【解析】【分析】（）把代入解析式得，直接把x=-1代入求出函数值判断即可；
（）把代入函数关系式，解关于的方程即可解题．
（）利用对称轴公式得到对称轴为直线，根据对称性得到，把代入二次函数，得到c关于m的二次函数，利用二次函数的最值解题即可．
25．（2024九上·渠县期末）如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
四边形中，，
A、H、E、D共圆，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：当点是线段的三等分点时，的长为或3.
【解析】【解答】解：(3)如图，连接，
，，
，，
，
，
，
设，则，，
正方形的边长为6，点是线段的三等分点，
①当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
②当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
当点是线段的三等分点时，的长为或3。
【分析】（1）先证，进而可得是等腰直角三角形，再根据直角三角形中斜边上的中线对应斜边的一半得到，进而可证得；
（2）先证为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再由∠AHE+ ∠ADE
=180° 得到A、H、E、D共圆， 进而证得，再根据相似三角形的性质即可得证；
（3）连接，由，得到GE=GF，设，则，GE=DE+x
，分两种情况讨论，①当时，②当时，在中，利用勾股定理建立方程求解即可.
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